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专题5-1 外接球15题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）
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这是一份专题5-1 外接球15题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用），文件包含专题5-1外接球归类讲+练原卷版docx、专题5-1外接球归类讲+练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共93页， 欢迎下载使用。
知识梳理与二级结论
空间几何体的外接球内切球归类
1.构造长方体法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，即，找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq \r(,a2＋b2＋c2)，求出R.
2. 长方体正方体特征构造补形法
(1) 长方体切角型(有三条线两两垂直)
(2) 对棱相等型可以(补形为长方体)
3垂线模型：
（1）、将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
（2）、为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径。利用正弦定理，得），；
（3）.利用勾股定理求三棱锥的外接球半径
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②.
4.锥体模型
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
5.台体模型：圆台棱台外接球
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
6.外心定球心法(三角形、四边型等外接圆圆心垂线法)：
(1)三角形外接圆圆心，eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(2r＝\f(a,sinA))))；
(2) 过外心作(找)底面的垂线
(3) 勾股定理计算求半径R：
7. 两个外心垂线交线定球心法
(1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1
(2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2；
(3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
8内切球：
.轴截面法。
. 体积法：
VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PBC＋VO－PCD＋VO－PAD＋VO－PAB，
即VP－ABCD＝eq \f(1,3)S四边形ABCD·r＋eq \f(1,3)S△PBC·r＋eq \f(1,3)S△PCD·r＋eq \f(1,3)S△PAD·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r.
热点考题归纳
【题型一】长方体基础型1
【典例分析】
1.在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.
2.．（2022上·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）在四面体中，已知点E，F分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2022下·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是 .
2.（2021下·上海徐汇·高三上海市西南位育中学校考期中）已知三棱锥中，两两垂直，且长度相等，若都在半径为1的同一球面上，则球心到平面的距离为 .
3.（2023下·辽宁本溪·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，若D，E分别为棱PA，AB的中点，过C，D，E三点的平面截三棱锥P－ABC的外接球，则截面的面积为 ．
【题型二】长方体基础型2
【典例分析】
1.．四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
2.如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
2.已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则________．
3.．如图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【题型三】正棱锥模型
【典例分析】
1.已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.．（2022·江苏南通·高三期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）
A．16πB．C．8πD．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习（理））在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为，若该正四棱锥的外接球的体积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2.已知正三棱锥中，为的中点，，，则（ ）.
A．B．
C．此正三棱锥的内切球半径为D．此正三棱锥的外接球表面积
3.（2022·贵州·遵义四中高三模拟）在正三棱锥S - ABC中，AB =4， D、E分别是SA、AB的中点，且DE⊥CD，则三棱锥S - ABC外接球的体积为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【题型四】直棱柱型：线面垂直型
【典例分析】
1..已知直三棱柱中，，侧面的面积为4，则直三棱柱外接球表面积的最小值为
A．B．C．D．
2..三棱锥中，面，，，则三棱锥的外接球表面积为________.
【提分秘籍】
【变式演练】
1..已知三棱锥中，面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.直四棱柱的底面是菱形，其侧面积是，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3..已知球为三棱锥外接球，为边长为1的等边三角形，，，且，则球的表面积为______
【题型五】面面垂直型
【典例分析】
1..已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1..已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2..如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，球是三棱锥的外接球，则球的表面积是__________．
3..已知四棱锥的底面是矩形，其中，，平面平面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】特殊三角形外心垂线交心法
【典例分析】
1.（2020下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期末）在四面体中，三角形为等边三角形，边长为，，，，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020下·山西大同·高三统考阶段练习）在四面体中，和都是边长为的等边三角形，该四面体的外接球表面积为，则该四面体的体积为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022下·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 .
2.．（2021·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 .
3.．（2021上·河南许昌·高三统考阶段练习）三棱锥的体积为，底面三角形是边长为的正三角形且其中心为，三棱锥的外接球球心到底面的距离为2，则点的轨迹长度为 .
【题型七】翻折型外接球
【典例分析】
1.将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为
A．B．C．D．
2.矩形ABCD中，，沿对角线AC将三角形ADC折起，得到四面体，四面体 外接球表面积为，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
2.已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.
3.在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型八】二面角型外接球
【典例分析】
1..四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角P﹣AB﹣C是直二面角，，若四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积是20π，则PA，BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C．D．
2..已知平面四边形ABCD中，，现沿BD进行翻折，使得A到达的位置，连接，此时二面角为150°，则四面体外接球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
2..在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
3.已知在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型九】四棱锥型外接球
【典例分析】
1.．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（ ）.
A．B．C．D．
2.（2023下·安徽·高三安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·河南开封·统考三模）已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·浙江·校联考二模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑，其中平面ABC，，过A作，，记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球体积分别为，，V，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型十】圆锥型球
【典例分析】
1.．（2023下·陕西西安·高三长安一中校考期末）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022上·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（ ）
A．8B．C．D．2
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022下·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考阶段练习）已知圆锥的母线长为，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022上·广东东莞·高三校联考期末）圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
3.（2021·全国·校联考一模）如图：是圆锥底面圆的直径，、是圆锥的两条母线，为底面圆的中心，过的中点作平行于的平面，使得平面与底面圆的交线长为，沿圆锥侧面连接点和点，当曲线段长度的最小值为时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）
A．B．C．D．
【题型十一】棱台型球
【典例分析】
1.如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.已知三棱台的六个顶点都在球O的球面上，，和分别是边长为和的正三角形，则球O的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．如图，在正四棱台中，，，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积（ ）
A．B．C．D．
2.若正三棱台的各顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则正三棱台的高为（ ）
A．B．4C．或3D．3或4
3.．如图，在正四棱台中，，且存在一个半径为的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R，则__________．
【题型十二】圆台型球
【典例分析】
1.（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为，则该圆台的侧面积和体积分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023下·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型十三】组合体外接球
【典例分析】
1.如图所示几何体是由正四棱锥与长方体组成，，，若该几何体存在一个外接球，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
2.．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为1，则该截角四面体的外接球表面积为______.
【变式演练】
1..已知三角形的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，，分别以，，所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2..已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型十四】外接球的最值范围型
【典例分析】
1.正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．
2.已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．
【变式演练】
1..已知四面体的各棱长都为4，点是线段的中点，若球是四面体的外接球，过点作球的截面，则所得截面圆的面积取值范围是______.
2..已知三棱锥的外接球表面积为，，则三棱锥体积的最大值为___________.
3..已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为
A．B．C．D．
【题型十五】外接球与内切球型
【典例分析】
1.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为
______.
2.已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（ ）
A．正四面体的外接球的表面积为B．正四面体的内切球的体积为
C．正四面体的棱长为12D．线段MN的最大值为
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知正三棱柱既有外接球也有内切球，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为，则正四棱锥的外接球与内切球的半径之比为___________.
3.古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
高考真题对点练
1．（陕西·高考真题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
2．（辽宁·高考真题）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A．B．C．D．
3．（福建·高考真题）如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，，O为球心，则直线与截面所成的角是（ ）
A．B．C．D．
4．北京·高考真题）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A．1∶3B．2∶3C．1∶2D．2∶9
5．（全国·高考真题）体积相等的正方体，球，等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为，那么它们的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2020·全国·统考高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2020·全国·统考高考真题）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
最新模考真题
1.（2021上·广西·高三校联考阶段练习）在三棱锥中，面，，，，，点，，分别为，，上靠近的三等分点，平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 .
2.四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
3.（2022·重庆八中高三阶段练习）将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为_________，该组合体的外接球的体积为_______．
4..四面体中，，，，且面，则四面体的外接球表面积为
A．B．C．D．
.在三棱锥中，，.平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为___________.
6．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8.（2022上·河南开封·高三河南省杞县高中校联考开学考试）在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．3D．
9.（2020·山西晋城·统考三模）底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为
A．6πB．12πC．8πD．16π
10.若正三棱台的各顶点都在球的表面上，，，高为4，则球的表面积为___________.
11.（2022上·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12.如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
13..在△ABC中，AB⊥BC，BA＝BC，BD是边AC上的高，沿BD将△ABC折起，当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，该三棱锥外接球表面积为（ ）
A．12πB．24πC．36πD．48π
14.若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 长方体基础型1
【题型二】 长方体基础型2
【题型三】 正棱锥模型
【题型四】 直棱柱型：线面垂直型
【题型五】 面面垂直型
【题型六】 特殊三角形外心垂线交心法
【题型七】 翻折型外接球
【题型八】 二面角型外接球
【题型九】 四棱锥型外接球
【题型十】 圆锥型球
【题型十一】 棱台型球
【题型十二】 圆台型球
【题型十三】 组合体外接球
【题型十四】 外接球最值范围型
【题型十五】 外接球与内切球
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝eq \f(x2＋y2＋z2,8)(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
面面垂直型：
1.正三棱锥对棱垂直。
2.正三棱锥外接球球心可能在三棱锥内部，也可能不在。但一定在三棱锥定点向地面所做的垂线上
3.计算公式和图形：
4.正四面体，类比等边三角形外心和内心，可证：外心和内心重合，恰好位于高的四等分点处
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
表面有等边三角形或者直角三角形：双线交点定心法（特殊三角形圆心垂线交点确定球心法）
包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）
等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法
(1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1
(2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2；
(3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
锥体求外接球
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
圆锥外接球模型
圆锥求外接球，借助轴截面的对应等腰三角形可求解
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
知识梳理与二级结论
空间几何体的外接球内切球归类
1.构造长方体法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，即，找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq \r(,a2＋b2＋c2)，求出R.
2. 长方体正方体特征构造补形法
(1) 长方体切角型(有三条线两两垂直)
(2) 对棱相等型可以(补形为长方体)
3垂线模型：
（1）、将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
（2）、为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径。利用正弦定理，得），；
（3）.利用勾股定理求三棱锥的外接球半径
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②.
4.锥体模型
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
5.台体模型：圆台棱台外接球
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
6.外心定球心法(三角形、四边型等外接圆圆心垂线法)：
(1)三角形外接圆圆心，eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(2r＝\f(a,sinA))))；
(2) 过外心作(找)底面的垂线
(3) 勾股定理计算求半径R：
7. 两个外心垂线交线定球心法
(1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1
(2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2；
(3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
8内切球：
.轴截面法。
. 体积法：
VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PBC＋VO－PCD＋VO－PAD＋VO－PAB，
即VP－ABCD＝eq \f(1,3)S四边形ABCD·r＋eq \f(1,3)S△PBC·r＋eq \f(1,3)S△PCD·r＋eq \f(1,3)S△PAD·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r.
热点考题归纳
【题型一】长方体基础型1
【典例分析】
1.在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.
2.．（2022上·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）在四面体中，已知点E，F分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2022下·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是 .
2.（2021下·上海徐汇·高三上海市西南位育中学校考期中）已知三棱锥中，两两垂直，且长度相等，若都在半径为1的同一球面上，则球心到平面的距离为 .
3.（2023下·辽宁本溪·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，若D，E分别为棱PA，AB的中点，过C，D，E三点的平面截三棱锥P－ABC的外接球，则截面的面积为 ．
【题型二】长方体基础型2
【典例分析】
1.．四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
2.如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
2.已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则________．
3.．如图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【题型三】正棱锥模型
【典例分析】
1.已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.．（2022·江苏南通·高三期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（ ）
A．16πB．C．8πD．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习（理））在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为，若该正四棱锥的外接球的体积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2.已知正三棱锥中，为的中点，，，则（ ）.
A．B．
C．此正三棱锥的内切球半径为D．此正三棱锥的外接球表面积
3.（2022·贵州·遵义四中高三模拟）在正三棱锥S - ABC中，AB =4， D、E分别是SA、AB的中点，且DE⊥CD，则三棱锥S - ABC外接球的体积为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【题型四】直棱柱型：线面垂直型
【典例分析】
1..已知直三棱柱中，，侧面的面积为4，则直三棱柱外接球表面积的最小值为
A．B．C．D．
2..三棱锥中，面，，，则三棱锥的外接球表面积为________.
【提分秘籍】
【变式演练】
1..已知三棱锥中，面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.直四棱柱的底面是菱形，其侧面积是，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3..已知球为三棱锥外接球，为边长为1的等边三角形，，，且，则球的表面积为______
【题型五】面面垂直型
【典例分析】
1..已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1..已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2..如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，球是三棱锥的外接球，则球的表面积是__________．
3..已知四棱锥的底面是矩形，其中，，平面平面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】特殊三角形外心垂线交心法
【典例分析】
1.（2020下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期末）在四面体中，三角形为等边三角形，边长为，，，，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020下·山西大同·高三统考阶段练习）在四面体中，和都是边长为的等边三角形，该四面体的外接球表面积为，则该四面体的体积为 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022下·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 .
2.．（2021·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是 .
3.．（2021上·河南许昌·高三统考阶段练习）三棱锥的体积为，底面三角形是边长为的正三角形且其中心为，三棱锥的外接球球心到底面的距离为2，则点的轨迹长度为 .
【题型七】翻折型外接球
【典例分析】
1.将边长为2的正方形沿对角线折起，则三棱锥的外接球表面积为
A．B．C．D．
2.矩形ABCD中，，沿对角线AC将三角形ADC折起，得到四面体，四面体 外接球表面积为，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
2.已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.
3.在边长为的菱形ABCD中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型八】二面角型外接球
【典例分析】
1..四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角P﹣AB﹣C是直二面角，，若四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积是20π，则PA，BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C．D．
2..已知平面四边形ABCD中，，现沿BD进行翻折，使得A到达的位置，连接，此时二面角为150°，则四面体外接球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
2..在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
3.已知在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型九】四棱锥型外接球
【典例分析】
1.．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（ ）.
A．B．C．D．
2.（2023下·安徽·高三安徽省郎溪中学校联考阶段练习）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·河南开封·统考三模）已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·浙江·校联考二模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑，其中平面ABC，，过A作，，记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球体积分别为，，V，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型十】圆锥型球
【典例分析】
1.．（2023下·陕西西安·高三长安一中校考期末）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022上·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（ ）
A．8B．C．D．2
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022下·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考阶段练习）已知圆锥的母线长为，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022上·广东东莞·高三校联考期末）圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．B．C．D．
3.（2021·全国·校联考一模）如图：是圆锥底面圆的直径，、是圆锥的两条母线，为底面圆的中心，过的中点作平行于的平面，使得平面与底面圆的交线长为，沿圆锥侧面连接点和点，当曲线段长度的最小值为时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）
A．B．C．D．
【题型十一】棱台型球
【典例分析】
1.如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.已知三棱台的六个顶点都在球O的球面上，，和分别是边长为和的正三角形，则球O的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．如图，在正四棱台中，，，若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，该球的表面积（ ）
A．B．C．D．
2.若正三棱台的各顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则正三棱台的高为（ ）
A．B．4C．或3D．3或4
3.．如图，在正四棱台中，，且存在一个半径为的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R，则__________．
【题型十二】圆台型球
【典例分析】
1.（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为，则该圆台的侧面积和体积分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023下·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型十三】组合体外接球
【典例分析】
1.如图所示几何体是由正四棱锥与长方体组成，，，若该几何体存在一个外接球，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
2.．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为1，则该截角四面体的外接球表面积为______.
【变式演练】
1..已知三角形的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，，分别以，，所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2..已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型十四】外接球的最值范围型
【典例分析】
1.正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．
2.已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．
【变式演练】
1..已知四面体的各棱长都为4，点是线段的中点，若球是四面体的外接球，过点作球的截面，则所得截面圆的面积取值范围是______.
2..已知三棱锥的外接球表面积为，，则三棱锥体积的最大值为___________.
3..已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为
A．B．C．D．
【题型十五】外接球与内切球型
【典例分析】
1.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为
______.
2.已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（ ）
A．正四面体的外接球的表面积为B．正四面体的内切球的体积为
C．正四面体的棱长为12D．线段MN的最大值为
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知正三棱柱既有外接球也有内切球，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为，则正四棱锥的外接球与内切球的半径之比为___________.
3.古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
高考真题对点练
1．（陕西·高考真题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
2．（辽宁·高考真题）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A．B．C．D．
3．（福建·高考真题）如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，，O为球心，则直线与截面所成的角是（ ）
A．B．C．D．
4．北京·高考真题）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A．1∶3B．2∶3C．1∶2D．2∶9
5．（全国·高考真题）体积相等的正方体，球，等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为，那么它们的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2020·全国·统考高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2020·全国·统考高考真题）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
最新模考真题
1.（2021上·广西·高三校联考阶段练习）在三棱锥中，面，，，，，点，，分别为，，上靠近的三等分点，平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 .
2.四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
3.（2022·重庆八中高三阶段练习）将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为_________，该组合体的外接球的体积为_______．
4..四面体中，，，，且面，则四面体的外接球表面积为
A．B．C．D．
.在三棱锥中，，.平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的表面积为___________.
6．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
7.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8.（2022上·河南开封·高三河南省杞县高中校联考开学考试）在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．B．C．3D．
9.（2020·山西晋城·统考三模）底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为
A．6πB．12πC．8πD．16π
10.若正三棱台的各顶点都在球的表面上，，，高为4，则球的表面积为___________.
11.（2022上·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12.如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
13..在△ABC中，AB⊥BC，BA＝BC，BD是边AC上的高，沿BD将△ABC折起，当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，该三棱锥外接球表面积为（ ）
A．12πB．24πC．36πD．48π
14.若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 长方体基础型1
【题型二】 长方体基础型2
【题型三】 正棱锥模型
【题型四】 直棱柱型：线面垂直型
【题型五】 面面垂直型
【题型六】 特殊三角形外心垂线交心法
【题型七】 翻折型外接球
【题型八】 二面角型外接球
【题型九】 四棱锥型外接球
【题型十】 圆锥型球
【题型十一】 棱台型球
【题型十二】 圆台型球
【题型十三】 组合体外接球
【题型十四】 外接球最值范围型
【题型十五】 外接球与内切球
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝eq \f(x2＋y2＋z2,8)(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
面面垂直型：
1.正三棱锥对棱垂直。
2.正三棱锥外接球球心可能在三棱锥内部，也可能不在。但一定在三棱锥定点向地面所做的垂线上
3.计算公式和图形：
4.正四面体，类比等边三角形外心和内心，可证：外心和内心重合，恰好位于高的四等分点处
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
表面有等边三角形或者直角三角形：双线交点定心法（特殊三角形圆心垂线交点确定球心法）
包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）
等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法
(1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1
(2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2；
(3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
锥体求外接球
（1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
(2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：，解出
圆锥外接球模型
圆锥求外接球，借助轴截面的对应等腰三角形可求解
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
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