专题2-2 十三种高考补充函数归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、抽象公式应用思维：
如：
正用：
逆用:
变用：
抽象函数赋值经验：
字母取0，1，-1，x，-x，-1×x
奇偶性赋值：x，-x
方向或者目标：；
三、对数公式积累应用
（3）.重要的，用于不等式计算：无中生有思想技巧
四、图像变换：
奇函数变换，又叫原点变换：
偶函数变换，又叫y轴变换：
轴变换，又叫直线镜面变换：
（1）、
（2）、
（3）、若是一般直线（斜率不是正负1）对称，就需要用解析几何斜率等知识常规求解了
五、“反比例”函数图像特征及其重要技巧：“分离常熟”
形如，必有对称中心，对称中心为，可通过如下计算求得
热点考题归纳
【题型一】 放大镜函数
【典例分析】
1.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围.
【详解】
当时，，故，因为，
故当时，，，同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，故若对任意，都有，则，
令，或，结合函数的图象可得，故选：D.
2.（2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期 4 月月考试卷数学试题）已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，．在下列结论：
（1）对任何，都有；（2）任意，都有；
（3）函数的值域是；
（4）“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”．
其中正确命题是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】
根据题设条件，结合函数的周期性和单调性，合理赋值，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于（1）中，对任何，都有，且当时，，
所以，所以是正确的；
对于（2）中，因为当时，，可得，解得，
即当时，，所以不正确；
对于（3）中，取，则，可得，
从而函数的值域为，所以是正确的；
对于（4）中，令，则，所以
，所以函数在区间上单调递减，而必要性显然成立，所以是正确的，
所以正确的命题为（1）（3）（4）.故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（安徽省黄山市屯溪第一中学2021-2022学年数学试题）定义在上函数满足，且当时，，则使得在上恒成立的的最小值是______________.
【答案】
【分析】
由题设递推关系及已知区间解析式，分析可得分段函数：在上有，应用数形结合的方法求参数m的最小值.
【详解】
由题设知，当时，，故，
同理：在上，，
∴当时，.函数的图象，如下图示.
在上，，得或.由图象知：当时，.故答案为：.
2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，解得，
所以要使对任意，都有，则，，
故选：B．
3.设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

【答案】C
【分析】根据题设得到且，，注意判断函数值的变化趋势，再求得的最大k值，此时结合二次函数性质确定上对应x值，即可得m的范围.
【详解】令，则，故，而，
所以且，
令，则，故，而，
所以且，
结合已知：且时，而，
对且，，即随增大依次变小，
要使对任意都有，令，则且，
则上，且上，
当时，令，则，解得或，
综上，要使对任意都有，只需.
故选：C
【题型三】保值函数
【典例分析】
1..对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数．若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意有方程有两个不同的实数根，则，令，求导得函数的单调性与极值，由此可求出结论．
解：∵，定义域为，函数在上为增函数，∴由题意有，，，即方程有两个不同的实数根，∴，令，则，
由得，由得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在处取得极大值，又当时，，当时，，
∴，∴当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
此时方程有两个不同的解，∴的取值范围为，故选：C．
2.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值是________．
【答案】
【分析】
由于正弦函数的周期性，可以在一个周期区间内确定函数值为和的值，结合周期性性可得结论．
【详解】
因为函数y＝sin x，x∈[a，b]的最小值和最大值分别为－1和.
不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知，，
由正弦函数的周期性可知(b－a)min＝，(b－a)max＝.
故答案为：．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（四川省内江市高中零模2022届高二期末考试数学试题对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围．
解：在定义域内单调递增，，即，即是方程的两个不同根，
∴，设，∴当时,函数单调递减, 不存在两个根的问题,
时，；时，，∴是的极小值点，的极小值为：，
又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，
时，和的图象有两个交点，方程有两个解，
∴实数的取值范围是．故选:C．
2.设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于，求出实数的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，且满足存在，使在上的值域是，
所以在上是增函数；所以，即，所以是方程的两个根，
设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
所以，解得：，所以满足条件的取值范围是，故选：A
3.（河南省2021-2022学年高三上学期质量检测（五）数学试题设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导函数，判断出函数单调递增，从而可得，将问题转化为在上有两个不同解，令，利用导数判断函数的单调性，并求出端点值与极值即可求解.
【详解】在上单调递增又在上的值域为
则在上有两个不同解令
则在上单调递增，在上单调递减，又
.故选：A
【题型二】高斯函数（取整函数）
【典例分析】
1.（山西省2022届高三一模数学（理）试题）高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于高斯函数的性质叙述错误的是（ ）
A．值域为ZB．不是奇函数
C．为周期函数D．在R上单调递增
【答案】D
【分析】
根据高斯函数的定义，结合值域、函数的奇偶性、函数的单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由高斯函数的定义可知其值域为Z，故A正确；
不是奇函数，故B正确；
易知，所以是一个周期为1的周期函数，故C正确；
当时，，所以在R上不单调，故D错误．
故选：D
2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，
【答案】AC
【分析】
根据定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.
【详解】
由题意可知，，
可画出函数图像，如图：
可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误.
故选：AC．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（ ）
A．函数的值域是B．函数是周期函数
C．函数的图象关于对称D．方程只有一个实数根
江苏省南通市2020-2021学年高一下学期期初数学试题
【答案】AD
【分析】
先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】
由题得函数的定义域为，
所以函数为偶函数，当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
所以函数的值域是，故选项A正确；
由函数的图象得到不是周期函数，
故选项B不正确；
由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；
对于方程，当时，，方程有一个实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项D正确.
故选：AD
2.（江苏省无锡市第一中学2021-2022学年高三上学期10月阶段性质量检测数学试题高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
【答案】BC
【分析】
计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】根据题意知，.∵，
，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，， ，，D错误.
故选：BC.
3.(上海市行知中学2020-2021学年高三上学期数学试题)对于正整数,设函数，其中表示不超过的最大整数，设，则的值域为_________.
【答案】
【分析】
先由题中条件，得到，讨论，，，四种情况，再判断的周期性，即可得出结果.
【详解】
由题意，，
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；
当时，，，此时；又，所以是以为周期的函数，因此的值域为.故答案为：
【题型四】一元三次函数
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三次函数的拐点（使二阶导数的点）正好是它的图像的对称中心．若，则 ．（且）
【答案】
【分析】由拐点的定义可得的对称中心是点，分n为奇数和n为偶数，结合函数的对称性即可得出答案.
【详解】，，由，得，且，
∴的对称中心是点，因此．
故当n为奇数时，．
当n为偶数时，．
综上所述，．故答案为：.
2.（重庆市江津中学校2021-2022学年高三第二次阶段考试数学（理）试题）已知函数是上的增函数.当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可.
详解：由得，是上的增函数，
在上恒成立，即：在上恒成立.设，，，
设，，，函数在单调递增，.
即，，又，.m的最大值为3.
故得.将函数的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为.由于，为奇函数，故的图象关于原点对称，
由此即得函数的图象关于成中心对称.
这表明存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等.故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.对于三次函数，定义：设为函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现视为条件，已知函数，则它的对称中心为___________；___________.
【答案】
【分析】对两次求导，根据题意求出的对称中心为，可得
，再利用倒序相加法即可求和.
【详解】由可得，，
令可得：，且，
所以点为的对称中心，所以，
令
两式相加可得，所以，
即，故答案为：，.
2.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A．B．C．的值可能是D．的值可能是
【答案】ABC
【解析】求导得，故由题意得，，即，故.进而将问题转化为，由于，故，进而得，即，进而得ABC满足条件.
【详解】由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得，故.
因为，所以等价于.
设，则，
从而在上单调递增.
因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，故.
故选：ABC.
【题型五】分式型反比例函数
【典例分析】
1..（2022秋·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（ ）
A．mB．4mC．6mD．7m
【答案】D
【分析】根据函数的中心对称相关性质即可求解.
【详解】因为，
所以
所以关于中心对称
，所以关于中心对称
所以
故选：D
2.（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数关于成中心对称，函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（ ）
A．B．C．10110D．5050
【答案】A
【分析】根据函数分离常数可得关于点对称，又关于点对称，然后利用对称性求解即可．
【详解】因为，所以函数关于成中心对称，又函数关于成中心对称，
函数的图象与的图象有2022个交点，则这些交点也关于点对称，
所以每两个对称点纵坐标之和为，2022个交点有1011组对称点，所以这2022交点得纵坐标之和为，
所以每两个对称点横坐标之和为，2022个交点有1011组对称点，所以这2022交点得横坐标之和为，
故这些交点的横纵坐标之和为．
故选：A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·上海嘉定·高三校考开学考试）已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性可得答案.
【详解】，因为在区间上是严格增函数，
所以，即.故答案为：.
2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则
【答案】
【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以
故答案为：
3.（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校联考阶段练习）若，不等式恒成立，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由题意确定，分类讨论与两种情况，将问题转化为恒成立问题，再利用对勾函数的单调性即可得解.
【详解】因为不等式对任意恒成立，且，所以，
当时，不等式恒成立等价于，即对于任意恒成立，即，
令，，则，
由对勾函数性质易得在时，单调递增，故，
则，与矛盾，故此时k不存在；
当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立，
当时，显然成立，
当时，不等式等价于对于任意恒成立，即，
令，，则，
由对勾函数性质易得在时，单调递减，故，
则，故；
综上：，即．故答案为：.
【题型六】对数反比例函数
【典例分析】
1.（2023春·云南红河·高三模拟）若为偶函数，则实数 ．
【答案】3
【分析】根据偶函数的定义求解即可.
【详解】若为偶函数，则，即，
∴，∴，
∴，∴，∴，即，
当时，，定义域，关于原点不对称，不符合，舍去，
当时，，定义域或，关于原点对称，符合，
综上，.故答案为：3.
2.（2023春·四川绵阳·高三期末）若为奇函数，则实数 ．
【答案】
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称可求得的值，由奇函数的性质得出可求得的值，然后利用函数奇偶性的定义验证函数即可.
【详解】因为，
当时，则，则函数的定义域为，
此时函数为非奇非偶函数，不合乎题意，所以，，
由可得且，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，所以，，解得，
则，
由奇函数的性质可得，解得，
此时，，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
合乎题意，故.故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·河北·校联考一模）若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质根据，即可求解.
【详解】依题意，，即,所以，解得，当时，，定义域不关于原点对称，故舍去，
当时，，定义域为，符合要求，故，
故答案为：
2.（2023·云南·校联考二模），其最大值和最小值的和为 ．
【答案】0
【分析】证明函数是奇函数即得解.
【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．
故答案为：0
3.（2023秋·高一单元测试）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.
【详解】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，即，
即，解得.
故答案为：.
【题型七】对数无理函数型
【典例分析】
1.（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可.
【详解】因为的定义域为，且，所以函数是奇函数，
由，所以函数为上单调递增的奇函数，
所以不等式对任意均成立等价于，
即，即对任意均成立，
又，当且仅当时取等号，
所以的取值范围为.故答案为:
2.（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数，若，，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得，又由，变形可得，由此可得答案．
【详解】因为，所以，所以，
所以函数的定义域为，
又
，
因为，，，
所以，
所以.故答案为：．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·贵州黔南·高三模拟）若函数是奇函数，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质和对数运算法则直接计算即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，
即，所以，即，
所以，即a的值为.
故答案为：
2.（2023春·河南新乡·高一统考期末）已知为奇函数，则的值可以为 ．（写出一个满足条件的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【分析】由恒成立，由和分析函数的定义域是否关于原点对称，化简，结合为正奇数、为0或正偶数分析即可求解.
【详解】因为恒成立，
当时，函数的定义域为，
当时，函数的定义域为，
所以对于，函数的定义域关于原点对称，
而，
当为正奇数时，，函数为奇函数，
当为0或正偶数时，，函数为偶函数，不符合题意.
综上所述，当为正奇数时，函数为奇函数，
所以的值可以为1（答案不唯一）.
故答案为：1（答案不唯一）.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由函数，设，则的定义域为，
，则，所以是奇函数，
则，又因为正实数满足，所以，
，当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
【题型八】对数绝对值型函数
【典例分析】
1.（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】画出的图象，结合图象得的取值范围，再由，，用表示，结合函数导数可求出的取值范围.
【详解】解：令，解得，当时，，所以函数的图象如图，
当时，或，因为，所以，，，
因为，所以，因为，所以，所以，设 ，所以，解得或（舍去），
当时，，单调递减；当时，，
单调递增，所以当时，，由，所以取值范围为，故答案为: .
2.（2020·云南·模拟预测）已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为 ．
【答案】.
【详解】令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1．且4个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ， 则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，x2﹣4x+1+4λ=均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0， 即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，
当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，同理也恒成立；
故λ的取值范围为（0，）．故答案为（0，）．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·浙江·模拟预测）已知函数若方程有四个解，且，则的取值范围为 .
【分析】即与的图象有4个不同的交点.作出两个函数的图象得到，，化简得到，构造函数，求出函数的定义域，利用导数求函数的取值范围得解.
【详解】由题知方程有4个解，
即与的图象有4个不同的交点.
作出2个函数的图象，如图所示，易知当时，有4个不同的交点，则，即，，所以，可看作关于的函数，记为，
又当时，，当时，，所以函数的定义域为.由题得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以时，，
即的取值范围是.故答案为：
2.（2023春·江西新余·高三模拟）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.
【详解】由分段函数知：时且递减；时且递增；
时，且递减；时，且递增；
∴的图象如下：有四个实数根，，，且，
由图知：时有四个实数根，且，又，
由对数函数的性质：，可得，
∴令，且，
由在上单增，可知，
所以
3.（2021·全国·高三专题练习），若存在互不相等的实数，，，使得，则下列结论中正确的为（ ）
①；
②，其中为自然对数的底数；
③函数恰有三个零点.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】①将问题转化为直线与函数图像有4个交点，观察图像可得答案；
②设，则可得， ，根据关系代入求值域即可；
③函数的零点个数，即为函数与的图像交点个数，关注和时的交点个数即可得答案
根据图像可得答案.
【详解】解：函数的图像如图：
，即直线与函数图像有4个交点，故，①正确；
，不妨设，则必有， ，
，则，且，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
，，②正确；
函数的零点个数，即为函数与的图像交点个数，如图
当时，函数与的图像有3个交点，
当时，研究与是否相切即可，
，令，则，则切点为，此时切线方程为，即，
所以与图像相切，此时函数与的图像有3个交点，
因为，故函数与的图像恒有3个交点，
即函数恰有三个零点，③正确.故选：D.
【题型九】对勾函数
【典例分析】
1..（2020秋·广东深圳·高三校考期中）已知定义在（0，3]上的函数的值域为[4，5]，若，则a+b的值为 .
【答案】7
【解析】将函数变形为，令，，由，利用对勾函数的性质求解.
【详解】因为，令，
所以，因为，所以，所以在上递减，在递增，所以①，
又，所以②，所以，
由①②得或，因为，所以
所以a+b=7故答案为：7
2.．（2021秋·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.
【详解】当时，，单调递减，故，
要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.
故答案为：4.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三模拟练习）已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数.
【详解】由为奇函数，可得其图像关于对称，所以的图像关于对称，
由题目可知函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立
恒成立，即在恒成立，
所以，令，由，可得，设，
当时，取得最大值，所以的取值范围是.故答案为：.
2.（2021秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）设，若，使成立的最大正整数为，则取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，极端考虑即，解不等式即可得到答案；
【详解】根据题意，即，在上递减，在上递增，
所以，，故，解得，故填：．
3..（2022秋·安徽合肥·高三考开学考试）已知，函数，使得，则a的取值范围 .
【答案】
【解析】由已知得出函数的单调性，再得出时，a的值，从而分两种情况，分别由解得可得a的取值范围.
【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，解得（舍去），
（1）当，解得；
（2）当，不符题意.故答案为：.
【题型十】指数对勾型
【典例分析】
1.（2023·浙江衢州·高三模拟）已知函数有唯一零点，则 ．
【答案】2
【分析】先判断函数关于对称，从而可得函数的零点只能为，从而可求得，再利用定义法得出在上的单调性，从而可得出结论.
【详解】，因为，
所以函数关于对称，要使函数有唯一零点，所以函数的零点只能为，
，所以，此时，令，设，
则
，因为，所以，则，
所以，即，所以函数在上递增，
又在上递增，所以函数在上递增，在上递减，
又，故可知函数有唯一零点，符合题意，所以.故答案为：.
2.（2022秋·河南南阳·高三统考期中）若，则的解集是 .
【答案】
【分析】根据题意求得为偶函数，且在上单调递增，结合，把不等式转化为，得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，所以为偶函数，
当时，可得，所以函数在上单调递增，
又由，所以不等式等价于，
则满足，解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】首先证明，则，解得，再代回原函数证明函数只有唯一零点即可.
【详解】，
，的图象关于直线对称，
若函数有且只有一个零点，即的图象与轴有且只有一个交点，
则只能是，即，解得，
此时，，当且仅当,即时取等号,
当时,，又，，
当时,，当时，函数有且只有一个零点.故答案为：.
2.（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设函数 ，则使得 成立的的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，即可求解.
【详解】因为，所以，所以函数的定义域为且，
又，∴为偶函数.当时，令，
∵ ，∴在上是增函数，
易知函数在上是增函数，∴在上是增函数.
又为偶函数，∴，
∴由，得，解得，故答案为：.
3.（2019秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】利用导数可得的单调性，结合函数解析式的特征可得的图象关于直线对称，由上述两个性质可去掉对应法则得到关于的不等式，解这个不等式可得所求的解集.
【详解】，令，则，
所以即为上的增函数，而，
所以当时，，故为上的减函数；
当时，，故为上的增函数；
又，
所以的图象关于直线对称.
因为，所以，解得.
故答案为：.
【题型十一】指数双刀函数型
【典例分析】
1.（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先判断的奇偶性，令，利用导数说明的单调性，即可得到的单调性，结合函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，定义域为，
由，可知函数为偶函数，
函数图象关于轴对称，又由，
令，由可知函数为奇函数，
又由，（当且仅当时取等号），
可得函数单调递增，且当时，
由一次函数在区间单调递增且函数值恒为正，可知函数在区间单调递增，
又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，
不等式可化为，
必有，平方后整理为，解得或，
即实数的取值范围为.故答案为：
2.（2022北京·高三强基计划）已知函数，若实数m满足，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性可求参数的取值范围.
【详解】，故为奇函数，
当时，均为增函数，且函数值非负，
故在上单调递增，所以在上单调递增，
从而题中不等式等价于
故答案为：
提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数定义可构造方程求得的值，求导后，代入即可求得结果.
【详解】为定义在上的奇函数，，
即，
恒成立，，解得，
，，
.故答案为：.
2.（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）已知函数，若成立，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围.
【详解】由题得函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数．
又恒成立，所以函数在上单调递增；
不等式等价于，
所以，即，解得．
所以实数t的取值范围为．
故答案为：
3..（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）设函数，则满足的x的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】令得，令并利用导数研究单调性、奇偶性定义判断奇偶性，再将题设不等式化为，结合单调性、奇偶性求参数范围即可.
【详解】令，则，若，
所以，则，
所以在R上单调递增，
又，故为奇函数，
而等价于，
所以，故，可得.
故答案为：
【题型十二】指数型“反比例函数”
【典例分析】
1.（2022秋·浙江温州·高三校联考）已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
【答案】A
【分析】先求出函数并得到在R上递增，再结合的性质求解．
【详解】解：为奇函数，，，
，单调递增，单调递增，单调递增．
为了解决问题我们先研究对勾函数的性质，，令且，
，∴在上单调递增．
若恒成立，则等价成，
即①，令，①化为 ，令，
由上面的讨论知，在上单调递增，，，∴ ，
∴ a的最大值为．故选：A．
2..（2023春·湖南长沙·高三长沙市长郡梅溪湖中学校考）若“函数是奇函数”是真命题，则a的值是 .
【答案】
【分析】由已知求出函数的定义域，.然后根据奇函数的性质，列出关系式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，的定义域为R，且.
因为函数是奇函数，所以有成立，
即，即.
因为，所以有，所以.
故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·辽宁大连·校考模拟预测）已知函数，若，在时恒成立，则θ的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先利用复合函数的单调性判断是单调递减函数且，则题意可转化成，在时恒成立，设，对称轴为，分两种情况即可求解.
【详解】因为，因为是单调递增函数，且，
所以根据复合函数的单调性性质可得是单调递减函数，而，
所以，在时恒成立可转化成，在时恒成立，可整理得，在时恒成立，
设当时，的对称轴为，
此时，当t>0，恒成立，满足题意，所以由可得，
所以，，解得，，因为，所以；
当，的对称轴为，
则，解得，所以或，，
所以或，，因为，所以或，
综上所述，θ的取值范围是.故答案为：
2.（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据题意，构造函数，判断其奇偶性，并求导判断单调性，代入可求解集.
【详解】为奇函数，
在R上单调递增，，
，
，
，则.
故答案为：.
3.（2020·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考一模）已知函数，对于，，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】需先求函数的值域，再分两步对所要求的条件进行转化．要使对于，时成立，只要，而且，以及对任意恒成立.
【详解】，由，得，，即的值域是，．
①对于，，使得，转化为只要，
，；对于，，，
转化为只要，，解不等式组，得 或；
②由对于恒成立，，
，，解得：或；
故的取值范围是.故答案为：.
【题型十三】抽象函数赋值型
【典例分析】
1.（福建省福州市第一中学2020-2021学年高三数学试题）若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】
利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.
【详解】
由题设，且，
∴，则，
∴为奇函数，令，
∴，即是奇函数，
∴在上的最小、最大值的和为0，即，
∴.
故选：B
2.（2023春·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】A
【分析】依题意令得到，再以代换，即可得到，从而得到，即可得到，从而求出函数的周期，再求出、、、、的值，根据周期性计算可得.
【详解】解：由，
令得①，
以代换得②，
由①②可得，
，即，
所以，故是的一个周期，
令，得，，
令，得，，
，
，，，，
，.
故选：A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：，则 .
【答案】/0.25
【分析】由已知等式联想到三角公式，构造函数求解.
【详解】由已知等式联想到三角公式，
注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数，则，
故函数满足题意，而函数是周期的函数，
.故答案为：.
2.（2023春·河北石家庄·高三石家庄一中校考阶段练习）设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由题知函数在上单调递减，在上单调递减，且，，，，再根据对数函数单调性将转化为解即可得答案.
【详解】解：设，且，则因为，当时，，所以，
因为对任意，都有．所以，，即，
所以，函数在上单调递减，因为是定义域为的奇函数，
所以，函数在上单调递减，因为不等式等价于不等式，即，
因为对任意，都有，，
所以，当时，得；当时，得所以，
所以，，，，，所以，当时，的解集为，
当时，的解集为，所以，的解集为，
所以，不等式的解集为故答案为：
3.（2022秋·湖北武汉·高三校联考期中）函数是定义在上的增函数，若对于任意正实数，恒有，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论．
【详解】，，，
则不等式等价为，函数在定义域上为增函数，
不等式等价为，即，解得，不等式的解集为，故答案为：.
高考真题对点练
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
2．（山东·高考真题）函数的反函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求已知函数的反函数，再结合反比例函数的图象及图象变换性质判断其图象.
【详解】因为，所以，所以，
所以函数的反函数为，
函数的图象可由反比例函数的图象向左平移一个单位得到，从选项得知B满足，
故选：B.
3．（辽宁·高考真题）将函数的图像按向量平移得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题由函数的图像得到函数的图像，需将函数的图像向左平移1个单位，向下平移1个单位；故．
【详解】设，则函数的图像按向量平移后所得图像的解析式为，
，故选：A．
4．（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，且，
函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
6．（·浙江·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算，再计算可得．
【详解】由得.由得.故选：B．
7．（全国·高考真题），若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由奇偶性定义确定函数的奇偶性，然后由奇偶性求值．
【详解】函数定义域是，又
函数为奇函数，所以．故选：B．
8．（江苏·高考真题）设是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )．
A．(－1,0)B．(0, 1)
C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【答案】A
【详解】试题分析：由为奇函数，则，可得，即，又，即，可变为，解得．
考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．
9．（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
10．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
二、填空题
11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的解析式迭代可得，由此可得，进而可得，将代入计算可得答案．
【详解】根据题意，，即，则，，，故有，
所以，故.
故选：B．
【点睛】准确理解题干给出的“ n次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键.
2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知函数，则（ ）
A．
B．函数有一个零点
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【分析】根据题意，判断函数的单调性，结合单调性性质判断A，由指数函数的性质可得，结合零点定义判断B，举反例判断C，证明，由此可得函数的对称性，判断D，综合可得答案．
【详解】函数的定义域为，对于A，函数，
函数在R上为增函数，易得在R上为增函数，则有，A错误；
对于B，，有，则有，所以没有零点，B错误；
对于C，，，所以，不是偶函数，C错误；
对于D，因为，
所以所以，
所以函数的图象关于点对称，D正确；故选：D．
3．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）函数满足、，都有，且，则（ ）
A．B．数列单调递减
C．D．
【答案】BCD
【分析】令，推导出，令可判断A选项；分析可知数列为等比数列，求出该数列的通项公式，结合数列单调性的定义可判断B选项；利用基本不等式可判断C选项；利用错位相减法可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数满足、，都有，令，则，即，则，所以，，A错；
对于B选项，令，，可得，所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，
所以，，即，故数列单调递减，B对；
对于C选项，对任意的，，所以，，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，令，①
则，②
①②可得，
因此，，D对.
故选：BCD.
4．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数有唯一零点，则实数（ ）
A．2B．C．4D．1
【答案】A
【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值.
【详解】由
，
得，即函数的图象关于对称，
要使函数有唯一的零点，
则，即，得．故选：A．
5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，这是函数的部分图象，则它的解析式可能是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】观察函数的图象可得函数是奇函数，由此排除AB；再由函数单调性定义推理并排除C作答.
【详解】观察函数的图象知，函数的定义域为，是奇函数，
而函数是偶函数，函数是奇函数，
则与是非奇非偶函数，AB不可能；
对于C，是奇函数，且当时，函数与都是增函数，
任取，，
因此，即函数在上单调递增，C不可能；
对于D，是奇函数，当且无限增大时，的值无限趋近于，且趋近于无穷大，
的值无限趋近于无穷大，但增大的速度远大于增大的速度，则无限趋近于0，
当时，，选项D符合.故选：D
6．（2023·河北张家口·统考三模）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数得在上为减函数，在上为增函数，由可得，利用恒成立，得，再根据可得.
【详解】的定义域为，，令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，因为，所以，所以，即.因为
，
所以，所以，因为，所以，
又因为在上为增函数，所以，即，
所以，综上所述：.故选：B
【点睛】关键点点睛：推出恒成立，得是解题关键.
7．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知函数的定义域为，且都有，则下列说法正确的命题是（ ）
①；②；
③关于点对称；④
A．①②B．②③C．①②④D．①③④
【答案】D
【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.
【详解】对于①，由于都有，
所以令，则，即，
因为，所以，所以①正确，
对于②，令，则，所以，即，
所以，所以②错误，
对于③，令，则，所以，
即，所以关于点对称，所以③正确，
对于④，因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以的周期为4，
在中，令，则
，因为，所以，
，
所以，
所以，所以④正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
8．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图像与函数的图像的交点为，（其中表示不超过x的最大整数），则下列说法正确的个数（ ）
①是非奇非偶函数函数；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】对于①,利用特殊值验证，可判断；对于②，根据的含义，明确函数的解析式，进而作出图象，数形结合，可判断；对于③，确定，求和，即可判断；对于④，根据，结合等比数列的前n项和公式，即可判断，由此可得答案.
【详解】对于①，函数，则，
故且，即是非奇非偶函数函数，①正确；
对于②，函数定义域为，满足，
当时，，
则当时，，故，
当，，
，
当时，，，
当，，
，
故当，函数在上单调递减，
在上单调递增，
当时，取得最大值，
当时，，
当时，，
当时，，
因此当时，函数，作出函数的部分图象，如图，

由图象可知，当时，函数的图象有唯一公共点，
因为，
又满足的整数有2024个，即，②正确；
对于③，，
所以，③正确；
对于④，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，④正确，
故选：D
二、多选题
9．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由求得，即可判断A、B选项；由已知得出周期，结合函数的奇偶性，即可判断C、D选项.
【详解】已知函数为上的奇函数，则，即，解得，A正确；B错误；
又因为，即，从而周期为8，，
，
.
因为当时，，所以，
从而，，，
所以，C正确；D错误.
故选：AC.
10．（2023·海南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】令可得，令可得．当时,,根据已知条件得,即，所以.
【详解】对任意,恒有，
令可得，
因为当时,故，所以，
令可得，所以，
当时,,根据已知条件得,即，所以.
故选：ABC.
11．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）“”表示不大于x的最大整数，例如：，，．下列关于的性质的叙述中，正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若数列中，，，则
D．被3除余数为0
【答案】ACD
【分析】A选项，由题意得到，变形得到；B选项，举出反例即可；C选项，求出，利用等差数列求和公式求出答案；D选项，分析得到，被3除余数为1，分组求和后得到其被3除余数为1011，而，故D正确.
【详解】对于A，由定义“”表示不大于x的最大整数可知，，故，用代换x，即得，故A正确．
对于B，不妨设，，满足，但此时，B错误．
对于C，由，可得，故，
则，故C正确．
对于D，对任意自然数k，与均不是整数，且，
则．
当时，，即被3除余数为1．
当时，，
，
则被3除余数为1，
，
由上述分析知其被3除余数为1011，而，即M能被3整除，故D正确．
故选：ACD．
12．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】首先对函数化简，不难分析出函数的奇偶性、单调性、凹凸性.对于A，借助奇偶性和单调性判断即可；对于B、D，可借助减函数、凹函数可得出结论；对于C，可将化为关于的函数，利用导数分析，即可判断.
【详解】解：，则，
函数是定义在上的奇函数，在上单调递减且下凸（类似于反比例函数），
由题意，，可得.
对于A，，，即，故A不正确；
对于B、D，函数在上单调递减且下凸，，即，故B正确，
，即，故D正确；
对于C，，设，
，当时，
，故C错误.
故选：BD.
三、填空题
13．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数与偶函数满足，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】用代换得，与原式联立求得，利用导数法研究单调性，利用奇函数及单调性把不等式化为，解不等式得，解三角不等式即可求解的范围.
【详解】由已知①，用代换得，
因为函数为定义在R上的奇函数，函数为定义在R上的偶函数，
所以②，①+②得，①-②得，
则，当时，，所以在上单调递增，
所以，，
所以化为，
所以，所以，
所以，解得或，又且，
所以，所以，
则的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：通过函数的单调性，奇偶性，以及，从而解出，是解题关键.本题考查函数的基本性质的综合应用，属于较难题.
14．（2023·贵州·校联考二模）已知是定义在上的函数，且，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】易得是定义在上单调递增的奇函数，利用单调性性质将转化为，构造函数，利用导函数讨论单调性得出，令即可求解的范围.
【详解】的定义域为，关于原点对称，，
为奇函数，且，
在上单调递增，，可化为：
，即，
令，求导得：，在上递增，值域为R，
则存在一个，使得，且时，，
时，，则
.
，，则；
另外，对任意，要保证有意义，则恒成立，所以；
综上，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：（1）解决不等式问题时，单调性与奇偶性是突破口；（2）解决恒成立问题时，根据大于最大值或小于最小值的性质，将问题转化为求最值问题，最值问题又转化为单调性问题，构造函数是将不等式转化为函数思想的常用方法.
15．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 .
【答案】/
【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和，求出的值，即可得到，所以化简，即可得到答案
【详解】已知，，
则，故函数在定义域内为非奇非偶函数，
令，
则，
则在定义域内为奇函数，
设的最大值为，则最小值为，则的最大值为，最小值为，
则，∴，
所以，
∴当时，，
∴关于中心对称，
故答案为：
16．（2022·新疆昌吉·统考二模）已知函数，则下列结论正确的有 .
①，
②，恒成立
③关于的方程有三个不同的实根，则
④关于的方程的所有根之和为
【答案】①③
【分析】根据已知递推可判断①，根据函数变化的规律，只需要证明，成立，作差求导可判断②，作图可判断③，数形结合，根据每个区间上的对称轴可判断④.
【详解】由，故A对.
由A可知，要使，恒成立，只需要满足，成立即可.即，即成立，令，则，得，当时，有最大值，故B不正确.
作出的图像，
由图可知，要使方程有三个不同的实根，则，即，故C对.
由可知，函数在上的图像可以由上的图像向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，由于的对称轴为，故的两根之和为，同理，的两根之和为的两根之和为，故所有根之和为，故D错.
故选：①③
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 放大镜函数
【题型二】 高斯函数（取整函数）
【题型三】 保值函数
【题型四】 一元三次函数
【题型五】 分式型反比例函数
【题型六】 对数型反比例函数
【题型七】 对数型无理函数
【题型八】 对数型绝对值函数
【题型九】 对勾函数
【题型十】 指数型对勾函数
【题型十一】指数型双刀函数
【题型十二】指数型“反比例函数”
【题型十三】 抽象函数赋值型
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
满足形式，一般情况下，b多是0或者1.俗称为“放大镜函数”。
（1）如果函数在上满足，则此类函数在局部范围上具有与周期函数相类似的性质．
（2）复杂函数的零点，可以转化为熟悉函数图像的交点来处理．
一般地，若的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，
把函数存在区间，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，转化为是解答的关键.
取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，
所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，
设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．
形如：。对称中为P，其中

对数绝对值
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
形如称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处）
指数对勾型：
指数双刀函数：
图像如图：
a>1
0抽象函数的性质研究：
①赋值法求特定元素的函数值；
②利用已知抽象函数的等式性质，证明函数的单调性；
③利用单调性解不等式式.