2022-2023学年云南省楚雄州高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年云南省楚雄州高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|1−x>0}，B={x|x2<9}，则A∪B=( )
A. (−3,1)B. (−∞,1)C. (1,3)D. (−∞,3)
2.复数z=52+i+4i的虚部为( )
A. 5B. 3C. 5iD. 3i
3.已知单位向量a,b的夹角为θ，且csθ=−14，则|a−2b|=( )
A. 6B. 6C. 2D. 4
4.已知样本数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3，2x6+3的平均数为9，则另一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，2，4的平均数为( )
A. 247B. 98C. 4D. 3
5.若x0是方程2x=12−3x的解，则x0∈( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，M分别是DD1，AB，BB1的中点，则异面直线A1M与PQ所成角的余弦值为( )
A. 155
B. 3010
C. 56
D. 2 53
7.“2a2−3a<0”是“对任意x∈(−1,12),x2+ax−1<0恒成立”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶E为观测点，已知A，C，D在水平地面上，超然楼AB和楼房DE都垂直于地面.已知DE=14m，∠ACD=45∘，∠ADC=60∘，在C点处测得E点的仰角为15∘，在E点处测得B点的仰角为45∘，则超然楼的高度AB=( )
A. (12+28 3)mB. (32+14 3)mC. (14+28 3)mD. (28+14 3)m
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足2(z+z−)+3(z−z−)=4−6i，则( )
A. z=1+iB. z2是纯虚数
C. |z|=2D. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
10.某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”.甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则( )
A. 事件A和事件B是对立事件B. 事件A和事件C是对立事件
C. P(B+C)=P(C)D. P(BC)=P(C)
11.下列式子计算正确的是( )
A. cs(−π2+2)=−sin2
B. sin2=2tan11+tan21
C. cs70∘+cs50∘=cs10∘
D. tan110∘+tan10∘+ 3= 3tan110∘tan10∘
12.在正三棱锥P−ABC中，PA与底面ABC所成角的余弦值为2 77,AB=2 3，则( )
A. PC⊥AB
B. 三棱锥P−ABC的体积为3 3
C. 二面角P−AB−C的大小为π3
D. 三棱锥P−ABC的外接球的表面积为49π3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某游客计划从海口市、三亚市、普洱市、昆明市、丽江市这5个地区中随机选择2个地区去旅行，其中海口市、三亚市属于海南省，普洱市、昆明市、丽江市属于云南省，则这2个地区在同一省的概率为______.
14.若一个样本1，3，5，7，m的中位数是4，则这个样本的方差为______，这个样本的60%分位数为______.
15.已知函数y=cs2ωx(ω>0)在[−π4,π6]上的最小值为14，则ω的值为______.
16.已知△ABC外接圆的圆心为O，P是△ABC边上一动点，若CA=2,CB= 7,A=π3，则AB⋅OP的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生550名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩(成绩都在[50,100]内)分为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值以及女生被抽取的人数；
(2)估计这100人比赛成绩的85%分位数(小数点后保留2位).
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)在区间[14,16]上的最大值是2.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)=lg2(x2−ax+14)的定义域为R，求不等式a1−3m>4中m的取值范围.
19.(本小题12分)
已知向量a=( 3sinx,csx),b=(csx,csx)，设函数f(x)=a⋅b.
(1)求f(x)在[0,π2]上的单调增区间；
(2)若对任意x∈[0,π2],|f(x)−1|≤m恒成立，求m的取值范围.
20.(本小题12分)
袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.
(1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
(2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件A={第一次取到的是红球}，事件B={第二次取到了标记数字1的球}，求P(A)，P(B)，并判断事件A与事件B是否相互独立.
21.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，且A1C1⊥B1C.
(1)证明：AA1=A1C.
(2)若AC=AA1=2，求点C到平面A1ABB1的距离.
22.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,asinB+b= 3bcsA.
(1)求A；
(2)若∠ABC>π2，过B作BD垂直于AB交AC于点D，E为BC上一点，且BE= 3,DE=1，求AE的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由1−x>0，得x<1，所以A=(−∞,1)，
由x2<9，得−3所以A∪B=(−∞,3).
故选：D.
先解不等式求出两集合，再求两集合的并集即可．
本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由复数z=52+i+4i=5(2−i)5+4i=2+3i，则复数z的虚部为3.
故选：B.
根据复数的运算法则，化简得到z=2+3i，结合复数的概念，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：|a−2b|2=a2−4a⋅b+4b2=1−4×1×1×(−14)+4=6，即|a−2b|= 6.
故选：A.
根据模长公式即可代入求值．
本题主要考查平面向量的数量积及其运算，属中档题．
4.【答案】D
【解析】解：已知样本数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3，2x6+3的平均数为9，
此时(2x1+3)+(2x2+3)+...+(2x6+3)6=9，
可得2x1+3+2x2+3+2x3+3+2x4+3+2x5+3+2x6+3=54，
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=18，
则所求数据的平均数为18+2+48=3.
故选：D.
由题意，根据平均数的公式进行求解即可．
本题考查平均数的应用，考查了运算能力．
5.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=2x+3x−12在定义上单调递增，
又f(2)=22+6−12=−2<0，f(3)=23+9−12=5>0，
所以函数f(x)的零点所在区间是(2,3)，
即x0∈(2,3).
故选：C.
先判断函数f(x)的单调性，再利用零点存在性原理即可求出解的区间．
本题考查了函数的单调性及零点存在定理，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：令AB=2，连接PC、QC、A1P、MC，
因为M、P为BB1、DD1的中点，易知A1P=CM且A1P//CM，
所以四边形A1PCM为平行四边形，
所以A1M//PC，
所以∠QPC或其补角为异面直线A1M与PQ所成的角，
在△PQC中，PC= 12+22= 5，QC= 12+22= 5，PQ= 12+22+12= 6，
所以cs∠QPC=5+6−52× 5× 6= 3010，
所以异面直线A1M与PQ所成角的余弦值为 3010.
故选：B.
连接PC、QC、A1P、MC，即可得到A1M//PC，从而得到∠QPC或其补角为异面直线A1M与PQ所成的角，利用余弦定理求出cs∠QPC，即可得解．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由不等式2a2−3a<0，可得0又由x2+ax−1<0在(−1,12)上恒成立，可得1−a−1≤014+a2−1≤0，解得0≤a≤32，
所以“2a2−3a<0”是“对任意x∈(−1,12),x2+ax−1<0恒成立”的充分不必要条件．
故选：A.
根据不等式的解法和二次函数的性质，分别求得实数a的取值范围，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
本题考查了充分必要条件的判断，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：过E作EF⊥AB，交AB于点F，
因为在E点处测得B点的仰角为45∘，可得△BFE为等腰直角三角形，所以BF=EF，
因为∠ECD=15∘，所以CD=EDtan15∘=14tan15∘，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin45∘=CDsin75∘=14tan15∘cs15∘=14sin15∘，
又由sin15∘=sin(45∘−30∘)=sin45∘cs30∘−cs45∘sin30∘= 6− 24，
所以AD=14×4× 22 6− 2=14( 3+1)m，
则AB=BF+ED=14( 3+1)+14=(28+14 3)m.
故选：D.
过E作EF⊥AB，得到BF=EF，在△ACD中，由正弦定理得到ADsin45∘=14sin15∘，进而求得AD的长．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解实际问题中的应用，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：设z=a+bi，a，b∈R，则z−=a−bi，则2(z+z−)+3(z−z−)=4a+6bi=4−6i，
所以4a=46b=−6，解得a=1，b=−1，因此z=1−i，A错误；
z2=(1−i)2=−2i为纯虚数，B正确；
|z|= 2，C错误；
z=1−i，其在复平面内对应的点为(1,−1)，在第四象限，D正确，
故选：BD.
设z=a+bi，a，b∈R，根据复数的加减运算以及复数的相等求得a，b，可得z，结合复数的乘方以及模的计算和几何意义，即可判断答案．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，
即事件A和事件B不是对立事件，A错误；
事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，
则事件A和事件C是互斥且和事件为全集，事件A和事件C是对立事件，B正确；
又因为B⊆C，所以P(B+C)=P(C)，C选项正确；
P(BC)=P(B)，D选项错误．
故选：BC.
根据对立事件判断A，B选项；根据事件的包含关系判断C，D选项．
本题考查互斥事件、对立事件、事件的包含关系等基础知识，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由三角函数的诱导公式，可得cs(−π2+2)=sin2，故A错误；
对于B，由sin2=2sin1cs1=2sin1cs1sin21+cs21=2tan11+tan21，故B正确；
对于C，由cs70∘+cs50∘=cs(60∘+10∘)+cs(60∘−10∘)=cs60∘cs10∘−sin60∘sin10∘+cs60∘cs10∘+sin60∘sin10∘
=2cs60∘cs10∘=cs10∘，故C正确；
对于D，因为tan120∘=tan(110∘+10∘)=tan110∘+tan10∘1−tan110∘tan10∘=− 3，
所以tan110∘+tan10∘= 3tan110∘tan10∘− 3，
即tan110∘+tan10∘+ 3= 3tan110∘tan10∘，故D正确．
故选：BCD.
根据三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式，逐项判定，即可求解．
本题考查三角函数的诱导公式和三角恒等变换，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由题意，作正三棱锥P−ABC，取AB的中点D，连接PD，CD，
取等边△ABC的中心O，连接PO，AO，如图所示．
在正三棱锥P−ABC中，因为D为AB的中点，所以PD⊥AB，
在等边△ABC中，因为D为AB的中点，所以CD⊥AB.
又PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PDC，
所以AB⊥平面PDC，因为PC⊂平面PDC，所以PC⊥AB，所以A正确，
因为三棱锥P−ABC为正三棱锥，等边△ABC的中心为O，所以PO⊥平面ABC，
所以∠PAO为PA与底面ABC所成的角，
则cs∠PAO=AOAP=2 77.
因为AB=2 3，所以AO=23× 32×2 3=2，OD=13× 32×2 3=1，所以2AP=2 77，得AP= 7，
所以OP= AP2−AO2= 7−4= 3，
所以三棱锥P−ABC的体积为13× 34×(2 3)2× 3=3，所以B错误，
因为PD⊥AB，CD⊥AB，所以二面角P−AB−C的平面角为∠PDC，
所以tan∠PDC=PODO= 3，因为∠PDC为锐角，所以∠PDC=π3，所以C正确，
设正三棱锥P−ABC的外接球的半径为r，则(r−PO)2+CO2=r2，可得(r− 3)2+4=r2，解得r=72 3，
故正三棱锥P−ABC的外接球的表面积S=4πr2=49π3，故D正确．
故选：ACD.
取AB的中点D，连接PD，CD，取等边△ABC的中心O，连接PO，AO，然后根据正三棱锥的性质结合已知条件逐个分析判断即可．
本题主要考查了三棱锥的体积计算、几何体的外接球问题以及空间角的有关计算，属于中档题．
13.【答案】25
【解析】解：设海口市、三亚市、普洱市、昆明市、丽江市分别记为A，B，1，2，3，
从5个地区中随机选择2个地区共有{(AB),(A1),(A2),(A3),(B1),(B2),(B3),(12),(13),(23)}共有10种情况，
其中2个地区在同一省的情况有{(AB),(12),(13),(23)}共有4种，所以所求的概率为25.
故答案为：25.
列举所有基本事件数，即可由古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
14.【答案】492
【解析】解：若样本1，3，5，7，m的中位数是4，
此时m=4，
所以该样本的平均数x−=1+3+4+5+75=4，
方差s2=(1−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(7−4)25=4；
又5×60%=3，
所以这个样本的60%分位数为4+52=92.
故答案为：4；92.
根据题意，结合中位数的概念，得到m=4，求得样本的平均数为x−=4，利用方差的公式，即可求解．
本题考查中位数和百分位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
15.【答案】43
【解析】解：y=cs2ωx=12(1+cs2ωx)，
又x∈[−π4,π6]，
所以2ωx∈[−πω2,πω3].
因为y=12(1+cs2ωx)取得最小值14，
所以y=cs2ωx取得最小值−12，
因为2ωx∈[−πω2,πω3]，ω>0，
所以πω3≤2π3−πω2=−2π3ω>0，或−πω2≥−2π3πω3=2π3ω>0，
解得ω=43.
故答案为：43.
对函数化简得y=12(1+cs2ωx)，由x的范围，求得2ωx的范围，则由题意可知y=cs2ωx在2ωx∈[−πω2,πω3]取得最小值−12，从而可得关于ω的不等式组，进而可求得结果．
本题考查了余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
16.【答案】92
【解析】解：在△ABC中，由余弦定理得CB2=CA2+AB2−2CA⋅ABcsA，
即7=4+AB2−2×2⋅AB×12，即AB2−2AB−3=0，解得AB=3或AB=−1(舍去)，
分别过点O，P作OM⊥AB，PN⊥AB，即向量OP在向量AB方向上的投影为MN，
因为O为△ABC的外心，所以M为AB中点，
由向量的数量积公式以及投影向量的定义知，当点P运动到B点时，AB⋅OP取得最大值，
其中最大值为|AB|⋅|MB|=12|AB|2=92.
故答案为：92.
在△ABC中，由余弦定理求得AB=3，过点O，P作OM⊥AB，即向量OP在向量AB方向上的投影为MN，结合向量的数量积公式以及投影向量的定义，得到当点P运动到B点时，AB⋅OP取得最大值，即可求解．
本题考查平面向量的数量积与投影，属于中档题．
17.【答案】(1)解：由频率分布直方图的性质，可得(0.010+0.020+a+0.030+0.005)×10=1，
解得a=0.035，其中女生被抽取的人数为1000−5501000×100=45.
(2)解：由频率分布直方图可得：
(0.010+0.020+0.035)×10=0.65<0.85，(0.010+0.020+0.035+0.030)×10=0.95>0.85，
所以85%分位数位于区间[80,90),则85%分位数为80+0.85−×10≈86.67.
【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，列出方程求得a的值，结合分层抽样的分法，求得女生被抽取的人数；
(2)根据频率分布直方图的百分位数的计算方法，即可求解．
本题考查频率、频数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)当0因此当x=14时，函数f(x)取得最大值2，即lga14=2，因此a=12.
当a>1时，函数f(x)在区间[14,16]上是增函数，
当x=16时，函数f(x)取得最大值2，即lga16=2，因此a=4.
故a=12或a=4；
(2)因为g(x)=lg2(x2−ax+14)的定义域为R，
所以Δ=a2−1<0，则−1代入不等式a1−3m>4，得(12)1−3m>(12)−2，
则1−3m<−2，解得m>1，因此m的取值范围是(1,+∞).
【解析】(1)分01两种情况利用对数函数单调性列方程可求出a的值；
(2)由函数的定义域为R，可得Δ=a2−1<0，再结合(1)可求出a，然后利用指数函数的单调性可求出m的取值范围．
本题主要考查函数的最值及其几何意义，属于中档题．
19.【答案】解：(1)已知向量a=( 3sinx,csx),b=(csx,csx)，
则f(x)=a⋅b= 3sinxcsx+cs2x= 32sin2x+12cs2x+12=sin(2x+π6)+12，
当x∈[0,π2]时，
则2x+π6∈[π6,7π6].
由π6≤2x+π6≤π2，
可得0≤x≤π6，
故函数f(x)在[0,π2]上的单调增区间为[0,π6].
(2)当x∈[0,π2]时，则2x+π6∈[π6,7π6]，
故当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f(x)的最大值为32，
当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数f(x)的最小值为0，
所以|f(x)−1|在[0,π2]上的最大值为1，
由于对任意x∈[0,π2],|f(x)−1|≤m恒成立，
故m≥1，
故m的取值范围为[1,+∞).
【解析】(1)根据数量积的坐标表示并结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简求得f(x)的表达式，根据x的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得答案；
(2)根据x的范围，求得f(x)的最值，继而求得|f(x)−1|的最大值，结合不等式恒成立，即得答案．
本题考查了平面向量数量积的坐标表示，重点考查了二倍角公式、两角和的正弦公式及三角函数的性质，属中档题．
20.【答案】解：(1)第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3的概率P1=29×29+49×19=881，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3的概率P2=29×29+19×49=881，
则所求的概率为881+881=1681；
(2)“第一次取到的是红球”的概率P(A)=69=23，
“第二次取到了标记数字1的球”的概率P(B)=69×38+39×28=13，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”的概率P(AB)=29×28+49×38=29，
因为P(AB)=P(A)P(B)成立，所以事件A与事件B相互独立．
【解析】(1)在有放回抽样的条件下，根据古典概型概率公式，分两种情况进行计算；
(2)分别找出事件A，B的概率，根据相互独立事件的定义可判断A，B是否独立．
本题考查古典概型的概率公式和相互独立事件的判断，属基础题．
21.【答案】解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，取AC的中点D，连接A1D，取A1C1的中点E，连接B1E，CE，
则A1E//DC且A1E=DC，四边形A1DCE为平行四边形，有A1D//CE，
由A1B1=B1C1，E为A1C1的中点，得A1C1⊥B1E，又A1C1⊥B1C，B1C∩B1E=B1，B1C，B1E⊂平面CB1E，
于是A1C1⊥平面CB1E，又AC//A1C1，
因此AC⊥平面CB1E，又CE⊂平面CB1E，即有AC⊥CE.
而A1D//CE，则AC⊥A1D，又D为AC的中点，
所以AA1=A1C.
(2)连接BD，A1B，由△ABC为等边三角形，得BD⊥AC，BD= 3，
因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，
则BD⊥平面AA1C1C，
又A1D⊂平面AA1C1C，即有BD⊥A1D，由(1)知A1D= 3，于是A1B= 6，
S△A1AB=12× 6× 22−( 62)2= 152，S△ABC=12AB2sin60∘= 34×22= 3，
设点C到平面A1ABB1的距离为h，由VC−A1AB=VA1−ABC，得13S△A1AB×h=13S△ABC×A1D，
即 152h= 3× 3，解得h=2 155，
所以点C到平面A1ABB1的距离为2 155.
【解析】(1)取AC，A1C1的中点D，E，利用线面垂直的判定及性质证明AC⊥A1D即可推理作答．
(2)由已知结合面面垂直的性质，证明BD⊥A1D，再利用等体积法求解作答．
本题考查线面垂直的判定及性质、点到平面的距离相关知识，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为asinB+b= 3bcsA，
所以sinAsinB+sinB= 3sinBcsA，
又sinB≠0，所以sinA+1= 3csA，
因为A∈(0,π)，sinA>0，所以csA>0，
又sin2A+cs2A=1，解得sinA=12,csA= 32，
因为A∈(0,π)，所以A=π6.
(2)
由已知可设BD=x,AB= 3x,∠DEB=θ，
在△BDE中，则由余弦定理得BD2=DE2+BE2−2DE⋅BE⋅csθ，
即x2=1+3−2 3csθ=4−2 3csθ，
由正弦定理得DEsin∠DBE=BDsinθ，所以xsin∠DBE=sinθ.
在△ABE中，由余弦定理，得AE2=AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cs∠ABE，
AE2=3x2+3−2 3× 3xcs(π2+∠DBE)=3x2+3+6xsin∠DBE=3x2+3+6sinθ=3(4−2 3csθ)+3+6sinθ=15+6sinθ−6 3csθ=15+12sin(θ−π3)≤27，
当θ=π2+π3=5π6时，AE的长度取得最大值3 3.
【解析】(1)由正弦定理边化角，再根据同角基本关系求解；
(2)由已知可设BD=x,AB= 3x,∠DEB=θ，在△BDE中，由余弦定理、正弦定理得x与θ的关系，再在△ABE中，由余弦定理将AE表示为θ的函数，最后由三角函数的性质可解．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．