New”2022-2023学年陕西省安康市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）

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这是一份New”2022-2023学年陕西省安康市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={y|y=2x,x∈R}，B={x|−1A. (−1,1]B. (0,5)C. (1,5)D. (5,+∞)
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2 5，c=4，csA=23，则b=( )
A. 6B. 4C. 2 3D. 5
3.有三条直线a，b，c，其中a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A. 异面或平行B. 异面或相交C. 异面D. 相交、平行或异面
4.已知幂函数f(x)的图象过点(16,4)，则函数f(x)的图象是( )
A. B.
C. D.
5.设复数z满足z=i+2，则|z|=( )
A. 4B. 2 3C. 5D. 2
6.如图，在球O中，截面圆O1的半径为 3，且OO1=1，则球O的体积是( )
A. 323πB. 163πC. 32πD. 16π
7.如图，在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP=13AB，BQ=13BC.若AB=a，AC=b，则PQ=( )
A. 13a−13bB. 13a+13bC. −13a+13bD. −13a−13b
8.已知tanα=−2，tan(α+β)=17，当sinθ+tanβcsθ(θ∈R)取最大值时，tanθ=( )
A. −3B. 3C. 12D. 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知z1与z2是共轭复数(虚部均不为0)，则( )
A. z12<|z2|2B. z1z2=|z1z2|C. z1+z2∈RD. z1z2∈R
10.设直线l不在平面α内，直线m在平面α内，则下列说法不正确的是( )
A. 直线l与直线m没有公共点B. 直线l与直线m异面
C. 直线l与直线m至多一个公共点D. 直线l与直线m不垂直
11.凤凰古城，位于湖南省湘西土家族苗族自治州的西南部，始建于清康熙四十三年(1704年)，是中国历史文化名城，国家AAAA级景区，与山西平遥古城媲美，享有“北平遥、南凤凰”的美誉.在其母亲河沱江上有一个水车，半径为4米(示意图如图所示)，水车圆心O距离水面2米，已知水车每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水车上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A. 点P第一次到达最高点需要10秒
B. 当水车转动35秒时，点P距离水面2米
C. 当水车转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D. 点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h=4sin(π15t−π6)+2
12.已知函数f(x)=2x,x≤0,lg2x,x>0,则( )
A. f(x)是R上的增函数
B. f(x)的值域为R
C. “x> 2”是“f(x)>12”的充要条件
D. 若关于x的方程f(x)+x−a=0恰有一个实根，则a>1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，若a=4，b=3 3，C=120∘，则S△ABC=__________.
14.如图所示，△ABC中，AC=12，边AC上的高BD=12，则其水平放置的直观图的面积为__________.
15.设向量a，b满足|a|=2，a⋅b=32，|a+b|=2 2，则|b|=__________.
16.在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，sinA=2sinB−sinC，则边b的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=lg2−x2+x.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)在[−1,1]的值域.
18.(本小题12分)
已知平面内的三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1).
(1)若a=λb−μc(λ,μ∈R)，求λ+μ的值;
(2)若向量a+kb与向量2b−c共线，求实数k的值.
19.(本小题12分)
(1)已知复数−1+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，求p+q的值;
(2)已知复数z1=5−10i，z2=3+4i，1z=1z1+1z2，求z.
20.(本小题12分)
如图，四棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高.若VM=4，AB=4，VC=5，求锥体的体积.
(1)求四棱锥的表面积;
(2)求四棱锥的体积.
21.(本小题12分)
如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2,x∈R)的部分图象.
(1)求函数解析式;
(2)已知f(α)≥ 32，α∈[0,π)，求α的取值范围;
(3)若方程f(x)=m在[0,3π4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
22.(本小题12分)
已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且 3asinC=ccsA+c.
(1)求角A的大小;
(2)若c>a，求m=a+bc的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集及其运算，指数函数的值域，属于基础题.
化简集合A，利用交集的概念，即可求出结果.
【解答】
解：因为集合A={y|y=2x,x∈R}=0,+∞，B={x|−1所以A∩B=0,5.
故选B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题．
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc，利用已知整理可得3b2−16b−12=0，从而解得b的值．
【解答】
解：∵a=2 5，c=4，csA=23，
∴由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc=b2+16−202×b×4=23，
整理可得：3b2−16b−12=0，
∴解得b=6或−23(舍去).
故选A.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于基础题.
根据a和b是异面直线，b和c是异面直线，可以把这三条直线放在长方体中进行研究，即可得到答案．
【解答】
解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，
则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线，
而a和c相交；
②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，
此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，
此时a和c异面；
故选：D.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查简单的幂函数的图象与性质，属于基础题.
设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的图象过点(16,4)，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【解答】
解：设幂函数的解析式为y=xα，
∵幂函数y=f(x)的图象过点(16,4)，
∴4=16α，解得α=12，
∴f(x)= x，其定义域为[0,+∞)，在第一象限为增函数，
当05.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的模的求解，属于基础题.
利用复数的模长公式直接求即可.
【解答】
解：因为z=i+2，
所以z= 12+22= 5.
故选C.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查球的体积，球的截面问题，属于基础题.
设球O的半径为R，则R= 12+ 32=2，求出球半径，再由球的体积公式即可求解.
【解答】
解：设球O的半径为R，
由题意可得R= 12+ 32=2，
所以球O的体积是43πR3=323π.
故选A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量的线性运算以及平面向量基本定理，属于基础题.
通过平面向量的线性运算，根据PQ=PB+BQ=23AB+13BC，再用BC=AC−AB，代入计算即可.
【解答】
解：由平面向量的运算法则，可得
PQ=PB+BQ=23AB+13BC
=23AB+13(AC−AB)
=13AB+13AC
=13a+13b.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查两角和的正切公式，辅助角公式，及三角函数最值，诱导公式，属于中档题.
利用两角和的正切公式求tanβ=3，利用辅助角公式得 sinθ+tanβcsθ=sin⁡θ+3cs⁡θ= 10sin⁡(θ+φ)(θ∈R),此时tan⁡φ=3，再利用诱导公式计算 tanθ=tanπ2+2kπ−φ=1tanφ，即可.
【解答】
解：由题意tanα=−2，tan(α+β)=17，
所以−2+tanβ1+2tanβ=17，解得tanβ=3，
则 sinθ+tanβcsθ=sin⁡θ+3cs⁡θ= 10sin⁡(θ+φ)(θ∈R),此时tan⁡φ=3，
当sinθ+tanβcsθ(θ∈R)取最大值时，θ+φ=π2+2kπ,k∈Z，
∴ tanθ=tanπ2+2kπ−φ=1tanφ，
即tanθ =13，
故选D.
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，还考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
由z1与z2是共轭复数设z1=a+bi，z2=a−bi(a,b∈R,b≠0)，利用复数的运算法则及其相关概念逐一判断各选项即可．
【解答】解：∵z1与z2是共轭复数(虚部均不为0)，
∴设z1=a+bi，z2=a−bi(a,b∈R,b≠0).
对于A，∵z12=(a+bi)2=a2−b2+2abi，复数不能比较大小，故A错误；
对于B，z1z2=|z1z2|=a2+b2，故B正确；
对于C，z1+z2=a+bi+a−bi=2a∈R，故C正确；
对于D，z1z2=a+bia−bi=(a+bi)2(a+bi)(a−bi)=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i不一定是实数，故D错误．
故选：BC.
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了空间中直线与直线，直线与平面之间的位置关系，属于基础题.
利用空间中直线与直线的性质以及直线与平面的性质进行判断选项即可.
【解答】对于A，直线l不在平面α内，直线m在平面α内，但是，直线l与m可以相交，所以A错；
对于B，直线l不在平面α内，直线m在平面α内，但是，直线l与m可以相交也可以平行，所以B错；
对于C，直线l不在平面α内，直线m在平面α内，则直线l与直线m可以平行，相交或者异面，不可能重合，所以，直线l与直线m至多一个公共点，C正确；
对于D，直线l不在平面α内，直线m在平面α内，则当直线l垂直于平面α时，直线l与直线m垂直，所以D错误
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查匀速圆周运动的数学模型、由部分图象求三角函数解析式，属于中档题．
设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为h=Asin(ωt+φ)+B，根据题意，求出A，ω，φ，B的值，对照四个选项一一验证即可．
【解答】
解：设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为：
h=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)，
由题意得：hmax=A+B=6hmin=−A+B=−2T=2πω=30h(0)=Asin(ω×0+φ)+B=0，解得：A=4B=2ω=π15φ=−π6，
∴h=4sin(π15t−π6)+2，故D正确；
对于A，令h=6，代入h=4sin(π15t−π6)+2，
即6=4sin(π15t−π6)+2，即sin(π15t−π6)=1，解得：t=10，故A正确；
对于B，令t=35，代入h=4sin(π15t−π6)+2，解得：h=4，故B错误；
对于C，令t=25，代入h=4sin(π15t−π6)+2，解得：h=−2，故C正确．
故选ACD.
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性及值域，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．
作出f(x)的图象，再逐一判断即可．
【解答】
解：作出f(x)的图象如图所示：
A.f(x)在(−∞,0]和(0,+∞)上单调递增，但在R上不是增函数，故A错；
B.由图象可知f(x)的值域为R，故B正确；
C.由x> 2可得f(x)>lg2 2=12，所以充分性满足，
由f(x)>12，可得x≤0且2x>12，
或x>0且lg2x>12，
解得−1 2，必要性不满足，故C错误；
D.令f(x)+x−a=0，则f(x)=−x+a，要使两个图象y=f(x)与y=−x+a只有一个交点，则必有a>1，故D正确.
故选BD.
13.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查三角形面积公式，属于基础题.
根据题意，直接代入三角形面积公式，即可求出结果.
【解答】
解：因为a=4，b=3 3，C=120∘，
所以S△ABC=12absinC=12×4×3 3× 32=9.
故答案为9.
14.【答案】18 2
【解析】【分析】
本题考查投影与斜二测画法，属于基础题.
根据题意画出△ABC的直观图，求出直观图的底和高，即可求出结果.
【解答】
解：画x′轴，y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′=45∘，
作△ABC的直观图，如图所示：
则其底边A′C′=AC=12，B′D′=12BD=6，
故△A′B′C′的高为 22B′D′=3 2，
∴S△A′B′C′=12×12×3 2=18 2，
故直观图的面积为18 2.
故答案为18 2.
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的模，属于基础题.
对式子|a+b|=2 2两边平方，即可求出结果.
【解答】
解：∵|a+b|=2 2，|a|=2，a⋅b=32，
∴|a+b|2=|a|2+|b|2+2a⋅b
=4+3+|b|2=8，
∴|b|2=1，
∴|b|=1.
故答案为1.
16.【答案】(83,165)∪(163,8)
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及变形、利用余弦定理解三角形，属于中档题.
利用正弦定理化简sinA=2sinB−sinC，得出a=2b−c，再分A为钝角，C为钝角两种情况，利用余弦定理，即可求出结果.
【解答】
解：由sinA=2sinB−sinC，得a=2b−c，即
2b=a+c，c=2b−a=2b−4，
故B不可能为钝角.
①当A为钝角，则b2+c2a,即
b2+(2b−4)2<16,b+2b−4>4,
解得83②当C为钝角，则a2+b2c,即
16+b2<(2b−4)2,4+b>2b−4,
解得163综上，b的取值范围是(83,165)∪(163,8).
故答案为：(83,165)∪(163,8).
17.【答案】解：(1)由2−x2+x>0，可得−2则f(x)的定义域为(−2,2)，关于原点对称，
f(−x)=lg2+x2−x=−lg2−x2+x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)由f(x)=lg2−x2+x=lg(−1+4x+2)，
可得t=4x+2在[−1,1]上为减函数，
f(x)在[−1,1]上也为减函数，
所以f(x)的最小值为f(1)=−lg3，最大值为f(−1)=lg3，
所以f(x)的值域为[−lg3,lg3].
【解析】本题考查函数的奇偶性和值域的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
(1)首先求得f(x)的定义域，再计算f(−x)，与f(x)比较，可得结论；
(2)首先判断f(x)在[−1,1]上的单调性，再由对数的运算性质，可得值域．
18.【答案】解：(1)λb=(−λ,2λ)，μc=(4μ,μ)，λb−μc=(−λ−4μ,2λ−μ)，
因为a=λb−μc，
所以−λ−4μ=3,2λ−μ=2,
解得λ=59,μ=−89,
所以λ+μ=−39.
(2)a+kb=(3−k,2+2k)，2b−c=(−6,3)，
因为a+kb与2b−c共线，
所以3(3−k)=−6(2+2k)，
解得k=−73.
【解析】本题考查向量的坐标运算，考查向量共线的条件，属于基础题.
(1)由向量的坐标运算结合已知条件可得关于λ,μ的方程组，解方程组即可；
(2)分别计算向量a+kb与2b−c的坐标，再由两向量共线的条件，求得k的值.
19.【答案】解：(1)因为3i−1是方程x2+px+q=0的一个根，
∴(3i−1)2+p3i−1+q=0，
∴−8−p+q+(3p−6)i=0，
∴ −8−p+q=0 3p−6=0，
∴ p=2 q=10，
∴p+q=12；
(2)因为z1=5−10i，z2=3+4i，
所以1z=1z1+1z2=15−10i+13+4i=1+2i25+3−4i25=4−2i25，
所以z=254−2i=254+2i42+22=5+52i，
所以z=5−52i.

【解析】本题考查复数范围内方程的根的问题，复数的四则运算，属于基础题.
(1)将x=3i−1代入方程x2+px+q=0求解即可;
(2)先求1z=1z1+1z2=4−2i25，由共轭复数定义求解即可.
20.【答案】解：(1)∵VM是棱锥的高，
∴VM⊥MC，
在Rt△VMC中，MC= VC2−VM2= 52−42=3，
∴AC=2MC=6，
在Rt△ABC中，BC= AC2−AB2= 62−42=2 5，
∴S底=AB⋅BC=4×2 5=8 5，
△VBC的高为 52− 52=2 5，
△VAB的高为 52−22= 21，
∴四棱锥的侧面积为：
2S△VBC+2S△VAB=2×12×2 5×2 5+2×12×4× 21=20+4 21，
∴四棱锥的表面积为20+4 21+8 5；
(2)V锥=13S底h=13×8 5×4=32 53，
∴棱锥的体积为32 53 .
【解析】本题考查棱锥的表面积和体积的求法，基本知识的考查，属于基础题．
(1)根据题意，求出BC的值和△VBC、△VAB的高，四个侧面面积加上底面面积，即可求出结果；
(2)直接利用棱锥的体积公式，即可求出结果.
21.【答案】解：(1)由题意可知，A=1，T4=7π12−π3=π4，∴T=π，ω=2.
∵函数过点(7π12,−1)，∴sin(7π6+φ)=−1，
得7π6+φ=2kπ+3π2,k∈Z，
∴φ=π3+2kπ，k∈Z，又|φ|≤π2，
∴φ=π3，
∴f(x)=sin(2x+π3).
(2)∵f(α)≥ 32，∴π3+2kπ⩽2α+π3⩽2π3+2kπ,k∈Z，
∴kπ≤α≤π6+kπ，k∈Z.
∵α∈[0,π),∴0≤α≤π6,即α的取值范围是0,π6；
(3)由x∈0,3π4，得2x+π3∈π3,11π6，
令t=2x+π3∈π3,11π6，画出y=sint，t∈π3,11π6的图象如图所示：
由图可知，若f(x)=m有两个零点，则−1【解析】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数零点、方程的根的个数，属于中档题.
(1)由图象分别求出A,T的值，由函数过点(7π12,−1)，sin(7π6+φ)=−1，结合|φ|≤π2求出φ的值；
(2)令π3+2kπ⩽2α+π3⩽2π3+2kπ,k∈Z，结合α∈[0,π)即可求出α的范围；
(3)令t=2x+π3∈π3,11π6，画出y=sint，t∈π3,11π6的图象，数形结合即可求m的范围.
22.【答案】解：(1)因为 3asinC=ccsA+c，
所以由正弦定理，得：
3sinAsinC=sinCcsA+sinC，
∵C为三角形的内角，
∴sinC≠0，
∴ 3sinA−csA=1，
整理得：2sin(A−π6)=1，即sin(A−π6)=12，
∴A−π6=π6或A−π6=5π6，
解得：A=π3或A=π(舍去)，
则A=π3;
(2)因为m=a+bc=sinA+sinBsinC
= 32+sin⁡(23π−C)sinC
= 32+ 32csC+12sinCsinC
= 32(1+csC)sinC+12
= 3cs2C22sinC2csC2+12
= 32tanC2+12，
因为c>a，则π3所以π6所以 33所以 33<1tanC2< 3，
所以1所以m的取值范围为1,2.
【解析】本题考查正切函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及其应用、正弦定理，属于中档题.
(1)利用正弦定理化简已知式子得出sin(A−π6)=12，即可求出结果；
(2)利用正弦定理和三角恒等变换化简m为m=a+bc=sinA+sinBsinC= 32tanC2+12，利用正切函数的性质，即可求出结果.