备战2024年高考数学二轮专题考前演练之指数运算与指数函数 (解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮专题考前演练之指数运算与指数函数 (解析)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数y=ax+1−1（a>0且a≠1）的图象过定点（ ）
A．(−1，1)B．(−1，0)C．(0，1)D．(0，0)
【答案】B
【解析】【解答】由指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象恒过定点(0，1)，
所以在函数y=ax+1−1中，当x=−1时，恒有y=0，
所以y=ax+1−1（a>0且a≠1）的图象过定点(−1，0)。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合指数型函数的图象过定点的性质，进而得出函数y=ax+1−1（a>0且a≠1）的图象过的定点坐标。
2．若函数y=2x在区间[2，a]上的最大值比最小值大4，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】【解答】∵y=2x在R上单调递增，∴y=2x在[2，a] 上单调递增，
∴当x=2时，y=2x取得最小值为4；当x=a时，y=2x取得最大值为2a ，
∴2a−4=4，解得：a=3.
故答案为：C.
【分析】利用指数函数的单调性，分类讨论，求出y=2x的最值，进而求得a的值.
3．已知f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(2)>f(3)，则实数a的取值范围是（ ）
A．01C．a<1D．a>0
【答案】A
【解析】【解答】由f(x)=ax(a>0，且a≠1)可知，
当01时，f(x)为单调递增函数，
因为f(2)>f(3)，故f(x)为单调递减函数，从而0故答案为：A.
【分析】根据指数的图象与性质，结合f(2)>f(3)，即可求解.
4．函数y=(12)x2−3x+2的单调递减区间是（ ）
A．(−∞，1]B．[1，2]C．[32，+∞)D．(−∞，32]
【答案】C
【解析】【解答】内层函数u=x2−3x+2在区间(−∞，32]单调递减 ，在[32，+∞)单调递增，
外层函数y=(12)u为减函数，
所以函数y=(12)x2−3x+2的单调递减区间是[32，+∞)，
故答案为：C
【分析】先求函数的定义域，再求内层函数的单调区间，由于外层函数在R上为减函数，故内层函数的单调增区间就是函数的单调减区间.
5．函数y=3−x与函数y=−3x的图象（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y=x对称
【答案】C
【解析】【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y=3−x与函数y=−3x的图象，如图所示：
由图象知：函数y=3−x与函数y=−3x的图象关于原点对称，
故答案为：C
【分析】 由题意，利用指数函数的图象和性质，函数图象的对称性，得出答案.
6．已知 f(x)=a−x ( a>0 ，且 a≠1 )，且 f(−2)>f(−3) ，则a的取值范围是（ ）
A．0C．1【答案】D
【解析】【解答】因为 f(−2)=a2 ， f(−3)=a3 ， f(−2)>f(−3) ，
即 a2>a3 ，解得 0故答案为：D
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出实数a的取值范围。
7．若(12)2a+1>(12)4−a，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞，1)B．(1，+∞)C．(3，+∞)D．(−∞，3)
【答案】A
【解析】【解答】解：因为y=(12)x在定义域上单调递减，所以(12)2a+1>(12)4−a等价于2a+1<4−a，解得a<1，即原不等式的解集为(−∞，1)
故答案为：A
【分析】 由题意利用指数函数的单调性，解指数不等式，求得实数a的取值范围.
8．已知函数f(x+1)=2x+1−2−1−x，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在R是单调递增B．是奇函数，且在R是单调递增
C．是偶函数，且在R是单调递减D．是奇函数，且在R是单调递减
【答案】B
【解析】【解答】解：由题知f(x+1)=2x+1−2−1−x，则x∈R，
将x−1代替x代入可得：
f(x)=2x−2−x(x∈R)，
∴f(−x)=2−x−2x，
∴f(x)+f(−x)=0，
故f(x)为奇函数，
∵f(x)=2x−12x，
y=2x单调递增，
y=−12x单调递增，
故f(x)在R上单调递增.
故答案为：B
【分析】根据奇偶函数的定义可判断出f(x)的奇偶性，再根据指数函数的单调性可判断出答案.
二、填空题
9．(32)−2−(827)23+lg327+eln2= ．
【答案】5
【解析】【解答】由题意可得(32)−2−(827)23+lg327+eln2=232−23323+3+2=232−232+5=5.
故答案为：5.
【分析】根据指对、数运算求解.
10．计算：lg312×lg49+[(−2)6]12= ．
【答案】7
【解析】【解答】原式=−ln2ln3×ln9ln4+26×12=−1+8=7，
故答案为：7.
【分析】利用已知条件结合换底公式和指数幂的运算法则，进而化简求值。
11．3×2−1−lg28+(27)13= .
【答案】32
【解析】【解答】3×2−1−lg28+(27)13=3×12−lg223+(33)13=32−3+3=32。
故答案为：32。
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则和对数的运算法则，进而化简求值。
12．不等式(12)x>1的解集为 ．
【答案】（-∞，0）
【解析】【解答】由(12)x>1=(12)0，可得x<0，故解集为（-∞，0）.
故答案为：（-∞，0）.
【分析】由已知条件结合指数函数的单调性即可求解出x的取值范围，由此即可得出不等式的解集。
13．已知函数f(x)=4x−2x+1，则其值域为 .
【答案】[34，+∞)
【解析】【解答】f(x)=4x−2x+1=(2x)2−2x+1，令2x=t，则t>0，g(t)=t2−t+1=(t−12)2+34，由于g(t)在t∈(12，+∞)单调递增，在t∈(0，12)单调递减，故g(t)的最小值为g(12)=34，故值域为[34，+∞)，
故答案为：[34，+∞)
【分析】令2x=t，则t>0，g(t)=t2−t+1，利用二次函数的性质可求出答案.
14．已知 (a2+a+2)x>(a2+a+2)1−x ，则x的取值范围是 ．
【答案】(12，+∞)
【解析】【解答】 a2+a+2=(a+12)2+74>1 ，
所以 x>1−x⇒x>12 .
故答案为： (12，+∞)
【分析】 确定a2+a+2的范围，利用指数函数的性质，推出x> 1-x，即可求出x的取值范围.
15．若函数y=2x2−6x+10的定义域为[2，5]，则该函数的值域是 .
【答案】[2，32]
【解析】【解答】因为函数y=2x2−6x+10，设t=x2−6x+10，则y=2t
因为定义域为[2，5]，t=x2−6x+10=(x−3)2+1
当x=3时， tmin=1.当x=5时， tmax=5
所以1≤t≤5，又因为y=2t单调递增，
即得21≤y≤25，函数的值域为[2，32]
故答案为： [2，32]
【分析】设t=x2−6x+10，先求出函数t在 [2，5]上的值域，再利用指数函数的单调性可求出该函数的值域.
16．已知函数f(x)=3ex1+ex，则f(x)+f(−x)= ；若∀x∈(0，+∞)，不等式f(4−ax)+f(x2)≥3恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】3；(−∞，4]
【解析】【解答】由f(x)=3ex1+ex=3−31+ex，则f(−x)=3−31+e−x=3−3exex+1，所以则f(x)+f(−x)=3，
所以f(4−ax)+f(x2)≥3可转化为f(4−ax)≥3−f(x2)=f(−x2)，
因为y=1+ex在R上为增函数，所以f(x)=3ex1+ex=3−31+ex在R上为增函数，
所以4−ax≥−x2对∀x∈(0，+∞)恒成立，即a≤x+4x对∀x∈(0，+∞)恒成立，
因为x>0，所以x+4x≥4，当且仅当x=4x，即x=2时取等号，
所以a≤4，即实数a的取值范围(−∞，4]．
故答案为：(−∞，4]．
【分析】根据指数的运算即可得第一空答案；先判断出f(x)在(0， +∞)上单调递增，再将原不等式转化为4−ax≥−x2对∀x∈(0，+∞)恒成立，结合双勾函数的性质求解出实数a的取值范围.
17．函数f(x)=2−x2−2x+3+1的单调递减区间为 ，值域为 ．
【答案】(−1，+∞)；(1，17]
【解析】【解答】令g(x)=−x2−2x+3，则g(x)开口向下，对称轴为x=−−22×(−1)=−1，
所以g(x)在(−∞，−1)上单调递增，在(−1，+∞)上单调递减，
故g(x)max=g(−1)=−1+2+3=4，即g(x)≤4，
又因为ℎ(x)=2x+1在R上单调递增，故ℎ(x)在(−∞，4]上单调递增，
所以由0<2x≤24=16得1<2x+1≤17，故1<ℎ(x)≤17，
故f(x)=ℎ(g(x))在(−∞，−1)上单调递增，在(−1，+∞)上单调递减，且1所以函数f(x)=2−x2−2x+3+1的单调递减区间为(−1，+∞)，值域为(1，17]．
故答案为：(−1，+∞)；(1，17].
【分析】令g(x)=−x2−2x+3，结合二次函数的性质，求得函数g(x)的单调区间和最大值，再由函数ℎ(x)=2x+1单调性，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
三、解答题
18．计算下列各式的值：
（1）(14)−1+lg23；
（2）2723+(5)2−1614+(e−1)0.
【答案】（1）解：原式=(14)−1⋅(2−2)lg23=4×3−2=49.
（2）解：原式=33×23+5−24×14+1=32+5−2+1=13.
【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质进行计算即可；
（2）利用分数指数幂的运算性质进行计算即可.
19．化简或求值．
（1）ba3⋅3aba3b2ab(a>0，b>0)；
（2）(214)12+0.1−2−(278)13+π0．
【答案】（1）解：原式=b(a3(ab)13)12a(b2(ab)12)13=b×a32a×b23=a32−1b1−23=a12b13
（2）解：原式=(94)12+(110)−2−[(32)3]13+1=32+100−32+1=101
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得解；
（2）利用指数幂的运算性质即可得解.
20．已知函数 f(x)=a−32x+1 .（a为实常数）
（1）讨论函数 f(x) 的奇偶性，并说明理由；
（2）当 f(x) 为奇函数时，对任意 x∈[1,6] ，不等式 f(x)≥u2x 恒成立，求实数u的最大值.
【答案】（1）当 a=32 时 f(x)+f(−x)=2a−32x+1−32−x+1=2a−3=0 ，
即 f(−x)=−f(x) ；故此时函数 f(x) 是奇函数；
因当 a≠32 时， f(1)=a−1,f(−1)=a−2 ，故
f(−1)≠f(1) ，且 f(−1)≠−f(1)
于是此时函数 f(x) 既不是偶函数，也不是奇函数
（2）因 f(x) 是奇函数，故由（1）知 a=32 ，从而 f(x)=32−32x+1 ；
由不等式 f(x)≥u2x ，得 u≤32⋅2x−3⋅2x2x+1 ，
令 2x+1=t∈[3,65]( 因 x∈[1,6]) ，故 u≤32(t−1)−3(t−1)t=32(t+2t)−92
由于函数 φ(t)=32(t+2t)−92 在 [3,65] 单调递增，所以 φ(t)min=φ(3)=1 ；
因此，当不等式 f(x)≥u2x 在 x∈[1,6] 上恒成立时， umax=1.
【解析】【分析】 (1)讨论当 a=32时，当 a≠32时， 计算f (-x)和f (x) 的关系，即可判断函数f (x) 的奇偶性;
(2)求得 f(x)=32−32x+1，由题意可得 u≤32⋅2x−3⋅2x2x+1 ，运用换元法和指数函数的单调性，以及对勾函数的单调性，求得此不等式右边函数的最小值，可得所求u的最大值.