2022-2023学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年四川省资阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数6(cs4π3+isin4π3)=( )
A. −3−3 3iB. −3 3−3iC. −3+3 3iD. 3−3 3i
2.数据1，2，3，4，5，6，7，8的60%分位数为( )
A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6
3.已知α是第二象限角，那么α2是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第二或第四象限角D. 第一或第三象限角
4.能使平面α与平面β平行的一个条件是( )
A. α与β都平行于同一条直线B. 一条直线l分别与α和β所成的角相等
C. α内有无数条直线都与β平行D. α内的任何一条直线都与β平行
5.sin105∘sin15∘−cs105∘cs15∘的值为( )
A. 32B. 12C. 0D. −12
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=30∘，b= 2，c=2，则( )
A. C=45∘B. A=l5∘
C. a= 3−1D. △ABC为钝角三角形
7.三棱台ABC−A1B1C1中，两底面△ABC和△A1B1C1分别是边长为2和1的等边三角形，CC1⊥平面ABC.若CC1=2，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为( )
A. 144
B. 77
C. 24
D. 22
8.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，∠AOB=150∘，点E，F分别在AB，CD上，且FE=2OF，则AF⋅OE的取值范围是( )
A. [−6,152]B. [3−9 32,6]C. [−32,3+9 32]D. [−6,3+9 32]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某运动员在一次射击训练中射靶10次，其命中环数依次为7，5，8，9，6，6，7，7，8，7，则该运动员射击成绩的( )
A. 众数为7B. 中位数为8C. 平均数为7D. 方差为65
10.已知单位向量a，b满足|2a−b|= 3，则以下结论正确的有( )
A. a⋅b=12B. a⊥(a−b)
C. 向量a，b的夹角为30∘D. b在a上的投影向量为12a
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. Aω=12φ
B. 函数f(x)的图象关于直线x=56对称
C. 函数f(x)在[23,1]上单调递增
D. 将函数.f(2xω)的图象向左平移π12个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)为偶函数
12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CD上的动点，则下列结论正确的是( )
A. AD1与B1E所在的直线异面
B. B1E⊥AD1
C. 三棱锥A1−EB1D1的体积为定值
D. 直线AB1与平面ACD1所成角的正弦值为 63
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某学校高中一年级有男生500人，女生400人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，则所抽取的女生人数为______.
14.已知平面向量a=(3,1)，b=(−1,1)，c=(x,−6).若(a+2b)//c，则x=______.
15.复平面内复数z1=8+5i，z2=4+2i对应的两点之间的距离为______.
16.如图，三棱锥A−BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是边长为2的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120∘.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z1=m+i，z2=2+mi，其中i是虚数单位，m∈R.
(1)若z1⋅z2为纯虚数，求m的值；
(2)若z12−2z1+2=0，求z2z1的虚部.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin2x+2cs2x+m在区间[0,π4]上的最大值为1.
(1)求常数m的值；
(2)当x∈R时，求函数f(x)的最小值，以及相应x的集合.
19.(本小题12分)
为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量(单位：kW⋅h)，将全部数据按区间[0,50),[50,100),…，[350,400]分成8组，得到如下的频率分布直方图：
(1)求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围(计算百分位数时，结果四舍五入取整数).
20.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2−c2−12bc=abcsC.
(1)求角A的大小；
(2)若a=2 3，求△ABC周长的取值范围.
21.(本小题12分)
在△ABC中，点P为△ABC所在平面内一点.
(1)若点P在边BC上，且BP=13PC，用AB，AC表示AP；
(2)若点P是△ABC的重心.
①求证：PA+PB+PC=0；
②若35sinA⋅PA+21sinB⋅PB+15sinC⋅PC=0，求cs∠BAC.
22.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90∘，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点.
(1)证明：BC⊥平面PAC；
(2)判断直线CM与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；
(3)求二面角A−MC−B的余弦值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为cs4π3=cs(π+π3)=−csπ3=−12，sin4π3=sin(π+π3)=−sinπ3=− 32，
所以6(cs4π3+isin4π3)=6(−12− 32i)=−3−3 3i.
故选：A.
利用诱导公式求出三角函数值即可求解复数．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题设，8×60%=4.8，故60%分位数为5.
故选：B.
由百分位数的求法求60%分位数即可，
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵α是第二象限角，∴2kπ+π2<α<2kπ+π，k∈z，
∴kπ+π4<α2当k取偶数(如0)时，α2是第一象限角，当k取奇数(如1)时，α2是第三象限角，
故选：D.
用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得α2的取值范围(用不等式表示的)，分别讨论当k取偶数、奇数时，α2所在的象限．
本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．
4.【答案】D
【解析】解：由面面平行的判定定理可知，一个面内有两条相交直线都平行于另一个平面，这两个平面平行．
A中，可能这两个平面相交，所以A不正确；
B中，可能这两个平面相交，所以B不正确；
C中，无数条直线平行时，有可能这两个平面相交，所以C不正确；
D中，任意一条直线，一定有相交直线，所以D正确．
故选：D.
由面面平行的判定定理逐一判断所给命题的真假．
本题考查面面平行的证法，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：sin105∘sin15∘−cs105∘cs15∘=−(cs105∘cs15∘−sin105∘sin15∘)
=−cs(105∘+15∘)=−cs120∘=−cs(180∘−60∘)=cs60∘=12.
故选：B.
利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值．
本题主要考查两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由正弦定理bsinB=csinC得 212=2sinC，所以sinC= 22，
因为0∘当C=45∘时，A=180∘−45∘−30∘=105∘，△ABC为钝角三角形，
当C=135∘时，△ABC为钝角三角形，故D正确．
故选：D.
根据正弦定理求解C=45∘或C=135∘，再分类讨论逐个判断即可．
本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：以AC，AB为邻边作平行四边形ABDC，
则AC//BD且AC=BD，
故∠DBC1即为异面直线AC与BC1所成角或其补角，
因为CC1⊥平面ABC，BC，CD⊂平面ABC，
所以CC1⊥BC，CC1⊥CD，
则BC1= 4+4=2 2,DC1= 4+4=2 2，
在△BDC1中，cs∠DBC1=BD2+BC12−DC122BD⋅BC1=4+8−82×2×2 2= 24，
即异面直线AC与BC1所成角的余弦值为 24.
故选：C.
以AC，AB为邻边作平行四边形ABDC，则AC//BD且AC=BD，从而可得∠DBC即为异面直线AC与BC所成角或其补角，利用余弦定理求解即可．
本题考查了异面直线所成的角的计算问题，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设∠AOE=θ，则0∘≤θ≤150∘，
因为AF=AO+OF=AO+13OE，
所以AF⋅OE=(AO+13OE)⋅OE=AO⋅OE+13OE2
=−OA⋅OE+13OE2
=−3×3×csθ+9=3−9csθ，
又0∘≤θ≤150∘，所以− 32≤csθ≤1，
所以−6≤−9csθ+3≤3+9 32，
所以AF⋅OE的取值范围是[−6,3+9 32].
故选：D.
利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围．
本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：A：根据众数的定义知，该运动员射击成绩出现环数最多的是7环，故A正确；
B：把10个射击成绩从小到大排列为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
所以该运动员射击成绩的中位数为7+72=7，故B错误；
C：该运动员射击成绩的平均数为7+5+8+9+6+6+7+7+8+710=7，故C正确；
D：该运动员射击成绩的方差为(7−7)2+(5−7)2+(8−7)2+(9−7)2+(6−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(7−7)210=65，故D正确．
故选：ACD.
根据众数的定义即可判断A，根据中位数、平均数、方差的公式计算即可判断BCD.
本题考查了众数，平均数，中位数的求解，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由单位向量a，b满足|2a−b|= 3，
得(2a−b)2=4a2−4a⋅b+b2=4−4a⋅b+1=3，
所以a⋅b=12，故A正确；
因为a⋅(a−b)=a2−a⋅b=1−12=12，所以a,(a−b)不垂直，故B错误；
cs⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=12，0∘≤⟨a,b⟩≤180∘，
所以向量a，b的夹角为60∘，故C错误；
b在a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=12a，故D正确．
故选：AD.
将|2a−b|= 3两边平方结合数量积得运算律即可判断A，由a⋅(a−b)=0是否成立即可判断B，根据数量积夹角的求法即可判断C，根据投影向量得定义即可判断D.
本题考查向量数量积的运算，投影向量的概念，属中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2，T4=14×2πω=13−112，∴ω=2π.
再根据五点法作图，可得2π×13+φ=π，求得φ=π3，故f(x)=2sin(2πx+π3).
显然，Aω=12φ成立，故A正确．
令x=56，求得f(x)=0，可得函数f(x)的图象关于点(56,0)对称，故B错误．
在[23,1]上，2πx+π3∈[5π3,7π3]，函数f(x)单调递增，故C正确．
将函数.f(2xω)=2sin(4πωx+π3)的图象向左平移π12个单位后，
得到函数g(x)=2sin(4πωx+ωπ3⋅π+π3)的图象，
显然，g(x)不是偶函数，故D错误．
故选：AC.
由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω值，根据五点法作图求出φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω值，根据五点法作图求出φ，可得函数的解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ABCD
【解析】解：建立空间坐标系如图：设正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，
设E(0,x,0)，(0≤x≤1)，
则AD1=(−1,0,1)，B1E=(−1,x−1,−1)，
则AD1⋅B1E=1−1=0，即AD1⊥B1E，即B1E⊥AD1，故B正确，
由图象知当E在移动过程中，B1E与AD1，不可能平行和相交，即AD1与B1E所在的直线异面，故A正确，
VA1−EB1D1=VE−A1B1D1=13×12A1D1⋅A1B1⋅D1D=16为定值，故C正确，
由正方体的性质知B1D⊥平面ACD1，
即DB1=(1,1,1)是平面ACD1的法向量，
AB1=(0,1,1)，
设直线AB1与平面ACD1所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|DB1⋅AB1||DB1||AB1|=1+1 3× 2=2 6= 63，故D正确．
故选：ABCD.
建立坐标系，设正方体的棱长为1，求出向量坐标，利用坐标系分别进行判断即可．
本题主要考查空间立体几何直线和平面的位置关系的判断，建立坐标系，利用向量法进行证明是解决本题的关键，是中档题．
13.【答案】20
【解析】解：从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，其抽样比例为45500+400=120，
所以抽取的女生人数为400×120=20.
故答案为：20.
先求出抽样比，再乘以样本容量即可得到应抽取的女生人数．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：a=(3,1)，b=(−1,1)，c=(x,−6)，
则a+2b=(1,3)，
∵(a+2b)//c，
∴3x=−6，解得x=−2.
故答案为：−2.
根据向量坐标运算及向量共线的充要条件得到方程，解出即可．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
15.【答案】5
【解析】解：在复平面内，复数z1=8+5i，z2=4+2i，
对应的两点的坐标分别为(8,5)，(4,2)，
则两点间的距离为 (8−4)2+(5−2)2=5.
故答案为：5.
先求出两点坐标，再用两点间距离公式求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】523π
【解析】解：作出底面BCD的外心O1，侧面ACD的外心O2，取CD中点E，
连接AE，因为平面ACD⊥平面BCD，面ACD∩平面BCD=CD，
因为△ACD是边长为2的等边三角形，所以AE⊥CD，
又因为AE⊂平面ACD，所以AE⊥平面BCD，
由球的性质可得OO1⊥平面BCD，所以OO1//O2E，
同理OO2//O1E，所以四边形OO1EO2为平行四边形，
故OO1=O2E=13AE=13× 22−12= 33，
在△BCD中，因为BD=CD=2，∠BDC=120∘，则∠DBC=30∘，
设△BCD的外接圆半径为r，根据正弦定理有DCsin∠DBC=2sin30∘=4=2r，则r=2，
设三棱锥A−BCD外接球的半径为R，则R2=OO12+r2=( 33)2+22=133，
则外接球的表面积为4πR2=523π.
故答案为：523π.
作出相关面的外心，利用面面垂直的性质、勾股定理以及正弦定理即可得到答案．
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得，z1⋅z2=(m+i)(2+mi)=m+(m2+2)i，
因为z1⋅z2为纯虚数，所以m=0且m2+2≠0，解得m=0；
(2)因为z1=m+i，所以(m+i)2−2(m+i)+2=0，即(m−1)2+2(m−1)i=0，
所以m=1，所以z2z1=2+i1+i=(2+i)⋅(1−i)(1+i)⋅(1−i)=32−12i，
所以z2z1的虚部为−12.
【解析】(1)根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；
(2)根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)= 3sin2x+2cs2x+m= 3sin2x+1+cs2x+m=2sin(2x+π6)+m+1，
因为x∈[0,π4]，所以2x+π6∈[π6,2π3]，
所以当2x+π6=π2即x=π6时，函数f(x)取得最大值，
于是有f(x)max=f(π6)=2+m+1=1，解得m=−2；
(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+π6)−1，
当x∈R时，函数f(x)的最小值为−2−1=−3，
此时2x+π6=3π2+2kπ，解得x=2π3+kπ(k∈Z)
即{x|x=2π3+kπ,k∈Z}时f(x)取最小值，
所以所求集合为{x|x=2π3+kπ,k∈Z}.
【解析】(1)先利用二倍角公式及两角和的正弦公式化成标准形式，根据x的范围求函数的最大值，然后让最大值等于1即可求解；
(2)当x∈R时，根据正弦函数的性质求函数的最小值及取到最小值时的x的值．
本题考查了三角函数的最值问题，解题的关键是把函数解析式化成标准形式，要注意x的取值范围．
19.【答案】解：(1)易知50(a+2a+4a+0.006+3a+2a+a+a)=1，
解得a=0.001，
此时样本落在[0,50),[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]的频率
分别为0.05，0.1，0.2，0.3，0.15，0.1，0.05，0.05，
则月用电量的平均值x−=0.05×0+502+0.1×50+1002+0.2×100+1502+0.3×150+2002+0.15×200+2502+0.1×250+3002+0.05×300+3502+0.05×350+4002=182.5；
(2)要使75%的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的75%分位数；
要使20%的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的95%分位数，
因为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65<0.75，0.05+0.1+0.2+0.3+0.15=0.8>0.75，
所以要使75%的居民缴费在第一档，月用电量的75%分位数位于[200,250)区间内，
则200+50×0.75−0.650.8−0.65≈233，
又0.05+0.1+0.2+0.3+0.15+0.1+0.05=0.95，
所以95%对应的用电量为350，
故第一档的范围是[0,233]，第二档的范围是(233,350],第三档的范围是(350,+∞).
【解析】(1)由题意，利用频率之和为1，列出等式即可求出a的值，结合频率分布直方图所给信息，列出等式即可求解；
(2)利用频率分布直方图所给信息以及百分位数的定义，列出等式即可求解．
本题考查频率分布直方图的应用以及百分位数的定义，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：(1)因为a2−c2−12bc=abcsC=ab×a2+b2−c22ab=a2+b2−c22，
所以b2+c2−a2=−bc，所以csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
又0(2)由正弦定理可知：asinA=bsinB=csinC=2 3 32=4，则b=4sinB，c=4sinC，
所以b+c=4sinB+4sinC=4(sinB+sin(π3−B))=4(12sinB+ 32csB)=4sin(B+π3)，
因为0所以2 3所以△ABC周长的取值范围为(4 3,4+2 3].
【解析】(1)利用余弦定理化简计算可得；
(2)由正弦定理边角关系可得b+c=4(12sinB+ 32csB)，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)如图：
过点P作PD//CA交AB于点D，PE//BA交AC于点E，
则四边形ADPE为平行四边形，
所以AP=AD+AE，由BP=13PC，
所以ADAB=CPCB=34，即AD=34AB，
同理AEAC=BPBC=14，即AE=14AC，
所以AP=34AB+14AC；
(2)证明：①如图：
延长AP交BC于点F，
因为点P是△ABC的重心，
所以点F为BC的中点，且AP=2PF，
所以PA=−2PF，即PA+2PF=0，
又PB+PC=2PF，
所以PA+PB+PC=0；
②点P是△ABC的重心时，
由①知PA+PB+PC=0及35sinA⋅PA+21sinB⋅PB+15sinC⋅PC=0，
所以35sinA：21sinB：15sinC=1：1：1，
所以sinA：sinB：sinC=3：5：7，
由正弦定理知a：b：c=sinA：sinB：sinC=3：5：7，
不妨设a=3t，b=5t，c=7t，t>0，
由余弦定理得cs∠BAC=b2+c2−a22bc=25t2+49t2−9t22×5t×7t=1314.
【解析】(1)作辅助线利用向量的平行四边形法则及向量的线性运算即可求解；
(2)①利用重心的概念及向量的线性运算即可证明；②通过向量分解得到sinA：sinB：sinC=3：5：7，利用正弦定理及余弦定理即可求解cs∠BAC.
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】证明：(1)由PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则PA⊥BC，
在直角梯形ABCD中，因为AD=CD=1，∠DAB=90∘，AB=2，
所以AC= 2，BC= 2，
所以AB2=AC2+BC2，则AC⊥BC，
又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC；
解：(2)CM//平面PAD，证明如下：
如图：
取PA中点E，连接ME，DE，由于M是PB的中点，故ME//AB，且ME=1，
由AB//DC，则ME//DC，且ME=DC，
从而四边形CDEM是平行四边形，故CM//DE，
又CM⊄平面PAD，DE⊂平面PAD，所以CM//平面PAD；
(3)作AN⊥CN，垂足为N，连接BN，如图：
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，所以△AMC≌△BMC，可得AN=BN，
则△AMN≌△BMN，故BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角，
由(1)知BC⊥平面PAC，由PC⊂平面PAC，可得BC⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM= 52，
在等腰三角形AMC中，AN⋅MC=AC⋅ CM2−(AC2)2，所以AN= 32× 2 52= 305，
因为AB=2，在△ANB中，由余弦定理得cs∠ANB=AN2+BN2−AB22×AN×BN=−23，
所以二面角的余弦值为−23.
【解析】(1)利用线面垂直的性质及判定定理即可证明；
(2)利用线面平行的判定定理即可证明；
(3)几何法求解．先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角．
本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理，考查了二面角的求法，属于中档题．