专题1-1 集合（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
二、并集的概念
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
三、交集的概念
一般地，由属于且属于的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素）；（2），则；（3）A与B相离（）.
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．
（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
四、补集的概念
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
（2）若，则或，二者必居其一．
五、Venn图的概念
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
六、子集、真子集及其性质
对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或BA)；若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，则A B(或BA)；
A；AA；AB，BCAC.
若集合A含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有个，A的非空真子集有个．
八、补集的性质
热点考题归纳
【题型一】相等集合
【典例分析】
1．（2023·高三模拟）已知集合，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的表示，确定集合中的元素，能化简的集合要化简后对比
【详解】解：∵是单元素集，集合中的元素是，
，，
，集合中的元素是点，.∴.故选：D.
2．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；
对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；
对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；
对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.
故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·高三模拟）设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）.
【详解】对于（1），由，得，一一对应，则
对于（2），由，得，一一对应，则
对于（3），由，得，一一对应，则
对于（4），，但方程无解，则与不相同
故选：B
2．（2023·高三模拟）下列各组集合中，M与P表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】根据相同集合的判定方法，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，与所含元素不同，故不是同一集合，A错；
B选项，与所含元素不同，故不是同一集合，B错；
C选项，集合表示点集，集合表示数集，故不是同一集合，C错；
D选项，两集合均表示大于等于的全体实数，是同一集合，故D正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查同一集合的判定，属于基础题型.
3．（2023·高三模拟）与集合表示同一集合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由解得，即可得出结果.
【详解】由解得，所以.
故选：D.
【题型二】判断集合元素个数
【典例分析】
1．（2022秋·山东·高三阶段练习）已知集合有个真子集，集合有个真子集，那么的元素个数为（ ）
A．有个元素B．至多有个元素
C．至少有个元素D．至多有10个元素
【答案】B
【分析】利用真子集的公式分别求出两集合的元素的个数，然后分两集合中的元素有个相等，个相等，互不相等三种情况讨论两集合并集元素的个数，得到正确答案即可．
【详解】解：根据真子集的公式解得；解得，
所以集合中有个元素，集合中有个元素，
当集合与的元素互不相等时，的元素个数为个；
当集合与的元素有且只有一个相等时，的元素个数为个；
当集合与的元素有且只有两个相等时，的元素个数为个；
所以的元素个数可能为个，个，个，所以的元素个数至多有个元素．
故选：B．
2．（2022秋·北京海淀·高三海淀实验中学阶段练习）已知、、为实数，，，记集合，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2
C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况；再考虑当集合的元素个数分别为2、3时, 集合的元素个数情况,最后选出正确答案.
【详解】选项A：当时，集合的元素个数为2，此时,集合的元素个数为1,故本选项说法错误；
选项B：当时,集合的元素个数为2,此时，集合的元素个数为3，故本选项说法错误；
选项C：当时，集合的元素个数为3，此时,集合的元素个数为2,故本选项说法错误；
选项D：若集合的元素个数为3，方程有三个不等实根,则有,在该条件下方程一定有这一个根，且不是的根，又，所以有两个不等于的根，即集合的元素个数也一定为3.
故选D
【点睛】本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.
【提分秘籍】
【变式演练】
1（2023·高三模拟）已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（1），；
（2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素．
则有序集合对的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件，按集合中得元素个数进行分类讨论.
【详解】若集合A中只有1个元素，则集合中有3个元素，且，，所以，，此时有序集合对有1对；同理，若集合中只有1个元素，则集合A中有3个元素，此时有序集合对有1对；若集合A中有2个元素，则集合中有2个元素，且，，不满足题意．所以满足题意的有序集合对的个数为．故A，C，D错误.
故选：B．
2．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（ ）
A．14B．30C．32D．42
【答案】A
【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【详解】设中有个元素，则,
所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为，
由于，所以，故当时，有最小值14
故选：A
3．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市杨家坪中学校考阶段练习）对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．集合中有1个元素B．集合中有个元素
C．集合中有11个元素D．集合中有15个元素
【答案】B
【分析】对的情况分别列出来，计算的取值情况，最后得出集合的元素个数.
【详解】1.当为单元集合时，集合A可取，可取;
2.当中的元素个数为2时，集合可取，可取；
3.当中的元素个数为3时，集合可取，可取；
4.当时,.
综上所述，集合中有个元素.
故选:B.
【题型三】元素个数与参数
【典例分析】
1．（2023·高三模拟）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案.
【详解】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
故选：C
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·山西·统考模拟预测）已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角变换将函数转化为.集合只含有3个元素，表示时在上只有三解，求出的根，从而得出的范围.
【详解】因为函数，所以，
因为集合含有个元素，
所以时在上只有三解，即，
解得：或，故或，要使其落在上，
故只有、、，其他值均不在内，故，解得，故，故选：D.
2．（2023·湖北武汉·高三校联考）设集合，，若中有且只有一个元素，则所有取值组成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据集合描述的几何意义，判断集合N表示的圆与集合M表示的半圆只有一个交点时的取值范围即可.
【详解】如下图示，当集合N表示的圆与集合M表示的半圆相切，或集合N表示圆半径变大过程中与集合M表示的半圆只有一个交点时，中有且只有一个元素，

所以当它们相切，；
当集合N表示的圆过时恰好有两个交点，过时恰好有一个交点；
综上，时，中有且只有一个元素.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解.
【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集，
当时，则且，解得，
当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ，综上，或，故选：D
【题型四】子集与真子集
【典例分析】
1．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n的取值.
【详解】由题意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，
有，则结合诱导公式易知，
可取的值是4或5.故选：B
2．（2023黑龙江·高三校考阶段练习）给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为
A．48B．49C．50D．51
【答案】B
【详解】 时，的个数是
时，的个数是
时，的个数是 ，
时，的个数是1
时，的个数是，
时，的个数是
时，的个数是1，
时，的个数是
时，的个数是1
时，的个数是1
时，的个数是
时，的个数是1、
时，的个数是1
时，的个数是1
时， 的个数是1
的有序子集对的个数为49个，
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·河南新乡·高三统考）已知集合，集合满足，且中恰有三个元素，其中一个元素是另外两个元素的算术平均数，则满足条件的共有（ ）
A．380个B．180个C．90个D．45个
【答案】C
【分析】设，，，则由题意可得，然后分，同为奇数或同为偶数两种情况讨论求解即可.
【详解】设，，，且是与的算术平均数，则，
所以，同为奇数或同为偶数.
当，同为奇数时，则必存在唯一确定的数，
此时满足条件的共有个.
当，同为偶数时，则也必存在唯一确定的数，此时满足条件的共有个.
故满足条件的共有90个.
故选：C
2．（2023·辽宁·校联考三模）若为全体实数，集合．集合．则的子集个数为（ ）
A．5B．6C．16D．32
【答案】D
【分析】先分别求出集合再根据补集及交集求解，最后应用子集公式计算即可.
【详解】由集合得且，
由集合可得或，
故子集个数为．
故选:．
3．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）设集合，则的所有子集的个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】解不等式得，再根据公式求解即可.
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
由于,
所以，，
所以，的所有子集的个数为个.故选：C
【题型五】集合的子集求参数
【典例分析】
1．（2023安徽滁州·高三校考阶段练习）已知非空集合 ，，，则集合可以是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】取，则，
所以，又，所以，故排除ACD.
故选：B.
2．（2023秋·河南·高三统考）集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
【详解】，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，
当时，可得，要使，则需要，解得．
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据并集关系得到，分和讨论即可.
【详解】，当，符合题意；
当，，解得，
综上.故选：A．
2．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知非空集合， 其中，若满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可设，根据题设条件可得满足的条件，再根据根分布可求实数的取值范围.
【详解】，
因为非空，故可设，则为方程的两个实数根.
设，
又，
因为， 故，所以，解得.故选：A.
3．（2023春·北京·高三101中学校考阶段练习）已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为
A．25B．49C．75D．99
【答案】D
【分析】先分析集合元素的特点，通过列举可得.
【详解】当或的值较小时，集合B中元素个数最多，即共有99个元素.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特点是求解的关键.
【题型六】集合的交集运算
【典例分析】
1．（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（ ）
A．8B．6C．7D．4
【答案】A
【分析】根据可得，可得，再根据可得，分和两种情况来讨论即可得解.
【详解】由得，所以，
，所以，
（1）若，由，所以，
所以，，
所以，即，
从而，
所以，所以，
即或，与矛盾；
（2）若，则，从而，所以，即，从而，
所以，，所以或，又，所以，，
又，所以，由代入可得：
，所以或（舍），所以，故选：A
2．（2023秋·上海黄浦·高三上海市向明中学校考阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据对称性画出图像，计算圆心到直线的距离 得到答案.
【详解】根据对称性画出图像，如图所示：
考虑第一象限，圆心到直线的距离为 ，相离
根据对称性得到集合中元素的个数是
故选
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，集合的交集，意在考查学生的综合应用能力.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023春·浙江宁波·高三校联考期末）设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】在同一坐标系下画出两集合对应函数图象，交点个数即为交集元素个数
【详解】对于函数，当时，；当时，.
对于函数，，则且端点处取最大值.
两函数图象在同一坐标系下大致如下，则两函数图象有3个交点，即中元素的个数为3个.
故选：B

2．（2023春·湖北省直辖县级单位·高三湖北省仙桃中学校考阶段练习）集合，集合，则的元素个数为（ ）
A．4B．5C．6D．无数个
【答案】A
【分析】计算，，再计算交集得到答案.
【详解】，则，即，
故，，
故.
故选：A
3．（2023·江西·校联考二模）已知，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可知：，
对于可知：，则，
故，且，
故.故选：C.
【题型七】交集运算求参数
【典例分析】
1．（2023·浙江·高三校考）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式.
【详解】，令，由题意，，又，所以，
设，又.所以要使中恰好有两个整数解，
则只能是和，所以应满足,解得.故选A
【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题.
2．（2022秋·重庆·高三统考期末）设，，若中含有两个元素，
则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：表示以为圆心、半径为2的上半圆，直线表示恒过点的直线；由题意，满足要求的直线介于之间，；因为与圆相切，则，解得；所以．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·黑龙江绥化·高三统考）设集合，，若，则实数k的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】C
【分析】先算出集合，再根据，根据区间端点列出不等式即可获解.
【详解】或,
或，解得或，
的取值范围是或
故选：C
2（2023·福建宁德·高三统考）设集合，集合，若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出或，然后对分，，三类讨论，利用数轴得到相关不等式，解出即可.
【详解】由中不等式变形得:,解得:或,
即或，
，即 ，令，则或，
若，则，即，此时，此时，不合题意舍去，
若，则不等式解集为，根据数轴分析得若恰有一个整数，则，解得，
若，则不等式解集为，根据数轴分析得若恰有一个整数，则
，解得，综上，故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ）
A．或B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】依题画出满足题意的图形，因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.
【详解】，，即圆M：的上半部分，如图：
圆M的圆心坐标为，半径为2，圆N的圆心坐标为，半径为r，
因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，
所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，①外切：，d为圆心距，
，此时，②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径，
圆（3）处的半径，所以，综上，正数的所有取值为或.故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，进而分析计算.
【题型八】集合的并集运算
【典例分析】
1．（2023·高三模拟）设全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先弄清的含义，再求，最后再求补集即可得答案.
【详解】由，可得，
所以集合表示的是直线去掉点后的所有点的集合，
集合表示的是坐标系内不在直线上的点的集合，
所以.
故选：B.
2．（2023·四川成都·高三校联考）已知正整数集合，，其中．若，且，则中所有元素之和为（ ）
A．52B．56C．63D．64
【答案】A
【分析】由题意可得，从而可求的值，根据可求，由并集运算可得，从而可求元素之和.
【详解】解：因为，且，所以.
所以.
由，可得.
故由可得.
所以.
故,.
所以,所有元素之和为52.故选:A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·湖北·校联考模拟预测）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
2．（2022秋·河北衡水·高三统考期中）若，，定义，
则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意，
，
所以,
所以
考点：新定义及集合的基本运算．
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求，即是集合A或B的元素，但不是集合A,集合B共有的元素,一般要在数轴上表示出来，形象直观，一定要注意端点值，看是否包括，是易错点．
3．（2023河南·高三校联考阶段练习）已知集合，.若，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，所以，将问题转化为二次函数的两根在和之内，由二次函数图象性质及零点存在性定理求解即可.
【详解】解：由，得；
因为，
所以，
令，结合二次函数图象性质及零点存在性定理，
得，即，解得，所以实数的取值范围为.故选:D.
【题型九】并集运算求参数
【典例分析】
1．（2023春·江西景德镇·高三景德镇一中校考期末）已知集合，集合，若，则实数不可以取（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得范围为，根据题意可得，逐项分析判断即可得解.
【详解】对集合A解不等式，解得，
由则，
当时，，则，
此时，符合题意；
当时，，，符合题意，
当时，，
此时，符合题意，
当时，
此时 ，不符题意，
故选：D
2．（2023·浙江·高三专题练习）已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，解绝对值不等式求出集合A，分类讨论的取值范围，求出集合B，由，列出满足条件的不等式组，解不等式即可求解.
【详解】由题意可得，解得或 ，
所以或，
所以
，
当时，，由，
则，解得；
当时，，此时不成立，故不取；
当时，，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、含参数的一元二次不等式的解法以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，属于中档题.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2023·高三校考模拟）设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】集合分别表示圆及其内部所有点组成的集合，由题意可知两个圆内含或内切，列式求解即可.
【详解】集合表示以为圆心，半径的圆及其内部所有点组成的集合，
集合表示以为圆心，半径的圆及其内部所有点组成的集合，
因为，所以两个圆内含或内切，
从而，即，解得.
故选：D．
2．（2023·浙江·统考高考模拟）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x