2022-2023学年四川省自贡市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

展开

这是一份2022-2023学年四川省自贡市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin15∘cs15∘=( )
A. 14B. 12C. 34D. 32
2.当34A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.某学校高一年级有900名学生，现采用系统抽样方法，从中抽取45人作问卷调查，将900人按1、2、3、⋯、900随机编号，则抽取的45人中，编号落入区间[201,760]的人数为( )
A. 26B. 27C. 28D. 29
4.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A. 101B. 808C. 1212D. 2012
5.已知非零单位向量a,b的夹角为23π，若ka−b与2a+b垂直，则实数k的值为( )
A. 4B. 2C. 1D. 0
6.荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120∘，则该秋千最大摆角所对的弧长为( )
A. 16π3米B. 20π3米C. 13.6米D. 198米
7.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为( )
A. y=2sin(2x+π3)
B. y=2sin(2x+2π3)
C. y=2sin(2x+π6)
D. y=2sin(2x+5π6)
8.设f(x)= 3sin(π4x−π3)，若函数g(x)与f(x)图像关于x=1对称，则x∈[0,3]时，y=g(x)的最大值是( )
A. 1B. 32C. 3D. 12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量AB(BA)外，与向量AB共线的向量有( )
A. CF
B. CD
C. DE
D. OD
10.为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位：分钟)，得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则( )
A. 骑车时间的中位数的估计值22分钟
B. 坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
C. 坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
D. 坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若A=150∘，a=3，b=4，则△ABC有一解
B. 若A=30∘，a=1，b=4，则△ABC无解
C. 若A=45∘，a= 2，b= 3，则△ABC有两解
D. 若A=60∘，a=b=2，则△ABC有两解
12.设函数f(x)=cs(ωx+φ)，其中ω>0，若对任意的φ∈[π6,π4],f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( )
A. ω=116B. ω=53C. ω=54D. ω=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知z(1+2i)=4+3i，则|z|=______.
14.已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与b的夹角为______.
15.如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处观测三点的俯角分别为α，β，γ.现测得α=15∘,β=45∘,γ=30∘,AD=83km,EB=13km,BC=1km.计划沿直线AC开通一条穿山隧道，则隧道DE的长度为______km.
16.Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=3，AC=4，M为△ABC的外接圆上一动点，则AB⋅AM的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
一个口袋中装有5个大小完全相同的球，其中3个红色，2个白色，若从中任取2个球.
(1)求事件A=“恰有1个红色球”的概率；
(2)求事件B=“两个都是红色球”的概率.
18.(本小题12分)
已知f(α)=sin2α−2cs2α2sinα+2cs(π+α).
(1)化简f(α)；
(2)若π2<α<π,sinα=45，求f(α+π6).
19.(本小题12分)
某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分布在[150,250),[250,350),[350,450),[450,550),[550,650](单位：克)中，经统计频率分布直方图如图所示．
(1)估计这组数据的平均数；
(2)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以10元/千克收购；
方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．
请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
20.(本小题12分)
已知向量a,b不共线，OA=a+2b,OB=2a−b,OC=xa+yb(x,y∈R).
(1)若OC=OB−2OA，求x，y；
(2)若A、B、C三点共线，求xy的最大值.
21.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设m=(a, 3sinC),n=(csC,a)，若b+c=m⋅n.
(1)当a=2 3，求△ABC面积的最大值；
(2)求μ=b+ca−bca2的值域.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx−π6)+2cs2(ωx2−π12)−1,(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为π2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，当x∈[−π12,π6]时，求函数g(x)的最值.
(3)对于第(2)问中的函数g(x)，记y=g(x)−m(m∈R)在x∈[π6,4π3]上的5个零点从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，求m+x1+2x2+2x3+2x4+x5的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：sin15∘cs15∘=12sin30∘=12×12=14.
故选：A.
由已知利用二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：复数z=2−i+x(−4+2i)=2−4x+(2x−1)i，
当34则2−4x<0，2x−1>0，
故复数z=2−i+x(−4+2i)在复数平面内对应点(2−4x,2x−1)位于第二象限．
故选：B.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，采用系统抽样方法，从900人中抽45人作问卷调查，
则分组间隔为90045=20，
则编号落入区间[201,760]的人数为760−201+120=28.
故选：C.
根据系统抽样定义可解．
本题考查系统抽样的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12
∴每个个体被抽到的概率为1296=18
样本容量为12+21+25+43=101
∴这四个社区驾驶员的总人数N为10118=808
故选：B.
根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．
本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：单位向量a,b的夹角为23π，
则|a|=1，|b|=1，a⋅b=1×1×cs2π3=−12，
若ka−b与2a+b垂直，
则(ka−b)(2a+b)=2k|a|2−|b|2+(k−2)a⋅b=0，
所以2k−1−12(k−2)=0，解得k=0.
故选：D.
利用向量垂直的性质直接求解即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，秋千的最大摆角为120∘=2π3rad，
又秋千的缆索长为8米，即半径R=8，
所以秋千最大摆角所对的弧长为l=αR=2π3×8=16π3米．
故选：A.
根据题意，求得秋千的最大摆角为2π3，结合弧长公式，即可求解．
本题考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由函数图象可知A=2,T=2×[5π12−(−π12)]=π，
又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，
将(−π12,2)代入得到，sin(−π6+φ)=1，
因为0<φ<π，所以−π6<−π6+φ<5π6，故−π6+φ=π2，解得φ=2π3，
所以y=2sin(2x+2π3).
故选：B.
根据函数图象得到A=2，T=π，从而求出ω=2，代入特殊点坐标，求出φ=2π3，得到答案．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为函数g(x)与f(x)图像关于x=1对称，
所以g(x)=f(2−x)= 3sin[π4(2−x)−π3]= 3sin(π6−π4x)=− 3sin(π4x−π6)，
当x∈[0,3]时，π4x−π6∈[−π6,7π12]，
所以当π4x−π6=−π6，即x=0时，g(x)取得最大值 32.
故选：B.
先根据对称性求出g(x)的解析式，然后直接求解即可．
本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，因为在正六边形ABCDEF中，AB//CF，所以CF与AB共线，所以A正确，
对于B，因为在正六边形ABCDEF中，AB与CD不平行，所以CD与AB不共线，所以B错误，
对于C，因为在正六边形ABCDEF中，AB//DE，所以DE与AB共线，所以C正确，
对于D，因为在正六边形ABCDEF中，AB与OD不平行，所以OD与AB不共线，所以D错误．
故选：AC.
根据正六边形的性质和向量共线的定义进行分析判断．
本题主要考查向量的相等与共线，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A：易知骑车时间在区间[18,20)的频率为2×0.10=0.2<0.5，在区间[18,22)的频率为2(0.10+0.20)=0.6>0.5，
所以骑车时间的中位数在区间[20,22)内，
不妨设骑车时间的中位数为a，
则0.1×2+(a−20)×0.2=0.5，
得a=21.5，故选项A错误；
对于选项B：易知坐公交车时间在区间[12,18)的频率为2(0.025+0.050+0.075)=0.3<0.4，在区间[12,20)的频率为2(0.025+0.050+0.075+0.1)=0.5>0.4，
所以坐公交车时间的40%分位数在区间[18,20)内，
不妨设坐公交车时间的40%分位数为b，
则0.3+(b−18)×0.1=0.4，
解得n=19，故选项B正确；
对于选项C：设坐公交车时间的平均数的估计值为x−，骑车时间的平均数的估计值为y−，
所以x−=2(0.025×13+0.050×15+0.075×17+0.1×19+0.1×21+0.075×23+0.050×25+0.025×27)=20，
y−=2(0.10×19+0.20×21+0.15×23+0.05×25)=21.6，
则y−>x−，故选项C正确；
对于选项D：易知骑车时间的数据更集中，
所以坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值，故选项D正确．
故选：BCD.
由题意，根据平均数、中位数以及百分位数的定义和计算公式即可判断选项A，B，C，利用数据集中程度即可判断选项D.
本题考查频率分布直方图以及平均数、百分位数和中位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
11.【答案】BC
【解析】解：由b>a得B>A，此时三角形显然不存在，A错误；
由正弦定理得1sin30∘=4sinB，则sinB=2，显然角B不存在，B正确；
由正弦定理得 2 22= 3sinB，
所以sinB= 32，
因为b>a，所以B>A，
故B=60∘或120∘，C正确；
若A=60∘，a=b=2，则△ABC为等边三角形，唯一确定，D错误．
故选：BC.
由已知结合正弦定理及三角形大边对大角检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦定理及三角形大边对大角的应用，属于基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：设t=ωx+φ，则φ≤t≤2πω+φ，
由y=cst在[φ,2πω+φ]上有4个零点，
可知7π2≤2πω+φ<9π2，得74−φ2π≤ω<94−φ2π，
又φ∈[π6,π4]，∴74−π62π≤ω<94−π42π，即53≤ω<178，
结合选项可得：ω的值可以为116和53.
故选：AB.
设t=ωx+φ，问题转化为y=cst在[φ,2πω+φ]上有4个零点，则需满足7π2≤2πω+φ<9π2，根据φ的取值范围得到ω的取值范围，则答案可求．
本题考查函数零点与三角函数之间的关系，涉及换元思想，属于中档题．
13.【答案】 5
【解析】解：z(1+2i)=4+3i，
则|z|=|4+3i1+2i|=|4+3i||1+2i|= 42+32 12+22= 5.
故答案为： 5.
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
14.【答案】π3
【解析】解：设|a|=|b|=|a−b|=1，
则(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=1，
可得a⋅b=12，所以cs=a⋅b|a||b|=12，
结合向量夹角范围为[0,π]，所以向量a，b的夹角为π3.
故答案为：π3.
不妨设|a|=|b|=|a−b|=1，然后将|a−b|=1两边平方，再利用向量的夹角公式计算即可．
本题考查向量夹角的计算公式，属于基础题．
15.【答案】2 3
【解析】解：在△PBC中，∠C=γ=30∘，∠CPB=β−γ=15∘，BC=1，
由正弦定理BCsin∠CPB=PBsin∠C，即1sin15∘=PBsin30∘，所以PB=12sin15∘.
在△PAB中，因为∠A=α=15∘，∠ABP=β=45∘，
所以∠APB=180∘−∠A−∠ABP=120∘，
由正弦定理得PBsin∠A=ABsin∠APB，
所以AB=sin120∘2sin215∘= 321−cs30∘=3+2 3，
所以DE=AB−AD−EB=3+2 3−83−13=2 3，
所以隧道DE的长度为2 3km.
故答案为：2 3.
在△PBC中，利用正弦定理可得PB，在△PAB中，利用正弦定理可得AB，从而结合已知的数据可求得隧道DE的长度．
本题主要考查了正弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题．
16.【答案】12
【解析】解：设△ABC的外心为O，
∵Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=3，AC=4，
∴BC=5，则点O为BC的中点，且OM=52，
又∵AM=AO+OM，
∴AB⋅AM=AB⋅(AO+OM)=AB⋅AO+AB⋅OM，
由AB⋅AO=|AB|⋅|AO|⋅cs∠BAO=|AB|⋅|AO|⋅sin∠C=3×52×35=92，
又AB⋅OM=|AB||OM|cs，
则当=0，即AB//OM时，AB⋅OM取得最大值，且(AB⋅OM)max=3×52=152，
所以(AB⋅AM)max=AB⋅AO+(AB⋅OM)max=92+152=12，
所以AB⋅AM的最大值为12.
故答案为：12.
设△ABC的外心为O，根据平面向量的线性运算将AB⋅AM转化为AB⋅AO+AB⋅OM，再结合数量积的定义，代入计算即可．
本题主要考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设3个红球分别是A1，A2，A3，两个白球分别为B1，B2，
从中任取2个球，基本事件为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个，
事件A=“恰有1个红色球”的基本事件为：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个，
所以P(A)=610=35；
(2)事件B=“两个都是红色球”的基本事件为：A1A2，A1A3，A2A3，共3个，
所以P(B)=310.
【解析】根据古典概型公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(α)=sin2α−2cs2α2sinα+2cs(π+α)=2csα(sinα−csα)2(sinα−csα)=csα；
(2)∵π2<α<π,sinα=45，
∴csα=− 1−sin2α=−35，
∵f(α)=csα，
∴f(α+π6)=cs(α+π6)=csαcsπ6−sinαsinπ6=(−35)× 32−45×12=−3 3−410.
【解析】(1)根据二倍角公式及诱导公式化简；
(2)利用两角和的余弦公式求值．
本题考查了二倍角公式的应用、同角的三角函数的关系及两角和的余弦公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)这组数据的平均数为200×0.17+300×0.2+400×0.3+5000.25+600×0.08=387；
(2)按照方案①收购，估计可获得毛利润：10×10000×0.387=38700元；
按照方案②收购，估计质量低于350克的芒果有10000×(0.17+0.2)=3700个，质量高于或等于350克的芒果有10000−3700=6300个，故估计可获得毛利润：3×3700+5×6300=42600元，故按照方案②收购时，种植园获利更多．
【解析】第一问根据频率分布直方图求平均数要先算出每个区间对应的频率，再套用公式即可；第二问分别按照两种方案求出毛利润，比较大小即可．
本题考查评率分布直方图求平均数，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意可得：OC=OB−2OA=(2a−b)−2(a+2b)=−5b，
且OC=xa+yb，所以x=0，y=−5.
(2)若A、B、C三点共线，则OC=λOA+(1−λ)OB,λ∈R，
则λ(a+2b)+(1−λ)(2a−b)=(2−λ)a+(3λ−1)b=xa+yb，
可得x=2−λ，y=3λ−1，
则xy=(2−λ)(3λ−1)=−3λ2+7λ−2=−3(λ−76)2+2512，
当λ=76时，xy取到最大值2512.
【解析】(1)根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解；
(2)根据三点共线的结论分析可得x=2−λ，y=3λ−1，进而结合二次函数求xy的最大值．
本题考查了平面向量的线性运算以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
21.【答案】解：∵m=(a, 3sinC),n=(csC,a)，b+c=m⋅n，
∴b+c=acsC+ 3asinC，
由正弦定理得：sinB+sinC=sinAcsC+ 3sinAsinC，
∵sinB=s[π−(A+C)]=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
∴sinAcsC+csAsinC+sinC=sinAcsc+ 3sinAsinC，
∵C∈(0,π)，sinC≠0
∴ 3sinA−csA=1，
2sin(A−π6)=1，
∵A∈(0,π)，∴A−π6∈(−π6,56π)，
∴A−π6=π6，∴A=π3.
(1)当a=2 3时，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA，
即12=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，
即bc≤12，当且仅当a=c时取等号，
∴S=12bcsinA≤12×12× 32=3 3，
∴ABC面积的最大值为3 3；
(2)由正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴μ=b+ca−bca2=sinB+sinCsinA−sinBsinCsin2A=sinB+sin(2π3−B) 32−sinBsin(2π3−B)34
=2 33(sinB+ 32csB+12sinB)−43sinB( 32csB+12sinB)
= 3sinB+csB−2 33sinBcsB−23sin2B
= 3sinB+csB− 33sin2B−23×1−cs2B2
=2sin(B+π6)+13cs2B− 33sin2B−13
=2sin(B+π6)−23sin(2B−π6)−13
=2sin(B+π6)+23cs[π2+(2B−π6)]−13
=2sin(B+π6)+23cs2(B+π6)−13
=2sin(B+π6)+23[1−2sin2(B+π6)]−13
=−43sin2(B+π6)+2sin(B+π6)+13，
设t=sin(B+π6)，
∵B∈(0,23π)，∴B+π6∈(π6,56π)，
∴t∈(12,1],
∴μ=−43t2+2t+13=−43(t−34)2+1312，t∈(12,1],
当t=34时，μ有最大值1312，
当t=1时，μ有最小值1，
∴μ=b+ca−bca2的值域为[1,1312].
【解析】由正弦定理和三角恒等变换知识化简可求得A.
(1)由余弦定理和基本不等式可求得bc的最大值，再由三角形的面积公式即可求得；
(2)由正弦定理将边化角，再由三角恒等变换化简，最后求三角函数的值域即可．
本题考查利用正余弦定理解三角形，还考查了三角恒等变换和三角函数的值域，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由函数f(x)= 3sin(ωx−π6)+2cs2(ωx2−π12)−1= 3sin(ωx−π6)+cs[2(ωx2−π12)]
= 3sin(ωx−π6)+cs(ωx−π6)=2sin(ωx−π6+π6)=2sinωx，
因为函数f(x)的相邻两对称轴间的距离为π2，可得T=π，
所以ω=2πT=2，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y=2sin(2x−π3)，
再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)=2sin(4x−π3)的图象，
当x∈[−π12,π6]时，可得4x−π3∈[−2π3,π3]，
当4x−π3=−π2时，即x=−π24时，函数g(x)取得最小值，且g(x)min=g(−π24)=−2，
当4x−π3=π3时，即x=π6时，函数g(x)取得最大值，且g(x)max=g(π6)= 3，
所以函数g(x)的最小值为−2，最大值为 3.
(3)因为x∈[π6,4π3]，可得4x−π3∈[π3,5π]，
令t=4x−π3，
作出函数y=2sint在[π3,5π]上的图象，如图所示，
因为方程g(x)=m(m∈R)，在[π6,4π3]上有五个实数根，
所以函数y=2sint在[π3,5π]上有五个实数根，
由图象可得m∈[0, 3),且t1+t2=2×3π2=3π，t2+y3=2×5π2=5π，t3+t4=2×7π2=7π，t4+t5=2×9π2=9π，
所以(4x1−π3)+(4x2−π3)=3π,(4x2−π3)+(4x3−π3)=5π,(4x3−π3)+(4x4−π3)=7π，(4x4−π3)+(4x5−π3)=9π，
所以x1+x2=11π12,x2+x3=17π12,x3+x4=23π12,x4+x5=29π12，
所以m+x1+2x2+2x3+2x4+x5=m+(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)
=m+11π12+17π12+23π12+29π12=m+20π3，
因为m∈[0, 3),
所以m+20π3∈[20π3,20π3+ 3).
【解析】(1)根据题意，化简函数由函数f(x)=2sinωx，结合T=π，求得ω=2，即可求得函数f(x)的解析式．
(2)根据三角函数的图象变换，得到y=g(x)=2sin(4x−π3)，结合三角函数的图象与性质，即可求解．
(3)根据题意求得4x−π3∈[π3,5π]，令t=4x−π3，作出函数y=2sint在[π3,5π]上的图象，结合图象得到m∈[0, 3),进而求得x1+x2=11π12,x2+x3=17π12,x3+x4=23π12，x4+x5=29π12，即可求解．
本题考查三角函数的图象和性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．