山东省烟台市蓬莱区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省烟台市蓬莱区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．函数的自变的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
2．小颖有一套文学名著上册、中册、下册，随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好是“上册、中册、下册”的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置，已知．若栏杆的旋转角时，借助计算器求栏杆A端升高的高度．下列按键顺序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为．若在坡比为的山坡树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离（ ）
A．B．C．D．
6．将矩形纸片按如图所示进行裁剪，所裁剪出的扇形与圆刚好能够做成一个圆锥．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．某仿古墙上原有一个矩形的窗洞，现要将它改为一个圆弧形的窗洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后窗洞的圆弧长是（ ）
A．B．C．D．
9．下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点（点P不与点A重合），以为边作正方形，设，正方形与重合部分（阴影部分）的面积为y则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA﹣|＋（csB﹣）2＝0，则△ABC是 三角形．
12．二次函数，经过点，对称轴l如图所示，若，，，则M，N，P中，值小于0的数有 ．
13．某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得，，，则的长为 ．（结果保留根号）
14．如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的如图所示的图案，若小圆的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是 ．
16．如图，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的函数关系如图②所示，其中，L为曲线部分的最低点，则的面积为 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，有四张背面完全相同的卡片，，，，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率是______；
（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
19．我国非常重视职业教育，某职业技术学校开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业.为了解中学生对这些专业的喜爱程度，特进行了随机抽样调查，每个被调查的学生从这四个专业中选择一个且只能选择一个，调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有_____人；
(2)扇统计图中D（汽车维修）专业所对应的圆心角的度数为_____，请补全条形统计图；
(3)从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、乙两名同学的概率.
20．如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，底面圆的半径为．
（1）请画出该零件的三视图；
（2）若用该零件的俯视图围成一个圆锥，求这个圆锥的高．
21．如图，希望中学的教学楼和综合楼之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树，且其底端，，在同一直线上，米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶处测得点的仰角为，点的俯角为．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）
22．如图，在平面直角坐标系中，⊙与轴的正半轴交于两点，与轴的正半轴相切于点，连接，已知⊙半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；（2）求直线的解析式．
23．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y＝0.3x．根据以上信息，解答下列问题：
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
24．如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且为的切线．
(1)试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)连接，取的中点G，连接．若，求的长．
25．如图，已知抛物线过点．顶点为，与x轴交于A、B两点．以为直径作圆，记作．
(1)求抛物线解析式及点D的坐标；
(2)猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段绕点P逆时针旋转，使点C的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】从二次根式的意义，分式有意义的条件两个方面去思考求解即可．
【详解】∵ 有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2，
∵ 是分式，
∴ ≠0，
∴x≠2，
综上所述，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个条件，并灵活运用是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种，
所以从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是．
故选：A．
3．D
【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．
【详解】从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．本题过点作于点C，根据锐角正弦的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，过点作于点C，
根据题意得：，
．
故选：A
5．C
【分析】根据坡比为1：2.5求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可．
【详解】如图，
∵坡比为 i=1:2.5，
∴AC:BC=1:2.5 ，
即 AC:5=1:2.5 ，
解得:AC＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=（m），
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理的运用，属于基础题．
6．C
【分析】本题考查了圆锥的展开图，弧长公式，设，则小圆的直径为，根据弧长等于底面圆的周长，列等式解答即可．
【详解】设，则小圆的直径为，
根据题意，得，
解得，
故选C．
7．A
【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向上，与轴交于负半轴，故A、B、C、D都不符合题意；
②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项A正确，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了求弧长，矩形的性质，连接，相交于点O，则点O为圆心，根据勾股定理得出，则，推出是等边三角形，进而得出，最后根据弧长公式，即可解答．
【详解】解：连接，相交于点O，
∵四边形为矩形，
∴，
∴点O为圆心，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴改建后窗洞的圆弧长，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质、三角形的外心，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
【详解】解：①不在同一直线上三点可以确定一个圆，原说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误；
④圆内接四边形对角互补，说法正确；
⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，说法正确；
⑥直角三角形的外心在斜边的中点上，原说法错误；
正确的为④⑤，
故选B．
10．C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象：熟练掌握等腰直角三角形和正方形的性质．解决本题的关键是分段求出y与x的关系式，然后利用函数解析式对各选项进行．
如图1，当点D落在上，利用为等腰直角三角形得到，所以当时，，当时，如图2，正方形与相交于F、G，表示出，所以，然后利用所得的解析式对各选项进行判断．
【详解】解：如图1，当点D落在上，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，解得，
当时，，
当时，如图2，正方形与相交于F、G，
易得和都是等腰直角三角形，
，
故选：C．
11．等边
【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算，再利用等边三角形的判定方法得出答案．
【详解】解：∵|tanA﹣|＋（csB﹣）2＝0，
∴tanA﹣＝0，csB﹣＝0，
则tanA＝，csB＝，
故∠A＝60°，∠B＝60°
则△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，非负数的性质，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．M，N
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数过点得到，则，再得到，，则；根据对称轴计算公式得到，则，．
【详解】解：∵二次函数，经过点，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于正半轴，开口向下，
∴，，
∴；
∵对称轴与x轴的交点的横坐标在到0之间，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：M，N ．
13．
【分析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，在Rt△ABE中，根据含30°的直角三角形的性质即可得出BE的值，再根据角的和差及等角对等边即可得出BE=DE，最后根据勾股定理即可得出答案.
【详解】如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，
∵，，
∴BE=AB=2km，，
∵，
∴，
∴，
∴BE=DE=2km，
∴BD==,
故答案为：．
【点睛】本题考查了非直角三角形的解法，勾股定理，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，过最大角的顶点作高构造直角三角形是解题的关键．
14．
【分析】本题考查的是阴影部分面积的求解，勾股定理的应用，圆的对称性与正方形的性质，扇形面积与弓形面积的理解，正多边形与圆，掌握以上知识是解题的关键．如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，再由勾股定理可得：，从而可得答案．
【详解】解：如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，
小圆的半径为2，
， ，
，
；
故答案为：
15．
【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究也取到最大值时的值，根据三点共线时，取得最大值，解出的坐标代入反比例函数即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
在中，
分别是的中点，
是的中位线，
，
已知长的最大值为，
此时的，
显然当三点共线时，取到最大值：，
，
，
设，由两点间的距离公式：，
，
解得：（取舍），
，
将代入，
解得：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值．
16．/
【分析】过点作于点，根据函数图像可得进而勾股定理求得，根据函数图象求得，勾股定理求得，进而求得，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】如图，过点作于点，
当AP=0时，y=5=PB=AB，当x=3时，
即AD=3时，此时BP为△ABC的高，
当点P到达点C时，y=8=BC，
则DC=，
则，
的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点图象问题，勾股定理，从函数图象获取信息是解题的关键．
17．，0
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊值三角函数值，熟练掌握分式的化简求值是解答本题的关键，先计算括号内的分式加减，然后计算分式的乘除，化简结果为，再计算特殊值三角函数值求得x的值，最后代入即可．
【详解】

，
，
原式．
18．（1）；（2）不公平，见解析
【分析】（1）先判断出A、B、C、D四个卡片上的函数增减性，在结合概率的定义即可求解
（2）根据题意用列表法分别求出小亮和小强同时抽到函数增减性相同的概率，和增减性不同的概率，二者进行比较即可
【详解】（1）卡片A上的函数为，为减函数，随的增大而减小；
卡片B上的函数为，为增函数，随的增大而增大；
卡片C上的函数为，为增函数，随的增大而增大；
卡片D上的函数为，为减函数，随的增大而减小；
所以从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数随的增大而减小的概率为
（2）不公平．理由如下，根据题意列表得：
卡片A，卡片D上的函数为减函数，卡片B，卡片C上的函数为增函数，
由表可知总共有12中等可能的结果，抽出的两张卡片上的函数增减性相同的概率为
；抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是，
，
∴不公平．
【点睛】本题考查了函数的性质，概率和游戏的公平性，掌握列表或树状图法展示等可能的结果是解题关键．
19．(1)100
(2)54°
(3)
【分析】（1）根据C（酒店管理）的人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；
（2）用360度乘以D（汽车维修）专业的人数占比即可求出所对应的圆心角度数；根据（1）所求，求出B类的人数即可补全统计图；
（3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可
【详解】（1）解：（人），
∴本次被调查的学生人数为100人，
故答案为：100；
（2）解：，
D（汽车维修）专业所对应的圆心角的度数为72°；
B（信息技术）人数为人，
补全统计图如下：

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图掌握树状图或列表法求解概率是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）直接根据图形画出三视图即可；
（2）根据公式进行求解即可；
【详解】（1）

（2）围成圆锥后圆锥的母线长为：=2cm
圆锥的底面周长为cm ，
底面圆的半径为： cm，
∴ 高=cm
【点睛】本题考查了三视图以及圆锥的体积公式、正确掌握三视图的画法是解题的关键；
21．小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，综合楼的高度约是37.00米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到三角函数的定义及矩形性质和应用，准确作出辅助线是解答此题的关键．作，垂足为，作，垂足为，由题意知，米，米，，，在中，有，（米），即得米，在中，有，得（米），故（米）．
【详解】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：
作，垂足为，作，垂足为，如图：
由题意知，米，米，，，
在中，
，
，即，
（米），
（米），
米，
在中，米，
，
，即，
（米），
（米），
答：综合楼的高度约是37.00米．
22．（1）；（2）.
【分析】（1）先求出，再判断出四边形是矩形，得出，进而求出点的坐标，即可得出结论；
（2）先求出点的坐标，再用三角函数求出，进而求出点的坐标，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，过点作轴于，
∴，
∵⊙切轴于，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵双曲线经过圆心，
∴，
∴双曲线的解析式为；
（2）如图，过点作直线，
由（1）知，四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的判定和性质，锐角三角函数，待定系数法，求出点的坐标是解本题的关键．
23．(1)
(2)购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，
（1）由抛物线过原点可设与间的函数关系式为，再利用待定系数法求解可得；
（2）设购进产品吨，购进产品吨，销售、两种产品获得的利润之和为万元，根据：产品利润产品利润总利润可得，配方后根据二次函数的性质即可知最值情况．
【详解】（1）解：根据题意，设销售种产品所获利润与销售产品之间的函数关系式为，
将、代入解析式，
得：，
解得：，
销售种产品所获利润与销售产品之间的函数关系式为；
（2）解：设购进产品吨，购进产品吨，销售、两种产品获得的利润之和为万元，
则，
，
，
，
当时，取得最大值，最大值为6.6万元，
答：购进产品6吨，购进产品4吨，销售、两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
24．(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，等角对等边，勾股定理，三角形中位线定理．
（1）连接，根据切线的性质，等角对等边证明即可．
（2）过点G作于点H．设，则，在中，，求得r，利用中位线定理，勾股定理计算即可．
【详解】（1） ，理由如下：
证明：如图，连接．
∵为的切线，
∴，
∵是的直径，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）解：过点G作于点H．
设，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴．
25．(1)，
(2)直线与相切，证明见解析
(3)能，或
【分析】（1）利用待定系数法抛物线解析式即可；根据解析式求得抛物线与x轴的交点，即可得点A、B坐标，再根据点D为的中点，即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理证明，得出，再根据即为的半径，即可得出结论；
（3）假设存在点P．设点，过点C作对称轴，过点作对称轴，则，证明，得，求得，再把代入抛物线解析式求得k值，即可求解．
【详解】（1）解：∵已知抛物线顶点为，
∴
把点代入，得
解得：
∴抛物线解析式为，
令，则
解得：，，
∴，，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴
∵，
∴，，
∴
∴，即，
∵，
∴点C在上，
∴直线与相切．
（3）解：假设存在点P．设点，过点C作对称轴，过点作对称轴，则，
根据题意得，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或，
∴或．
∴存在，当或时，将线段绕点P逆时针旋转，使点C的对应点恰好落在抛物线上．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，直线与圆的位置关系，矩形的判定与性质，旋转变换的性质．此题属二次函数综合题目，综合性较强，属中考压轴题目．
卡片A
卡片B
卡片C
卡片D
卡片A
AB
AC
AD
卡片B
AB
BC
BD
卡片C
AC
BC
CD
卡片D
AD
BD
CD