专题3-5 解三角形小题12题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
正余弦定理
(1)正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径 ；
注意：正弦定理变式与性质：
①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
②正弦化边：sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
④eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝ 2R ；
余弦定理：
①a2＝b2＋c2－2bccs_A；
②b2＝c2＋a2－2cacs_B；
③c2＝a2＋b2－2abcs_C
注意：变式：
①cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
②cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
③cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
三角形面积 ：
①S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)
②S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
解三角形：最值范围
可以用余弦定理+均值不等式来求解。
可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
热点考题归纳
【题型一】求角
【典例分析】
1.（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则角（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（文））已知锐角的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角C的大小为( )
A．B．C．D．
2.（2022·全国·高三专题练习）中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．
A．B．C．D．
3.（2021·四川·石室中学一模（理））已知在中，点D是边AB上的点，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型二】判断三角形形状
【典例分析】
1.在中，角的对边分别为，若，且，则为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形

2.在中，若，且，则是（ ）.
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形

【变式演练】
1.在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形

2.在中，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
3.在△中，“”是“△为钝角三角形”的（ ）条件
A．充要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要

【题型三】三角形几解问题
【典例分析】
1.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定

2.在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．有无数解

【提分秘籍】
【变式演练】
1.．在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．有无数解

2.在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．两解
C．一解D．解的个数不能确定

3.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，有两解B．，有唯一解
C．，无解D．，有唯一解


【题型四】解三角形求长度
【典例分析】
1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（ ）
A．B．C．D．

2.在中，内角，，的对边长分别为，，，且，，则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式演练】
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．1B．C．2D．

2.（2022·北京密云·高三期末）在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【题型五】解三角形求面积
【典例分析】
1.（2022·山西大附中三模（理））已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若，则△ABC的面积为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·云南昆明·一模（理））在中，，，，点在边上且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·江西抚州·高三黎川县第二中学校考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022秋·重庆·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知，，分别为三角形ABC中角，，的对边，已知，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【题型六】正余弦定理应用：求比值型
【典例分析】
1.（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·江西·高三阶段练习（文））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．B．1C．D．
【变式演练】
1.△的内角，，的对边分别为，，.若，则（ ）
A．5B．4C．3D．2

2.的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（ ）
A．B．C．D．
3.已知，内角所对的边分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型七】正余弦定理应用：有边有对角型
【典例分析】
1.（2023春·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．4B．6C．D．
2.（2023·西藏拉萨·统考一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．12D．16
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2019秋·广西南宁·高三南宁市第八中学校考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（ ）
A．B．
C．或D．
2.（2023春·山西朔州·高三校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ．
3.（2023秋·四川乐山·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若 ，，且，则=
【题型八】最值型：角与对边求长度型
【典例分析】
1.在中，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．

2.．（2023春·陕西西安·高三长安一中校考）在中，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考）三内角，，所对边分别是，，.若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高三练习）在中，，则的最小值（ ）
A．-4B．C．2D．
3.（2023春·江苏南京·高三金陵中学校考）锐角中,，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型九】最值型：角与对边求面积型
【典例分析】
1.（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则面积的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023春·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
2.（2023春·黑龙江绥化·高三校考）在中，分别是角的对边，=，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·山西运城·高三康杰中学校考阶段练习）已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，a=2，且，则的面积的范围（ ）
A．B．C．D．
【题型十】最值型：向量与解三角形
【典例分析】
1.在中，已知，，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
2.（2023秋·江西新余·高三新余市第一中学校考）在中，，，，设，（），则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·全国·高三专题练习）在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2021·贵州黔东南·统考一模）在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型十一】最值型：判断角度范围
【典例分析】
1.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．

2.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆面积与面积之比的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【变式演练】
1.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是
A．B．C．D．
3.已知锐角△中,角对应的边分别为,△的面积,若, 则的最小值是
A．B．C．D．
【题型十二】最值型：正切函数型
【典例分析】
1..在锐角三角形中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

2..中点在边上且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·广东梅州·高三校联考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
高考真题对点练
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·山东·统考高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
3．（·福建·高考真题）在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）．
A．B．
C．或D．或
4．（2018·全国·高考真题）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A．B．C．D．
5．（2017·山东·高考真题）在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A．B．C．D．
6．（·江苏·高考真题）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则
7．（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．

（全国·高考真题）已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 ．
最新模考真题
1.（2022·云南昆明·一模（文））在中，，，，点D在边上且，则（ ）
A．B．C．D．
2.记的内角对边分别为已知．若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰锐角三角形
C．等腰钝角三角形D．不等腰钝角三角形

3.．下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（ ）．
①，，，有两解；
②，，，有一解；
③，，，无解；
④，，，有一解．
A．1B．2C．3D．4

4.钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（ ）
A．9B．C．6D．

5.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，（表示的面积），则（ ）
A．B．C．D．

6.．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2

7.（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．4B．6C．D．
8.（2023春·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9.（2023春·江苏泰州·高三校考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则△ABC面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
10.（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
11.在钝角中，角对应的边分别为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12.（2021全国·高三专题练习）在中，若，则的取值范围为
A．B．C．D．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 求角
【题型二】 判断三角形形状
【题型三】 三角形几解问题
【题型四】 解三角形求长度
【题型五】 解三角形求面积
【题型六】 正余弦定理应用：求比值
【题型七】 正余弦定理应用：有边有对角型
【题型八】 最值型：角与对边求长度型
【题型九】 最值型：角与对边求面积型
【题型十】 最值型：向量与解三角形
【题型十一】最值型： 判断角度范围型
【题型十二】最值型：正切函数型
三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
辅助角公式
判断三角形解的个数有2种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
三角形面积 ：
①S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)
②S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)

1.一个角为定值，则另外俩角和为定值，所以可以消角。
2.注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求解。
3.有角无边型，如果出现边，多为边的比值齐次式型，一般可以用正弦定地来边化角转化
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
对于平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：
1.“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；2.“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
正切：
1.tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β, 1tan αtan β)；
2.在三角形中，