备战2024年中考数学二轮专题复习真题演练之分式方程（2） (解析)

这是一份备战2024年中考数学二轮专题复习真题演练之分式方程（2） (解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2023·大连）将方程1x−1+3=3x1−x去分母，两边同乘(x−1)后的式子为（ ）
A．1+3=3x(1−x)B．1+3(x−1)=−3x
C．x−1+3=−3xD．1+3(x−1)=3x
【答案】B
【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以(x-1)，得1+3(x-1)=-3x.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)即可.注意：常数项不可忽略.
2．（2023·内江）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A．26402x=2640x+2B．26402x=2640x−2
C．26402x=2640x+2×60D．26402x=2640x−2×60
【答案】D
【解析】【解答】解：设乙每分钟能输入x个数据，由题意得26402x=2640x−2×60，
故答案为：D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，根据“本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完”即可列出分式方程，进而即可求解。
3．（2023·十堰）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A．1500x+20−800x=5B．1500x−20−800x=5
C．800x−1500x+20=5D．800x−1500x−20=5
【答案】A
【解析】【解答】解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为(x+20)元，用1500元购进篮球的数量为1500x+20个，用800元购进足球的数量为800x，
∴1500x+20-800x=5.
故答案为：A.
【分析】设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为(x+20)元，根据总价÷单价=数量表示出购买足球、篮球的个数，然后根据题意就可列出方程.
4．（2023·随州）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A．9x−12x+1=12B．12x+1−9x=12
C．9x+1−12x=12D．12x−9x+1=12
【答案】A
【解析】【解答】解：设甲工程队每个月修x千米， 则乙工程队每个月修(x+1)千米，甲所用的时间为9x，乙所用的时间为12x+1.
∵乙最终用的时间比甲工程队少半个月，
∴9x-12x+1=12.
故答案为：A.
【分析】设甲工程队每个月修x千米， 则乙工程队每个月修(x+1)千米，根据修的路程÷速度=时间表示出甲、乙所用的时间，结合题意就可列出方程.
5．（2023·宜昌）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（ ）．
A．0.2km/minB．0.3km/minC．0.4km/minD．0.6km/min
【答案】D
【解析】【解答】解：设汽车的速度为xkm/min，则学生的速度为12xkm/min，
由题意得：1212x−20=12x，
解得x=0.6，
经检验，x=0.6是原方程的解.
故答案为：D.
【分析】设汽车的速度为xkm/min，则学生的速度为12xkm/min，根据一部分学生骑自行车先走20min后，其余学生乘汽车除法，结果他们同时到达，可列出方程并求解即可.
6．（2023·武威）方程2x=1x+1的解为（ ）
A．x=−2B．x=2C．x=−4D．x=4
【答案】A
【解析】【解答】解： 2x=1x+1，
去分母得2（x+1）=x，
解得x=-2，
经检验，x=-2是分式方程的解；
故答案为：A.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
7．（2023·广安）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A．25x=103x−0.1B．25x=103x+0.1
C．253x+0.1=10xD．253x−0.1=10x
【答案】D
【解析】【解答】解：设燃气汽车每千米所需的费用为x元，由题意得253x−0.1=10x，
故答案为：D
【分析】设燃气汽车每千米所需的费用为x元，根据“燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元”再结合一次函数的函数图象即可列分式方程。
8．（2023·宜宾）分式方程x−2x−3=2x−3的解为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x−2x−3=2x−3，
去分母得x-2=2，
移项得x=4，
经检验，x=4为原方程的解，
故答案为：C
【分析】根据题意直接解分式方程即可。
9．（2023·达州）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
A．12000x=11000x−5−40B．12000x−40=11000x+5
C．12000x+5+40=11000xD．11000x+40=12000x−5
【答案】A
【解析】【解答】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，由题意得12000x=11000x−5−40，
故答案为：A
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据“当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件”进而即可列出等式，即可求解。
二、填空题
10．（2023·绍兴）方程3xx+1=9x+1的解是 .
【答案】x=3
【解析】【解答】解： 3xx+1=9x+1 ，
方程两边同时乘以（x+1）得3x=9，
解得x=3，
检验：当x=3时，x+1≠0，
∴原方程的解为x=3.
故答案为：x=3.
【分析】方程两边同时乘以（x+1）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
11．（2023·南充）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 个．
【答案】6
【解析】【解答】解：设袋中有x个红球，由题意得x4+x=0.6，
解得x=6，
经检验，x=6为原方程的解，
故答案为：6
【分析】设袋中有x个红球，根据等可能事件的概率即可列出分式方程，进而即可求解。
12．（2023·眉山）关于x的方程x+mx−2−1=x−12−x的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤−1且m≠−3
【解析】【解答】解：由题意得x+mx−2−1=x−12−x，
解得x=-1-m，
∵关于x的方程x+mx−2−1=x−12−x的解为非负数，且x≠2，
∴-1-m≥0，且-1-m≠2，
解得m≤-1，m≠−3
故答案为：m≤−1且m≠−3
【分析】先解分式方程，再根据题意即可得到关于m的一元一次不等式，进而即可求解。
13．（2023·台州） 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人．
【答案】3
【解析】【解答】解：设第一组有x人，由题意，
得12x=36x+6，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的根，
∴第一组的人数为3.
故答案为：3.
【分析】设第一组有x人，则第二组的人数为（x+6）人，根据植树的总棵数除以植树的人数可得平均每人植树的棵数及两组平均每人植树的棵数相等建立方程，求解并检验即可.
三、计算题
14．（2023·连云）解方程2x−5x−2=3x−3x−2−3.
【答案】方程两边同乘以(x−2)，
得2x−5=3x−3−3(x−2).
解得x=4.
检验：当x=4时，x−2≠0，∴x=4是原方程的解.
【解析】【分析】分式方程先去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，最后需要检验.
15．（2023·凉山）解方程：xx+1=2x2−1．
【答案】解：xx+1=2x2−1
方程两边同乘(x+1)(x−1)，
得x(x−1)=2，
整理得，x2−x−2=0，
∴(x+1)(x−2)=0，
解得：x1=−1，x2=2，
检验：当x=−1时，(x+1)(x−1)=0，x=−1是增根，
当x=2时，(x+1)(x−1)=3≠0，
∴原方程的解为x=2．
【解析】【分析】先将分式方程去分母变化成整式方程，进而即可求出x的值，再检验即可求解。
四、解答题
16．（2023·扬州）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】解：设甲同学步行的速度为xkm/ℎ，则乙同学骑自行车速度为4xkm/ℎ，
∵30min=12ℎ，由题意得，
2.4x−2.44x=12，
解得x=3.6，
经检验，x=3.6是分式方程的解，也符合实际．
∴4x=3.6×4=14.4，
答：乙同学骑自行车的速度为14.4km/ℎ．
【解析】【分析】此题的等量关系为： 骑自行车速度=4×步行速度；2.4÷ 步行速度-2.4÷骑自行车速度=12；再设未知数，列方程，求解即可.
17．（2023·乐山）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【答案】解：设原计划每天种植梨树x棵
由题可知：6000x−6000(1+20%)x=2解得：x=500
经检验：x=500是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【解析】【分析】设原计划每天种植梨树x棵，根据“某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务”即可列出分式方程，进而解方程即可求解。
18．（2023·嘉兴）小丁和小迪分别解方程xx−2−x−32−x=1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程。
【答案】×，×．
解：去分母，得x+(x−3)=x−2．
去括号，得2x−3=x−2．解得，x=1．
经检验x=1是原方程的解．
【解析】【分析】分析每一步即可得到正确还是错误，根据去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤即可得到x的值，然后进行检验即可.
五、综合题
19．（2023·烟台）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【答案】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是34x元，
依题意得，60034x=600x+5，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
34×40=30，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为(80−m)本，
依题意得，m≥12(80−m)，
解得m≥2623，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，y=40×0.8m+30×0.8(80−m)=8m+1920，
∵k=8>0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m=27时，有最小值，此时y=8×27+1920=2136（元），
80−27=53（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
【解析】【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是34x元，根据“ 用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列出方程并解之即可；
（2）设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为(80−m)本，根据“ 购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半 ”求出m的范围， 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 再求出y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可求解.
20．（2023·遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为(x+2)元，
由题意得：1000x=1200x+2，
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，
则x+2=12，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子(200−m)个，利润为w元，
由题意得：w=(12−10)m+(15−12)(200−m)=−m+600，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2(200−m)，
解得：m≥13313，
∴w与m的函数关系式为w=−m+600(m≥13313)；
②∵−10，
∴00，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=300时，w取最大值，且最大值为：w最大=2×300+2400=3000，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 240x−4=240x+2， 再解方程即可；
（2）利用利润公式求出w=2m+2400，再求出 12m+10(400−m)≤4600m>0， 最后求解即可。小丁：
解：去分母，得x−(x−3)=x−2
去括号，得x−x+3=x−2
合并同类项，得3=x−2
解得x=5
∴原方程的解是x=5
小迪：
解：去分母，得x+(x−3)=1
去括号得x+x−3=1
合并同类项得2x−3=1
解得x=2
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解