备战2024年中考数学二轮专题复习真题演练之相交线与平行线（2）

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一、选择题
1．（2023·包头）如图，直线a//b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB，若∠1=32°，则∠2的度数为（ ）
A．32°B．58°C．74°D．75°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CA=CB，∠1=32°，
∴∠ABC=∠BAC=12(180°−∠1)=74°
∵a∥b，
∴∠2=∠ABC=74°.
故答案为：C.
【分析】由CA=CB知△ABC是等腰三角形，进而得出∠ABC的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数.
2．（2023·深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．50°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，∠ABD=50°，
∴∠D=∠ABD=50°，
∵∠DEF=∠D+∠DCE=120°，
∴∠DCE=∠DEF-∠D=120°-50°=70°，
∴∠ACB=∠DCE=70°.
故答案为：70°.
【分析】先由二直线平行，内错角相等，得∠D=∠ABD=50°，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠DCE=∠DEF-∠D=70°，最后根据对顶角相等可得∠ACB的度数.
3．（2023·广东）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137°，则拐角∠BCD= （ ）
A．43°B．53°C．107°D．137°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=137°.
故答案为：D
【分析】利用两直线平行，内错角相等，可求出∠BCD的度数.
4．（2023·齐齐哈尔）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=45°，则∠2的度数是（ ）
A．135°B．105°C．95°D．75°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2，∠1=45°，
∴∠3=∠1=45°，
∵∠4=30°，
∴∠2=180°−∠3−∠4=180°−45°−30°=105°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质得到∠3的角度，再通过平角的定义得到∠2的角度.
5．（2023·贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得GD平分∠CDA，
∴∠GDC=∠GDA，
∵AD∥BC，
∴∠DGC=∠GDA，
∴∠DGC=∠GDC，
∴DC=GC=3，
∴BG=5-3=2，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠GDC=∠GDA，进而根据平行线的性质得到∠DGC=∠GDA，从而得到∠DGC=∠GDC，再根据等腰三角形的性质即可得到DC=GC=3，进而即可求解。
6．（2023·东营）如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE，若∠D=40°，∠BED=60°，则∠B=（ ）
A．10°B．20°C．40°D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠BED为△CDE的外角，
∴∠BED=∠D+∠C，
∴∠C=20°，
∵AB∥CD，
∴∠B=20°，
故答案为：B
【分析】先根据三角形外角的性质结合题意即可得到∠C=20°，进而根据平行线的性质即可求解。
7．（2023·鄂州）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE=60°，则∠EFD的度数是（ ）
A．60°B．30°C．40°D．70°
【答案】B
【解析】【解答】解：过E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
、
∴∠BGE=∠GEH，∠HEF=∠EFD.
∵∠GEF=∠GEH+∠HEF=90°，
∴∠BGE+∠EFD=90°.
∵∠BGE=60°，
∴∠EFD=30°.
故答案为：B.
【分析】过E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BGE=∠GEH，∠HEF=∠EFD，则
∠GEF=∠GEH+∠HEF=∠BGE+∠EFD=90°，据此求解.
8．（2023·徐州）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．1或32D．1或2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=23，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=3.
∵ADAB=DEBC，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，ADAB=DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADBC=12，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=12BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=23，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=12BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
9．（2023·常德）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC=15°，则∠AED的度数为（ ）
A．80°B．90°C．105°D．115°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，
∵EF∥AD，
∴∠EFO=45°，∠FE0=45°，
∴∠FE0=∠EFO，
∴FO=EO，
∴△EOD≌△FOA（SAS），
∴∠EDO=∠FAC=15°，
∴∠EDA=30°，
∴∠AED=180°-45°-30°=105°，
故答案为：C
【分析】先根据正方形的性质即可得到AO=DO，∠ADO=∠DAO=45°，进而根据平行线的性质结合题意即可得到∠FE0=∠EFO，再运用等腰三角形的判定结合三角形全等的判定与性质即可得到∠EDO=∠FAC=15°，进而得到∠EDA=30°，然后根据三角形内角和定理即可求解。
10．（2023·绥化）下列命题中叙述正确的是（ ）
A．若方差s甲2>s乙2，则甲组数据的波动较小
B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【答案】D
【解析】【解答】解：A、若方差S甲2>S乙2，则乙组数据的波动较小，故错误；
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误；
C、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故错误；
D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故正确.
故答案为：D.
【分析】方差越小，波动越小，据此判断A；根据点到直线的距离的概念可判断B；根据重心的概念即可判断C；根据角平分线的性质即可判断D.
11．（2023·陕西）如图，l//AB，∠A=2∠B.若∠1=108°，则∠2的度数为（ ）
A．36°B．46°C．72°D．82°
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=108°，
∴∠3=∠1=108°，
∵l∥AB，
∴∠A+∠3=180°，∠2=∠B，
∴∠A=180°−∠3=72°，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=36°，
∴∠2=∠B=36°.
故答案为：A.
【分析】本题考查的是平行线的性质，利用角与角之间的等角关系求解.
12．（2023·荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B=∠D=80°，∠E=∠F=47°，则图中∠G的度数是（ ）
A．80°B．76°C．66°D．56°
【答案】C
【解析】【解答】解：延长AB交EG于点M，延长CD交FG于点N，过K作GK∥AB，则GK∥AB∥CD，
∴∠KGM=∠EMB，∠KGN=∠DNF，
∴∠KGM+∠KGN=∠EMB+∠DNF，
∴∠EGF=∠EMB+∠DNF.
∵∠ABE=80°，∠E=47°，
∴∠EMB=∠ABE-∠E=33°.
同理可得∠DNF=33°，
∴∠EGF=∠KGM+∠KGN=∠EMB+∠DNF=33°+33°=66°.
故答案为：C.
【分析】延长AB交EG于点M，延长CD交FG于点N，过K作GK∥AB，则GK∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠KGM=∠EMB，∠KGN=∠DNF，则∠EGF=∠EMB+∠DNF，根据外角的性质可得∠EMB、∠DNF的度数，据此计算.
二、填空题
13．（2023·株洲）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵EB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∴DE=2，
故答案为：2
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠ABE=∠CBE，再运用平行四边形的性质即可得到AD∥BC，AD=BC=5，进而运用平行线的性质结合题意即可得到∠ABE=∠AEB，再运用等腰三角形的性质即可求解。
14．（2023·广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA=34°，则∠CAB的度数为 ．
【答案】56°
【解析】【解答】解：由作图知CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵a∥b ，∠CDA=34°，
∴∠BCE=∠CDA=34°，
∴∠ACB=2∠BCE=68°，
∴∠CAB=12（180°-∠BCA）=56°；
故答案为：56°.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CB，利用等腰三角形的性质可得∠CAB=∠CBA，∠ACE=∠BCE，由平行线的性质可得∠BCE=∠CDA=34°，从而得出∠ACB=2∠BCE=68°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠CAB的度数.
15．（2023·聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD=8，CE=5，则四边形BFCE的面积为 ．
.
【答案】24
【解析】【解答】解：∵CF∥BE，
∴∠OFC=∠OEB，
∵BC的垂直平分线EO交AD于点E，
∴∠FOC=∠EOB=90°，OB=OC，
∴△FOC≌△EOB，
∴FO=EO，FC=EB，
∴四边形ECFB为平行四边形，
∴四边形ECFB为菱形，
∵DA=8，
∴CB=8，
∴CO=4，
由勾股定理得OE=52−42=3，
∴四边形BFCE的面积为12×2×3×8=24，
故答案为：24
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠OFC=∠OEB，进而根据垂直平分线的性质即可得到∠FOC=∠EOB=90°，OB=OC，然后根据三角形全等的判定与性质证明△FOC≌△EOB，进而即可得到FO=EO，FC=EB，再运用平行四边形的判定、菱形的判定与性质结合题意即可求解。
16．（2023·常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为 ．
【答案】45
【解析】【解答】解：由勾股定理得AC=62+82=10，
∵DE∥BC，
∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，
∴△CBA∽△EDA，
∴EACA=DABA，
∴BACA=DAEA，
∵∠EAD=∠CAB，
∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，
即∠EAC=∠DAB，
∴△ECA∽△DBA，
∴DBDC=BACA=45，
故答案为：45
【分析】先根据勾股定理即可得到AC的长，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质证明△CBA∽△EDA，进而得到BACA=DAEA，再结合题意得到∠EAC=∠DAB，然后运用相似三角形的判定与性质证明△ECA∽△DBA，然后得到DBDC=BACA即可求解。
三、解答题
17．（2023·乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO=BO，求证：AC=BD．
【答案】解：∵AC∥BD，∴A=∠B
在△AOC和△BOD中，
∵∠A=∠B，AO=BO，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD．
∴AC=BD．
【解析】【分析】先根据平行的性质得到A=∠B，再根据三角形全等的判定与性质证明△AOC≌△BOD，进而即可求解。
四、作图题
18．（2023·广东）如图，在▱ABCD中，∠DAB=30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长．
【答案】（1）解：依题意作图如下，则DE即为所求作的高：
（2）∵AD=4，∠DAB=30°，DE是AB边上的高，
∴cs∠DAB=AEAD，即AE4=cs30°=32，
∴AE=4×32=23．
又∵AB=6，
∴BE=AB−AE=6−23，
即BE的长为6−23．
【解析】【分析】（1）利用过一点作已知直线的垂线的方法，利用尺规作图作出AB边上的高.
（2）利用解直角三角形求出AE的长，根据BE=AB-AE，代入计算求出BE的长.
五、综合题
19．（2023·赤峰）已知：如图，点M在∠AOB的边OA上．
求作：射线MN，使MN∥OB．且点N在∠AOB的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于12CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P．
③画射线OP．
④以点M为圆心，OM长为半径画弧，交射线OP于点N．
⑤画射线MN．
射线MN即为所求．
（1）用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵OP平分∠AOB．
∴∠AON= ，
∵OM=MN，
∴∠AON= ，（ ）．(括号内填写推理依据)
∴∠BON=∠ONM．
∴MN∥OB．（ ）．(填写推理依据)
【答案】（1）解：根据意义作图如下：射线MN即为所求作的射线．
（2）证明：∵OP平分∠AOB．
∴∠AON=∠BON，
∵OM=MN，
∴∠AON=∠MNO，(等边对等角)．(括号内填写推理依据)
∴∠BON=∠ONM．
∴MN∥OB．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)
【解析】【分析】(1)先作∠AOB的角平分线，再过点M作OB的平行线交角平分线于点N.
(2)本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和平行线的判定，熟练运用这些条件进行角之间的数量转换是解题关键.
20．（2023·常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AC=8，求CE，DE的长．
【答案】（1）证明：连接OC
∵C为BD的中点，
∴CD=BC，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥OC，
又∵CE⊥AE，
∴CE⊥OC，OC为半径，
∴CE为⊙O的切线，
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10，
又∵∠1=∠2，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴ECCB=ACAB，即EC6=810，
∴EC=245，
∵CD=CB，
∴CD=BC=6，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
DE=CD2−CE2=62−(245)2=185．
【解析】【分析】（1）连接OC，先根据圆周角定理结合等腰三角形的性质即可得到∠1=∠2，∠1=∠3，进而得到AE∥OC，再根据平行线的判定与性质即可得到CE⊥OC，进而运用切线的判定即可求解；
（2）先根据圆周角定理即可得到∠ACB=90°，进而运用勾股定理即可求出AB的长，再根据相似三角形的判定与性质证明△AEC∽△ACB，进而得到EC=245，再结合题意根据勾股定理即可求解。
21．（2023·齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA，OD是⊙O的半径，∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠BAD，
∴∠ODA=∠BAD，
∴OD∥AB
∴∠ODC=∠B=90°，∴OD⊥BC于点D，
又∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线.
（2）解：连接OF，DE
∵在Rt△ABD中，∠B=90°，tan∠ADB=3，
∴∠ADB=60°，∠BAD=30°，
∵BD=5，∴AD=2BD=10，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAD=30°，
在Rt△ADE中，AD=10，∴AE=2033，
∴OA=12AE=1033
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=60°，
∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∵OD∥AB，∴S△ADF=S△AOF，
∴S阴影=S扇形OAF=60π×(1033)2360
=50π9
【解析】【分析】(1)本题考查的是切线的判定，添加正确的辅助线是解题关键，利用平行线的性质证明半径OD垂直于BC即可.
(2)根据平行线的性质可以得到阴影部分的面积等于扇形OAF的面积，利用特殊角的三角函数值算出扇形所对圆心角的度数以及半径长度，再通过扇形面积公式计算即可.
22．（2023·邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB=8，AC=6，DE=4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．
【答案】（1）证明：∵AC⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，∠C+∠ABC=90°，
∵CE⊥BE，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠C=∠EBD，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：∵△ABC∽△DEB，
∴ABDE=ACBD，
∵AB=8，AC=6，DE=4，
∴84=6BD，
解得：BD=3．
【解析】【分析】（1）先根据垂线的定义即可得到∠A=∠D=90°，∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，进而得到∠C=∠EBD，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质即可得到ABDE=ACBD，进而代入数值即可求解。
23．（2023·常德）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB，EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE=AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF⋅MH=AM⋅AE；
②GF=GD．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
又∵E在AD上，
∴EB=EC，
在△BAE和△CAE中，AB=AC，EB=EC，AE=AE
∴△BAE≌△CAE(SSS)
（2）证明：①连接AH，
∵A，H分别是ED和EC的中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AH∥DC，
∴∠EAH=∠EDC=90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠AFD=90°，
又∵HG∥AB，
∴∠FAD=∠AMH，
在△AFD和△MAH中，∠AFD=∠MAH=90°，∠FAD=∠AMH，
∴△AFD∽△MAH，
∴AFAM=ADMH，
∴AF⋅MH=AM⋅AD，
又∵AE=AD，
∴AF⋅MH=AM⋅AE；
②在△AMH和△DAC中，∠MAH=∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DF⊥AB，
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∵∠ABD+∠FAD=90°，
∴∠ABD=∠ADF，
∵AB∥HG，
∴∠AFD=∠HGD=90°，
∵∠AMH=∠GMD，
∴∠AHM=∠ADF，
∴∠ABD=∠ADF=∠AHM，
∴∠AHM=∠ACB，
∴△AMH∽△DAC，
又∵A、H分别为ED和EC中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AMAD=AHDC=12，
∴AM=12AD，即M为AD中点，
又∵AF∥GH，
∴G为FD中点，
∴GF=GD.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合垂直平分线的判定与性质即可得到EB=EC，进而根据三角形全等的判定（SSS）即可求解；
（2）①连接AH，先根据三角形中位线的性质即可得到AH∥DC，进而根据平行线的性质得到∠EAH=∠EDC=90°，从而结合题意即可得到∠FAD=∠AMH，再运用相似三角形的判定与性质证明△AFD∽△MAH，然后进行等量代换即可得到AF⋅MH=AM⋅AE；
（3）先根据题意证明∠AHM=∠ACB，进而根据相似三角形的判定与性质证明△AMH∽△DAC，进而结合题意即可得到AM=12AD，即M为AD中点，再已知条件即可求解。
24．（2023·绥化）已知：四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）.连接AF交CD于点G.
（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG.
（2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E.连接BE，设BF=x，CE=y.求y关于x的函数关系式.
（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M.当CF=1时，求线段BM的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BF
∴∠D=∠DCF
∵G为CD中点
∴DG=CG
在△ADG和△FCG中
∠D=∠GCFDG=CG∠AGD=∠FGC
∴△ADG≌△FCG(ASA)
（2）∵四边形ABCD为矩形
∴∠ABC=90°
∵CE⊥AF
∴∠CEF=90°=∠ABC
∵∠F=∠F
∴△CEF∽△ABF
∴CEAB=CFAF
∵AB=4，BF=x
∴在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=x2+16
∵CE=y
∴y4=x−3x2+16
∴y=4x−12x2+16
（3）过点E作EN⊥BF于点N
∵四边形ABCD为矩形，且AD=3
∴AD=BC=3
∵AB=4，CF=1
∴AB=BF
∴△ABF为等腰直角三角形
∴∠CFE=∠BAF=45°
∵CE⊥AF
∴△CEF为等腰直角三角形
∴∠ECF=45°
∵EN⊥CF
∴EN平分CF
∴CN=NF=NE=12
在Rt△BNE中，
∵BE2=BN2+EN2
∴BE=(3+12)2+(12)2=522
∵∠ECF=∠BAF=45°
∴∠BAM=∠BCE=135°
∵BM⊥BE
∴∠MBA+∠ABE=90°
∵∠ABE+∠EBC=90°
∴∠MBA=∠EBC
∴△BAM∽△BCE
∴BMBE=BABC=43
∴BM522=43
∴BM=1023
【解析】【分析】（1）根据矩形以及平行线的性质可得∠D=∠DCF，根据中点的概念可得DG=CG，由对顶角的性质可得∠AGD=∠GFC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据矩形的性质可得∠ABC=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CEF∽△ABF，由勾股定理可得AF，然后由相似三角形的性质进行解答；
（3）过点E作EN⊥BF于点N，由矩形的性质可得AD=BC=3，易得△ABF、△CEF均为等腰直角三角形，则∠CFE=∠BAF=45°，∠ECF=45°，进而推出EN平分CF，得到CN=NF=NE=12，由勾股定理可得BE，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BAM∽△BCE，然后由相似三角形的性质计算即可.
25．（2023·陕西）
（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24.若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽.已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内(含边界)修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N.连接BN，点P在⊙O上，连接EP.其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修迅路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
【答案】（1）解：如图，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，
则OP+PM≥OM．
∵⊙O半径为4，
∴PM≥OM−4≥OM'−4，
∵OA=OB.∠AOB=120°，
∴∠A=30°，
∴OM'=AM'⋅tan30°=12tan30°=43，
∴PM≥OM'−4=43−4，
∴线段PM的最小值为43−4；
（2）如图，分别在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，
连接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．
∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON=BB'，
∴四边形BB'ON是平行四边形．
∴BN=B'O．
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，
∴BN+PE≥B'E−r，
∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．
作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r=30(m)，
作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．
∴O'H//A'E，
∴△B'O'H∽△B'EA'，
∴O'HEA'=B'HB'A'，
∵⊙O'在矩形AFDE区域内(含边界)，
∴当⊙O'与FD相切时，B'H最短，即B'H=10000−6000+30=4030(m)．
此时，O'H也最短．
∵M'N'=O'H，
∴M'N'也最短．
∴O'H=EA'⋅B'HB'A'=(10000−30)×403010000=4017.91(m)，
∴O'M'=O'H+30=4047.91(m)，
∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m．
【解析】【分析】(1)当点O、P、M在同一直线且OM与AB互相垂直时，线段PM的长度最小，利用等腰三角形的性质求出OM的长度即可.
(2)先通过平移与三角形的三边关系可以得知，当B'、O、E三点共线时，BN、EP之和最短.而圆心O越接近点B，则线段OM的长度也越短，故圆与DF相切时，OM有最小值.最后，利用相似比和勾股定理求解即可.
26．（2023·聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD=12，tan∠ABC=34，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OE，
由题意可知OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ODE，
∴∠OED=∠CDE，
∴OE∥CD，
又∵∠ACB=90°，
∴∠AEO=90°，
即OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AB，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB=90°，
∴CD=DF，
∵CD=12，tan∠ABC=34，
∴BF=DFtan∠ABC=16，
∴BD=DF2+BF2=20，则BC=CD+BD=32，
∴AC=BC⋅tan∠ABC=24，
∴AD=AC2+CD2=125，
∵OE∥CD，
∴△AEO∽△ACD，
∴EOCD=AOAD，即：EO12=125−OD125=125−EO125，
可得：EO=15−35，
∴⊙O的半径为15−35．
【解析】【分析】（1）连接OE，先根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可得到∠OED=∠ODE，∠CDE=∠ODE，进而得到∠OED=∠CDE，再根据平行线的判定与性质即可得到∠AEO=90°，然后结合切线的判定即可求解；
（2）过点D作DF⊥AB，根据角平分线的性质即可得到CD=DF，进而根据锐角三角形函数的定义即可得到BF的长，再运用勾股定理即可得到BD、AD的长，然后根据相似三角形的判定与性质证明△AEO∽△ACD，进而求出EO即可求解。
27．（2023·邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D做BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F．
（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．
（2）当APDP为何值时，△AQF是直角三角形？
【答案】（1）证明：∵等边三角形ABC，
∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠AEP=∠ACB=60°，
∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，
∴∠PAQ=60°，AP=AQ，
∴△APQ时等边三角形，
∴∠AQP=∠APQ=60°，
∴∠AQP=∠AEP=60°，
∴A、P、E、Q四点共圆，
∴∠APQ=∠AEQ=60°，
∴∠PEQ=∠AEP+∠AEQ=120°．
（2）解： 如图，根据题意，只有当 ∠AFQ=90° 时，成立，
∵△ABP 绕点 A 逆时针方向旋转 60° ，得到 △ACQ ，
∴∠PAQ=60°，AP=AQ ，
∴△APQ 时等边三角形，
∴∠PAQ=60° ，
∵∠AFQ=90° ，
∴∠PAF=∠QAF=30° ，
∵等边三角形 ABC ，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60° ，
∵DE∥BC ，
∴∠ADP=∠ABC=60° ，
∴∠DAP=30°，∠APD=90° ，
∴tan∠ADP=tan60°=APPD=3 ．
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质即可得到AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，再根据平行线的性质即可得到∠AEP=∠ACB=60°，进而根据旋转的性质得到∠PAQ=60°，AP=AQ，进而结合题意得到A、P、E、Q四点共圆，进而即可求解；
（2）只有当 ∠AFQ=90° 时，成立，先根据旋转的性质即可得到∠PAQ=60°，AP=AQ ，进而根据等边三角形的判定与性质即可得到∠PAQ=60° ，进而结合题意得到∠PAF=∠QAF=30° ，再根据等边三角形的性质即可得到∠ABC=∠BCA=∠CAB=60° ，进而根据平行线的性质结合锐角三角函数的定义即可求解。