专题2-4 切线12种题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
函数切线的几种图形
在P点处的切线
过P点（曲线上的点）切线
过H点（曲线外的点）的切线方程
二、求曲线方程的步骤
以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
如果是过点（a，b）
三、切线方程的几个形式及其区别
四、借助函数切线求零点，要注意凸凹性的影响
对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性
热点考题归纳
【题型一】 有切点求切线型
【典例分析】
1.．（2023春·广东阳江·高三模拟）曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为（ ）
A．B．1C．D．
2.（2023春·陕西渭南·高三模拟）已知函数的图像在处的切线垂直于直线，则实数a的值为（ ）
A．B．C．10D．-10
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2024·江西·校联考模拟预测）已知直线是曲线在点处的切线，则直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．2D．3
2．（2023春·河南郑州·高三模拟）已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·西藏日喀则·高三模拟）已知函数的图象在点处的切线与平行，则（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
【题型二】无切点有切线型
【典例分析】
1．（2023春·高三模拟）曲线过点的切线平行于直线，则此切线方程为（ ）
A．B．C．或D．
则所求切线方程是或，即或．故选：C．
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若曲线的一条切线为，则实数的值为
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2023春·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学）若直线是函数的切线，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学）若直线是函数图像的切线，则的最小值为（ ）
A．－1B．－2C．－eD．e
3．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（ ）
A．B．C．0D．1
【题型三】 切线求参数
【典例分析】
1．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线在点处的切线互相垂直，且切线与轴分别交于点，记点的纵坐标与点的纵坐标之差为，则（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023春·浙江·高三模拟）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.若曲线存在两条互相垂直的切线，则a的取值范围是________．
2.（河南省湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期12月期末摸底考试数学（理科）试题 ）已知直线为曲线的一条切线，则的取值范围为______.
3.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题）已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．
4.（山西省大同市2023届高三上学期第一次学情调研数学试题）已知满足，且在处的切线方程为，则___________.
【题型四】求“过点型”切线方程
【典例分析】
1.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
2.（贵州安顺市2023届上学期高三期末数学试题）过点作曲线的切线，则切线方程是_________.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知函数，则曲线经过点的切线方程是______．
2.若经过原点作曲线的切线，求切线方程为______．
3.(山东省临沂市临沂第三中学（北校）2022-2023学年高二上学期期末数学试题)已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______．
【题型五】“过点型 切线条数判断
【典例分析】
1.（湖北省咸宁市2021~2022学年高三数学试题）过点且与曲线相切的直线共有________条.
2.当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为
A．0B．1C．2D．3
【提分秘籍】
【变式演练】
1.过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（ ）
A．B．C．D．
2.（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中联考数学试题）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3.已知函数f（x）＝x3+ax2﹣9x+1（a∈R），当x≠1时，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0）和点（2﹣x0，f（2﹣x0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a，a﹣2）作曲线y＝f（x）的切线，则可作切线的条数为（ ）
A．.3B．.2C．1D．.0
【题型六】分段型切线求参及应用
【典例分析】
1.（江西省丰城市第九中学2021-2022学年数学（理）试题）已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2..设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)
【变式演练】
1.（北京市第二中学2021-2022学年高三11月阶段落实测试数学试题）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是___________.
2.（河南省濮阳市2021-2022学年高三模拟数学理科试题）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.
【题型七】公切线条数判断
【典例分析】
1.(山西省晋中市平遥县第二中学校2023届高三上学期九月月考数学试题)已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
2.(广东省2022届高考预测模拟（二）数学试题)曲线：与曲线：公切线的条数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【提分秘籍】
【变式演练】
1.(江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学试卷)已知直线与曲线和曲线均相切，则这样的直线的条数为___________．
2.已知函数，则和的公切线的条数为
A．三条B．二条C．一条D．0条
3.直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（ ）
A．1B．2C．3D．无数条
【题型八】交点处公切线
【典例分析】
1.（山东省菏泽市鄄城县第一中学2022-2023学年高三数学试题）若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________.
2.（山西省大同市第一中学校2022-2023学年高三1月考试数学试题）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（湖南省衡阳市祁东县育贤中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题）已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．
2.（湖北省仙桃市田家炳实验高级中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题）设函数的图象与的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则实数b的最大值为______.
3.（甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（理）试题）若函数与的图象在一个公共点处的切线相同，则实数_________．
【题型九】公切线求参（切点不同）
【典例分析】
1..若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为，则实数的最大值为_________．
2.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.
【提分秘籍】
【变式演练】
1..已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围__________．
2.．若直线是曲线的切线，切点为，也是曲线的切线，切点为，则__________．
3.已知曲线，若有且只有一条直线同时与，都相切，则________．
【题型十】切线法解零点型
【典例分析】
1.（河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三模拟考试数学（理科）试题）已知函数，在上单调递增，且关于x的方程恰有1个实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
2.（云南省文山州2020-2021学年高高三模拟数学（文）试题）设，若函数在区间上有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
2.（山东省菏泽市2021-2022学年高三数学试题）若关于的方程无解，则实数的范围为______.
3.（辽宁省辽阳市第一高级中学2021-2022学年高三数学试题）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型十一】切线应用：最值型
【典例分析】
1.（广西北流市高级中学2021-2022学年高三4月数学（理）试题）已知是函数的切线，则的最小值为___________.
2..已知，，若关于x的不等式恒成立，则的最小值为________.
【变式演练】
1.若曲线与直线相切，则实数的最大值是___________.
2.已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________.
3.对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【题型十二】切线应用：整数解型
【典例分析】
1.已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.若对，关于x的不等式恒成立，则整数m的最小值为___________.
【变式演练】
1.（山东省潍坊市2021-2022学年高三4月优秀生测试数学试题）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是_________．
2.（广东省普宁市华美实验学校2023届高三上学期第二次月考数学试题）若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．
高考真题对点练
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（四川·高考真题）设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P­2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)
3．（安徽·高考真题）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
A．
B．
C．
D．
4．（山东·高考真题）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是
A．B．C．D．
5．（全国·高考真题）设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则
A．1B．C．D．
二、填空题
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
8．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
9．（2006·江苏·高考真题）对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 .
最新模考真题
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．或1B．或2C．或D．或1
4．（2022·河南郑州·统考二模）已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（ ）
A．－1B．0
C．2D．4
5．（2023·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是
A．B．C．D．或
8．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·河北·统考模拟预测）（多选）曲线在点处的切线与其平行直线的距离为，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）直线是曲线的切线，则实数的值可以是（ ）
A．3πB．πC．D．
11．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
12．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知函数，曲线的切线l的斜率为k，则下列各选项正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．是偶函数
C．当时，取得极大值
D．当时，l在x轴上的截距的取值范围为
三、填空题
13．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为 ．
14．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 .
15．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是 .
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 有切点求切线型
【题型二】 无切点有切线型
【题型三】 切线求参数
【题型四】 求“过点型”切线方程
【题型五】 “过点型”切线条数判断
【题型六】 分段型切线求参及应用
【题型七】 公切线条数判断
【题型八】 交点处公切线
【题型九】 公切线求参（切线不同）
【题型十】 切线法解零点型
【题型十一】切线应用：最值型
【题型十二】 切线应用：整数解型
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
以曲线上的点(x0，f(x0))（x0为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：

”过点型“切线条数判断：
有几个切点横坐标，就有几条切线。
切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
对函数 ，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
函数零点个数求法，可以通过“分涵”，转化为直线与曲线交点的问题。直线与曲线的交点问题，借助切线寻找分界情况。要注意函数凸凹的情况。如下图的极端情况，要注意区分