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2022-2023学年贵州省六盘水市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）
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这是一份2022-2023学年贵州省六盘水市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={2,3,4}，B={2,3,5,6}，则B∩(∁UA)=( )
A. {2,3}B. {1,2,3,5,6}C. {2,3,4,5,6}D. {5,6}
2.设复数z=i(1+2i)(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知函数f(x)=tanx，则“f(x)=0”是“x=π”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.已知向量a=(1,−2),b=(λ,1)，且a//b，则λ=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
5.已知csα=35，0<α<π2，则sin(3π+α)的值为( )
A. −45B. −35C. 35D. 45
6.乌蒙铁塔位于贵州省六盘水市人民广场中央，由铁塔主体、铁塔基座、八角形平台、十二生肖书法雕塑铭文说明、十二生肖书法雕塑说明等五部分组成，塔体上以四种书体、384个文字集中概述凉都的变迁，被誉为凉都六盘水的标志性建筑之一.某学生想要测量塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得∠DAB=75∘，∠ABD=45∘，AB=62米，在点A处测得塔顶C的仰角为30∘，则塔高CD为米.( )
A. 62(3− 3)3B. 62 33C. 62 23D. 62 63
7.设a=0.70.8，b=0.80.7，c=lg0.80.7，则a，b，c的大小关系( )
A. b>c>aB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845)( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题为真命题的是( )
A. ∀x∈[0,π]，sinx≥0B. ∃x∈R，(12)x<1
C. 若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0D. 若a≠0，则1a+a≥2
10.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如表：
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为x−，方差为s2，则( )
A. x−=8.7B. x−=8.8C. s2=3.36D. s2=3.56
11.把函数f(x)=csx的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图像，下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A. 最小正周期为πB. 在区间[−π3,π6]上的最大值为12
C. 图像的一个对称中心为(π12,0)D. 图像的一条对称轴为直线x=−π6
12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，DD1上的动点，且DN=B1M，则下列结论中正确的是( )
A. A，M，C1，N四点共面
B. AC⊥MN
C. 三棱锥A1−C1MN的体积与点M的位置有关
D. 直线AD与直线MN所成角正切值的最大值为 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.lg20+lg5+2lg23=______.
14.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人(用分层抽样的方法)，则北面共有__________人.
15.已知OA=(4,3)，OB=(2,10)，则AB在OA方向上的投影向量坐标为______.
16.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2B′C′=2，A′B′=2，则CD=______；平面图形 ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(π3)的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
18.(本小题12分)
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民用水费用实施阶梯式水价制度，即确定月均用水量标准m，月均用水量不超过m的部分按平价收费，超过m的部分按议价收费.为了确定一个较为合理的用水标准，某政府部门通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据(单位：t)，并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值及估计该市居民用户月均用水量的众数；
(2)为使该市75%的居民用户不受议价收费的影响，请确定m的值(小数点后保留一位有效数字).
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且面积为S，若4S= 3(a2−b2−c2).
(1)求A；
(2)若AB=4，AC=2，且BD=2DC，求AB⋅AD.⋅
20.(本小题12分)
在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，在三棱锥P−ABC中，∠ACB为直角，PA⊥底面ABC.
(1)求证：三棱锥P−ABC为“鳖臑”；
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正弦值.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+ax.
(1)当a=1时，在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象，并求出函数f(x)在[12,32]上的值域；
(2)讨论函数f(x)的定义域、奇偶性、单调性.(单调性只写结论，无需说明理由)
22.(本小题12分)
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为B1D1上的一个动点，如图所示：
(1)求证：AM//平面C1DB；
(2)若P为正方体表面上一动点，且AA1=3，若AP=3 2，求点P运动轨迹的长度.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合U={1,2,3,4,5,6}，A={2,3,4}，B={2,3,5,6}，
则∁UA={1,5,6}，
得B∩(∁UA)={5,6}.
故选：D.
由集合的补集和交集的运算法则求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=i(1+2i)=−2+i，
故复数z在复平面内对应的点(−2,1)位于第二象限．
故选：B.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：f(x)=tanx=0时，解得x=kπ(k∈Z)，不能得到x=π，
x=π时，则有f(π)=tanπ=0，
所以“f(x)=0”是“x=π”的必要不充分条件．
故选：B.
由充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的性质求解．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵a=(1,−2),b=(λ,1)，且a//b，
∴1×1−λ×(−2)=0，
∴λ=−12.
故选：B.
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由csα=35，0<α<π2，则sinα= 1−cs2α= 1−(35)2=45，
所以sin(3π+α)=−sinα=−45.
故选：A.
由同角三角函数的关系和诱导公式求值．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：△DAB中，∠DAB=75∘，∠ABD=45∘，则∠ADB=60∘，
由正弦定理，ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，则AD=ABsin∠ABDsin∠ADB=62sin45∘sin60∘=62 63米，
Rt△CDA中，CD=ADtan30∘=62 63× 33=62 23米．
故选：C.
△DAB中，由正弦定理求出AD，Rt△CDA中，由CD=ADtan30∘求出结果．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由对数函数的性质，可得c=lg0.80.7>，
又由指数函数的性质，可得1>b=0.80.7>0.80.8，
由幂函数y=x0.8在(0,+∞)为单调递增函数，可得0.80.8>，所以1>b>a，
所以lg0.80.7>0.80.7>0.70.8，即c>b>a.
故选：D.
根据指数函数与幂函数的性质，得到1>b>a，由对数函数的性质得到c>1，即可求解．
本题考查了对数值比较大小的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设经过x小时才能驾驶，由题意得100×(1−30%)x<20，
即0.7x<0.2，
由于y=0.7x在定义域上单调递减，
所以x>−1lg7−1≈0.301−10.845−1=≈4.510，
所以他至少经过5小时才能驾驶．
故选：C.
设经过x小时才能驾驶，列不等式100×(1−30%)x<20，根据指数函数的性质及对数的运算求解即可．
本题考查了函数在实际生产生活中的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A中，由正弦函数的性质，可得∀x∈[0,π]，sinx≥0，所以为真命题；
对于B中，当x>0时，可得(12)x<1，所以命题∃x∈R，(12)x<1为真命题；
对于C中，函数f(x)=1x为定义域上的奇函数，但f(0)无意义，所以C为假命题；
对于D中，当a<0，可得1a+a≤−2，所以a≠0，则1a+a≥2是假命题．
故选：AB.
根据正弦函数的性质，可判定A正确；根据指数函数的性质，可判定B正确；根据奇函数f(x)=1x和a<0，可得1a+a≤−2，可判定C、D错误．
本题主要考查命题真假的判断，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：依题意，总平均时间为x−=20002000+3000×10+30002000+3000×8=8.8，
方差为s2=20002000+3000[3+(10−8.8)2]+30002000+3000[2+(8−8.8)2]=25×4.44+35×2.64=3.36.
故选：BC.
根据平均数和方差的计算公式求解．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=csx的图像向左平移π3个单位长度，得函数y=cs(x+π3)的图像，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=cs(2x+π3)的图像，
则函数g(x)的最小正周期T=2π2=π，故A正确；
区间x∈[−π3,π6]时，2x+π3∈[−π3,2π3]，
所以当2x+π3=0时，函数取得最大值，最大值g(x)max=1，故B错误；
由2x+π3=π2+kπ(k∈Z)，解得x=π12+kπ2(k∈Z)，则函数g(x)图像的对称中心为(π12+kπ2,0)(k∈Z)，
当k=0时，(π12,0)是函数g(x)图像的一个对称中心，故C正确；
由2x+π3=kπ(k∈Z)，解得x=−π6+kπ2(k∈Z)，所以函数g(x)图像的对称轴为直线x=−π6+kπ2(k∈Z)，
当k=0时，函数g(x)图像的一条对称轴为直线x=−π6，故D正确．
故选：ACD.
先根据平移变换和周期变换的原则求出函数g(x)的解析式，再根据余弦函数的性质逐一分析判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，利用函数的性质分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，过N作NE⊥AA1于E点，连接EB1，AM，NC1，如图所示，
则DN=AE=B1M，又AE//B1M，四边形AEB1M为平行四边形，∴EB1//AM，
又NE//D1A1//C1B1，且NE=D1A1=C1B1，∴四边形NEB1C1为平行四边形，∴NC1//EB1，
∴NC1//AM，则有A，M，C1，N四点共面，A选项正确；
对于B，连接AC，BD，正方体中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则BB1⊥AC，
正方形ABCD中，BD⊥AC，
BD，BB1⊂平面DBB1D1，BD∩BB1=B，则有AC⊥平面DBB1D1，
MN⊂平面DBB1D1，所以AC⊥MN，B选项正确；
对于C，连接NC1，MC1，连接B1D1与A1C1相交于点O，则O为B1D1和A1C1的中点，
连接NO，MO，BD，如图所示，
NC1=NA1，MC1=MA1，所以有NO⊥A1C1，MO⊥A1C1，
由MO∩NO=O，MO，NO⊂平面MON，所以A1C1⊥平面MON，
设四边形DBB1D1的面积为S，则S=B1D1⋅BB1，
由DN=B1M，则梯形B1D1NM的面积为12S，
S△OD1N+S△OB1M=12OD1⋅D1N+12OB1⋅B1M=14B1D1⋅(D1N+B1M)=14B1D1⋅BB1=14S，
则S△MON=14S，VA1−C1MN=VA1−OMN+VC1−OMN=112S⋅A1C1为定值，C选项正确；
对于D，过点N作NH//AD交AA1于点H，连接HM，如图所示，
则∠HNM为直线AD与直线MN所成的角，有tan∠HNM=HMNH，其中NH为定值，
若直线AD与直线MN所成角的正切值最大，只需HM最大，
设正方体棱长为a，则NH=a，显然当N与点D1重合，M与点B重合，H与点A1重合，HM最大，最大值为 2a，
此时tan∠HNM=HMNH= 2，即直线AD与直线MN所成角正切值的最大值为 2，D选项正确．
故选：ABD.
利用平行线确定唯一平面验证A选项；通过三垂线定理验证选项B；对通过转化锥体顶点来证明锥体体积不变验证选项C；将异面直线转化成相交直线，再用函数思想可判断D选项．
本题考查了空间图形中的位置关系和角度、距离、面积、体积等问题，属于中档题．
13.【答案】5
【解析】解：lg20+lg5+2lg23=lg(20×5)+3=lg102+3=2+3=5.
故答案为：5.
根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得．
本题考查了对数的运算，是基础题．
14.【答案】100
【解析】【分析】
本题考查了分层抽样的应用，属于基础题．
根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可．
【解答】
解：设北面共有x人，则由题意可得x300+200+x=1060，解得x=100，
所以北面共有100人．
故答案为：100.
15.【答案】(5225,3925)
【解析】解：因为OA=(4,3)，OB=(2,10)，
所以AB=OB−OA=(2,10)−(4,3)=(−2,7)，
所以AB⋅OA=−2×4+3×7=13，|OA|= 42+32=5，
所以AB在OA方向上的投影向量为AB⋅OA|OA|⋅OA|OA|=135⋅(4,3)5=(5225,3925).
故答案为：(5225,3925).
首先求出AB的坐标，再根据AB在OA方向上的投影向量为AB⋅OA|OA|⋅OA|OA|计算可得．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
16.【答案】 17 283π
【解析】解：根据题意，由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形ABCD是直角梯形，
如图：
其中AB=2A′B′=4，BC=B′C′=1，AD=A′D′=2，AB⊥AD，
过C作CE⊥AD交AD于E，则E为AD的中点，
在Rt△CED中，CE=AB=4，ED=12AD=1，
所以CD= CE2+ED2= 17；
将直角梯形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，
其上底面圆的半径为BC=1，下底面圆的半径为AD=2，高为AB=4，
故此圆台体积为V=13×(π+ π⋅4π+4π)×4=283π.
故答案为： 17；283π.
根据题意，由斜二测画法原理可得平面图形ABCD是直角梯形，进而可求CD；直角梯形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积．
本题考查旋转体的体积计算，涉及斜二测画法，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题可知，2π|ω|=π，又ω>0，所以ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+π3)，
所以f(π3)=2sin(2×π3+π3)=2sinπ=0.
(2)令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，
解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],(k∈Z).
【解析】(1)由周期求出ω，即可求出函数解析式，再代入计算可得；
(2)根据正弦函数的性质计算可得．
本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由图可知：(0.040+0.060+a+0.020×2+0.008)×5=1，
解得：a=0.052，
又最高小矩形下边中点的横坐标为7.5，所以估计该市居民用户月均用水量的众数为7.5；
(2)由图可知：居民用户月均用水量在区间[0,5),[5,10),[10,15)的频率分别为：0.2，0.3，0.26，
又0.2+0.3<0.75，0.2+0.3+0.26>0.75，
所以m∈(10,15)，
由0.2+0.3+(m−10)×0.052=0.75，
解得m≈14.8.
【解析】(1)利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1求a的值，利用频率分布直方图中的最高矩形求众数；
(2)分别求出前2组，前3组的频率和，估计出x的范围，再根据75%分位数建立方程求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数的估计，属于基础题．
19.【答案】解：(1)在△ABC中，因为4S= 3(a2−b2−c2)，
可得2bcsinA= 3(a2−b2−c2)，
两边同时除以2bc整理得：b2+c2−a22bc=− 33sinA，
所以csA=− 33sinA，即tanA=− 3，
又因为0(2)因为BD=2DC，所以BD=23BC，
又因为AD=AB+BD=AB+23BC=13AB+23AC，
则AB⋅AD=AB⋅(13AB+23AC)=13|AB|2+23AB⋅AC，
又由AB=4，AC=2，A=23π，
所以|AB|2=16，AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csA=4×2×(−12)=−4，
所以AB⋅AD=163−83=83.
【解析】(1)根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，得到csA=− 33sinA，即可求解；
(2)由BD=2DC，得到AD=13AB+23AC，进而得到AB⋅AD=13|AB|2+23AB⋅AC，结合题意，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．
本题考查解三角形与平面向量的线性运算与数量积的综合，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴△PAC、△PAB为直角三角形，
又∠ACB为直角，则BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，
又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
则BC⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，则BC⊥PC，即△PCB为直角三角形，
∴三棱锥P−ABC为“鳖臑”；
(2)设BC=AC=PA=a，则AB= AC2+BC2= 2a，
PC= PA2+AC2= 2a，PB= PA2+AB2= 3a，
过点A作PC的垂线，交PC于点N，连接MN，如图所示：
由(1)得BC⊥平面APC，AN⊂平面APC，则BC⊥AN，
又AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，即∠AMN为直线AM与平面PBC所成角，
又AM=PB2= 32a，AN=PC2= 22a，
∴sin∠AMN=ANAM= 63，
∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为 63.
【解析】本题考查线面垂直的性质、直线与平面所成的角，属于中档题.
(1)根据线面垂直可得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，结合BC⊥AC，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC，即可证明结论；
(2)过点A作PC的垂线，交PC于点N，连接MN，即可证明AN⊥平面PBC，则∠AMN为直线AM与平面PBC所成角，利用锐角三角函数计算，即可得出答案．
21.【答案】解：(1)当a=1时，函数f(x)=x+1x，函数f(x)的图象，如图所示，
由图象可知：当x=1时，f(x)取最小值为f(1)=2，
当x=12时，f(x)取最大值为f(12)=52，
所以函数f(x)在区间[12,32]上的值域为[2,52].
(2)解：由f(x)=x+ax，可得x≠0，所以函数f(x)的定义域{x|x≠0}，
又由f(−x)=−x+a−x=−(x+ax)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，
当a>0时，f(x)在(−∞,− a]和[ a,+∞)上为单调递增函数；在(− a,0)和(0, a)上为单调递减函数，
当a≤0时，f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上为单调递增函数．
【解析】(1)当a=1时，得到f(x)=x+1x，作出函数f(x)的图象，结合图象求得函数的最值，即可求得函数f(x)的值域；
(2)根据函数f(x)的解析式，得到函数f(x)的定义域，再由奇偶性的判定方法，得到函数f(x)为奇函数，结合函数的性质，得出函数f(x)的单调性区间．
本题主要考查了对勾函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】证明：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AB1，AD1，
又D1C1//CD，D1C1=CD，CD//AB，CD=AB，所以D1C1//AB，D1C1=AB，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1//BC1，
又AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1//平面BDC1，
同理可得：AB1//平面BDC1，
又AD1，AB1⊂平面AB1D1，AD1∩AB1=A，
所以平面AB1D1//平面BDC1，
又AM⊂平面AB1D1，所以AM//平面BDC1，
解：(2)由题可知，AP=3 2，点P只能在正方形A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1面上运动，
若点P在正方形A1B1C1D1面上，
∵AA1⊥面A1B1C1D1，A1P⊂面A1B1C1D1，∴AA1⊥A1P，
又AA1=3，AP=3 2，∴A1P=3，
所以点P在以A1为圆心，A1B1为半径的圆弧B1D1上，圆弧B1D1=π2×3=32π，
同理可得圆弧B1C=32π，圆弧D1C=32π，
所以点P的轨迹长度为32π×3=92π.
【解析】(1)由题意可证AD1//平面BDC1，AB1//平面BDC1，所以平面AB1D1//平面BDC1，从而可得结论；
(2)由题可知，点P只能在正方形A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1面上运动，若点P在正方形A1B1C1D1面上，点P在以A1为圆心，A1B1为半径的圆弧B1D1上，圆弧B1D1=32π，同理可得圆弧B1C=32π，圆弧D1C=32π，可得点P的轨迹长度．
本题考查直线与平面的位置关系，属于中档题．学校
人数
平均运动时间
方差
甲校
2000
10
3
乙校
3000
8
2
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={2,3,4}，B={2,3,5,6}，则B∩(∁UA)=( )
A. {2,3}B. {1,2,3,5,6}C. {2,3,4,5,6}D. {5,6}
2.设复数z=i(1+2i)(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知函数f(x)=tanx，则“f(x)=0”是“x=π”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.已知向量a=(1,−2),b=(λ,1)，且a//b，则λ=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
5.已知csα=35，0<α<π2，则sin(3π+α)的值为( )
A. −45B. −35C. 35D. 45
6.乌蒙铁塔位于贵州省六盘水市人民广场中央，由铁塔主体、铁塔基座、八角形平台、十二生肖书法雕塑铭文说明、十二生肖书法雕塑说明等五部分组成，塔体上以四种书体、384个文字集中概述凉都的变迁，被誉为凉都六盘水的标志性建筑之一.某学生想要测量塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得∠DAB=75∘，∠ABD=45∘，AB=62米，在点A处测得塔顶C的仰角为30∘，则塔高CD为米.( )
A. 62(3− 3)3B. 62 33C. 62 23D. 62 63
7.设a=0.70.8，b=0.80.7，c=lg0.80.7，则a，b，c的大小关系( )
A. b>c>aB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845)( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题为真命题的是( )
A. ∀x∈[0,π]，sinx≥0B. ∃x∈R，(12)x<1
C. 若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0D. 若a≠0，则1a+a≥2
10.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如表：
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为x−，方差为s2，则( )
A. x−=8.7B. x−=8.8C. s2=3.36D. s2=3.56
11.把函数f(x)=csx的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图像，下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A. 最小正周期为πB. 在区间[−π3,π6]上的最大值为12
C. 图像的一个对称中心为(π12,0)D. 图像的一条对称轴为直线x=−π6
12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，DD1上的动点，且DN=B1M，则下列结论中正确的是( )
A. A，M，C1，N四点共面
B. AC⊥MN
C. 三棱锥A1−C1MN的体积与点M的位置有关
D. 直线AD与直线MN所成角正切值的最大值为 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.lg20+lg5+2lg23=______.
14.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人(用分层抽样的方法)，则北面共有__________人.
15.已知OA=(4,3)，OB=(2,10)，则AB在OA方向上的投影向量坐标为______.
16.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2B′C′=2，A′B′=2，则CD=______；平面图形 ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(π3)的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
18.(本小题12分)
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民用水费用实施阶梯式水价制度，即确定月均用水量标准m，月均用水量不超过m的部分按平价收费，超过m的部分按议价收费.为了确定一个较为合理的用水标准，某政府部门通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据(单位：t)，并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值及估计该市居民用户月均用水量的众数；
(2)为使该市75%的居民用户不受议价收费的影响，请确定m的值(小数点后保留一位有效数字).
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且面积为S，若4S= 3(a2−b2−c2).
(1)求A；
(2)若AB=4，AC=2，且BD=2DC，求AB⋅AD.⋅
20.(本小题12分)
在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，在三棱锥P−ABC中，∠ACB为直角，PA⊥底面ABC.
(1)求证：三棱锥P−ABC为“鳖臑”；
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正弦值.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+ax.
(1)当a=1时，在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象，并求出函数f(x)在[12,32]上的值域；
(2)讨论函数f(x)的定义域、奇偶性、单调性.(单调性只写结论，无需说明理由)
22.(本小题12分)
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为B1D1上的一个动点，如图所示：
(1)求证：AM//平面C1DB；
(2)若P为正方体表面上一动点，且AA1=3，若AP=3 2，求点P运动轨迹的长度.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合U={1,2,3,4,5,6}，A={2,3,4}，B={2,3,5,6}，
则∁UA={1,5,6}，
得B∩(∁UA)={5,6}.
故选：D.
由集合的补集和交集的运算法则求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=i(1+2i)=−2+i，
故复数z在复平面内对应的点(−2,1)位于第二象限．
故选：B.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：f(x)=tanx=0时，解得x=kπ(k∈Z)，不能得到x=π，
x=π时，则有f(π)=tanπ=0，
所以“f(x)=0”是“x=π”的必要不充分条件．
故选：B.
由充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的性质求解．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵a=(1,−2),b=(λ,1)，且a//b，
∴1×1−λ×(−2)=0，
∴λ=−12.
故选：B.
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由csα=35，0<α<π2，则sinα= 1−cs2α= 1−(35)2=45，
所以sin(3π+α)=−sinα=−45.
故选：A.
由同角三角函数的关系和诱导公式求值．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：△DAB中，∠DAB=75∘，∠ABD=45∘，则∠ADB=60∘，
由正弦定理，ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，则AD=ABsin∠ABDsin∠ADB=62sin45∘sin60∘=62 63米，
Rt△CDA中，CD=ADtan30∘=62 63× 33=62 23米．
故选：C.
△DAB中，由正弦定理求出AD，Rt△CDA中，由CD=ADtan30∘求出结果．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由对数函数的性质，可得c=lg0.80.7>，
又由指数函数的性质，可得1>b=0.80.7>0.80.8，
由幂函数y=x0.8在(0,+∞)为单调递增函数，可得0.80.8>，所以1>b>a，
所以lg0.80.7>0.80.7>0.70.8，即c>b>a.
故选：D.
根据指数函数与幂函数的性质，得到1>b>a，由对数函数的性质得到c>1，即可求解．
本题考查了对数值比较大小的问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设经过x小时才能驾驶，由题意得100×(1−30%)x<20，
即0.7x<0.2，
由于y=0.7x在定义域上单调递减，
所以x>−1lg7−1≈0.301−10.845−1=≈4.510，
所以他至少经过5小时才能驾驶．
故选：C.
设经过x小时才能驾驶，列不等式100×(1−30%)x<20，根据指数函数的性质及对数的运算求解即可．
本题考查了函数在实际生产生活中的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A中，由正弦函数的性质，可得∀x∈[0,π]，sinx≥0，所以为真命题；
对于B中，当x>0时，可得(12)x<1，所以命题∃x∈R，(12)x<1为真命题；
对于C中，函数f(x)=1x为定义域上的奇函数，但f(0)无意义，所以C为假命题；
对于D中，当a<0，可得1a+a≤−2，所以a≠0，则1a+a≥2是假命题．
故选：AB.
根据正弦函数的性质，可判定A正确；根据指数函数的性质，可判定B正确；根据奇函数f(x)=1x和a<0，可得1a+a≤−2，可判定C、D错误．
本题主要考查命题真假的判断，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：依题意，总平均时间为x−=20002000+3000×10+30002000+3000×8=8.8，
方差为s2=20002000+3000[3+(10−8.8)2]+30002000+3000[2+(8−8.8)2]=25×4.44+35×2.64=3.36.
故选：BC.
根据平均数和方差的计算公式求解．
本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=csx的图像向左平移π3个单位长度，得函数y=cs(x+π3)的图像，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=cs(2x+π3)的图像，
则函数g(x)的最小正周期T=2π2=π，故A正确；
区间x∈[−π3,π6]时，2x+π3∈[−π3,2π3]，
所以当2x+π3=0时，函数取得最大值，最大值g(x)max=1，故B错误；
由2x+π3=π2+kπ(k∈Z)，解得x=π12+kπ2(k∈Z)，则函数g(x)图像的对称中心为(π12+kπ2,0)(k∈Z)，
当k=0时，(π12,0)是函数g(x)图像的一个对称中心，故C正确；
由2x+π3=kπ(k∈Z)，解得x=−π6+kπ2(k∈Z)，所以函数g(x)图像的对称轴为直线x=−π6+kπ2(k∈Z)，
当k=0时，函数g(x)图像的一条对称轴为直线x=−π6，故D正确．
故选：ACD.
先根据平移变换和周期变换的原则求出函数g(x)的解析式，再根据余弦函数的性质逐一分析判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，利用函数的性质分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，过N作NE⊥AA1于E点，连接EB1，AM，NC1，如图所示，
则DN=AE=B1M，又AE//B1M，四边形AEB1M为平行四边形，∴EB1//AM，
又NE//D1A1//C1B1，且NE=D1A1=C1B1，∴四边形NEB1C1为平行四边形，∴NC1//EB1，
∴NC1//AM，则有A，M，C1，N四点共面，A选项正确；
对于B，连接AC，BD，正方体中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则BB1⊥AC，
正方形ABCD中，BD⊥AC，
BD，BB1⊂平面DBB1D1，BD∩BB1=B，则有AC⊥平面DBB1D1，
MN⊂平面DBB1D1，所以AC⊥MN，B选项正确；
对于C，连接NC1，MC1，连接B1D1与A1C1相交于点O，则O为B1D1和A1C1的中点，
连接NO，MO，BD，如图所示，
NC1=NA1，MC1=MA1，所以有NO⊥A1C1，MO⊥A1C1，
由MO∩NO=O，MO，NO⊂平面MON，所以A1C1⊥平面MON，
设四边形DBB1D1的面积为S，则S=B1D1⋅BB1，
由DN=B1M，则梯形B1D1NM的面积为12S，
S△OD1N+S△OB1M=12OD1⋅D1N+12OB1⋅B1M=14B1D1⋅(D1N+B1M)=14B1D1⋅BB1=14S，
则S△MON=14S，VA1−C1MN=VA1−OMN+VC1−OMN=112S⋅A1C1为定值，C选项正确；
对于D，过点N作NH//AD交AA1于点H，连接HM，如图所示，
则∠HNM为直线AD与直线MN所成的角，有tan∠HNM=HMNH，其中NH为定值，
若直线AD与直线MN所成角的正切值最大，只需HM最大，
设正方体棱长为a，则NH=a，显然当N与点D1重合，M与点B重合，H与点A1重合，HM最大，最大值为 2a，
此时tan∠HNM=HMNH= 2，即直线AD与直线MN所成角正切值的最大值为 2，D选项正确．
故选：ABD.
利用平行线确定唯一平面验证A选项；通过三垂线定理验证选项B；对通过转化锥体顶点来证明锥体体积不变验证选项C；将异面直线转化成相交直线，再用函数思想可判断D选项．
本题考查了空间图形中的位置关系和角度、距离、面积、体积等问题，属于中档题．
13.【答案】5
【解析】解：lg20+lg5+2lg23=lg(20×5)+3=lg102+3=2+3=5.
故答案为：5.
根据对数的运算法则及指数对数恒等式计算可得．
本题考查了对数的运算，是基础题．
14.【答案】100
【解析】【分析】
本题考查了分层抽样的应用，属于基础题．
根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可．
【解答】
解：设北面共有x人，则由题意可得x300+200+x=1060，解得x=100，
所以北面共有100人．
故答案为：100.
15.【答案】(5225,3925)
【解析】解：因为OA=(4,3)，OB=(2,10)，
所以AB=OB−OA=(2,10)−(4,3)=(−2,7)，
所以AB⋅OA=−2×4+3×7=13，|OA|= 42+32=5，
所以AB在OA方向上的投影向量为AB⋅OA|OA|⋅OA|OA|=135⋅(4,3)5=(5225,3925).
故答案为：(5225,3925).
首先求出AB的坐标，再根据AB在OA方向上的投影向量为AB⋅OA|OA|⋅OA|OA|计算可得．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
16.【答案】 17 283π
【解析】解：根据题意，由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形ABCD是直角梯形，
如图：
其中AB=2A′B′=4，BC=B′C′=1，AD=A′D′=2，AB⊥AD，
过C作CE⊥AD交AD于E，则E为AD的中点，
在Rt△CED中，CE=AB=4，ED=12AD=1，
所以CD= CE2+ED2= 17；
将直角梯形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，
其上底面圆的半径为BC=1，下底面圆的半径为AD=2，高为AB=4，
故此圆台体积为V=13×(π+ π⋅4π+4π)×4=283π.
故答案为： 17；283π.
根据题意，由斜二测画法原理可得平面图形ABCD是直角梯形，进而可求CD；直角梯形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，可求其体积．
本题考查旋转体的体积计算，涉及斜二测画法，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题可知，2π|ω|=π，又ω>0，所以ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+π3)，
所以f(π3)=2sin(2×π3+π3)=2sinπ=0.
(2)令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，
解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],(k∈Z).
【解析】(1)由周期求出ω，即可求出函数解析式，再代入计算可得；
(2)根据正弦函数的性质计算可得．
本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由图可知：(0.040+0.060+a+0.020×2+0.008)×5=1，
解得：a=0.052，
又最高小矩形下边中点的横坐标为7.5，所以估计该市居民用户月均用水量的众数为7.5；
(2)由图可知：居民用户月均用水量在区间[0,5),[5,10),[10,15)的频率分别为：0.2，0.3，0.26，
又0.2+0.3<0.75，0.2+0.3+0.26>0.75，
所以m∈(10,15)，
由0.2+0.3+(m−10)×0.052=0.75，
解得m≈14.8.
【解析】(1)利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1求a的值，利用频率分布直方图中的最高矩形求众数；
(2)分别求出前2组，前3组的频率和，估计出x的范围，再根据75%分位数建立方程求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数的估计，属于基础题．
19.【答案】解：(1)在△ABC中，因为4S= 3(a2−b2−c2)，
可得2bcsinA= 3(a2−b2−c2)，
两边同时除以2bc整理得：b2+c2−a22bc=− 33sinA，
所以csA=− 33sinA，即tanA=− 3，
又因为0
又因为AD=AB+BD=AB+23BC=13AB+23AC，
则AB⋅AD=AB⋅(13AB+23AC)=13|AB|2+23AB⋅AC，
又由AB=4，AC=2，A=23π，
所以|AB|2=16，AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csA=4×2×(−12)=−4，
所以AB⋅AD=163−83=83.
【解析】(1)根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，得到csA=− 33sinA，即可求解；
(2)由BD=2DC，得到AD=13AB+23AC，进而得到AB⋅AD=13|AB|2+23AB⋅AC，结合题意，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．
本题考查解三角形与平面向量的线性运算与数量积的综合，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴△PAC、△PAB为直角三角形，
又∠ACB为直角，则BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，
又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
则BC⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，则BC⊥PC，即△PCB为直角三角形，
∴三棱锥P−ABC为“鳖臑”；
(2)设BC=AC=PA=a，则AB= AC2+BC2= 2a，
PC= PA2+AC2= 2a，PB= PA2+AB2= 3a，
过点A作PC的垂线，交PC于点N，连接MN，如图所示：
由(1)得BC⊥平面APC，AN⊂平面APC，则BC⊥AN，
又AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，即∠AMN为直线AM与平面PBC所成角，
又AM=PB2= 32a，AN=PC2= 22a，
∴sin∠AMN=ANAM= 63，
∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为 63.
【解析】本题考查线面垂直的性质、直线与平面所成的角，属于中档题.
(1)根据线面垂直可得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，结合BC⊥AC，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC，即可证明结论；
(2)过点A作PC的垂线，交PC于点N，连接MN，即可证明AN⊥平面PBC，则∠AMN为直线AM与平面PBC所成角，利用锐角三角函数计算，即可得出答案．
21.【答案】解：(1)当a=1时，函数f(x)=x+1x，函数f(x)的图象，如图所示，
由图象可知：当x=1时，f(x)取最小值为f(1)=2，
当x=12时，f(x)取最大值为f(12)=52，
所以函数f(x)在区间[12,32]上的值域为[2,52].
(2)解：由f(x)=x+ax，可得x≠0，所以函数f(x)的定义域{x|x≠0}，
又由f(−x)=−x+a−x=−(x+ax)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，
当a>0时，f(x)在(−∞,− a]和[ a,+∞)上为单调递增函数；在(− a,0)和(0, a)上为单调递减函数，
当a≤0时，f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上为单调递增函数．
【解析】(1)当a=1时，得到f(x)=x+1x，作出函数f(x)的图象，结合图象求得函数的最值，即可求得函数f(x)的值域；
(2)根据函数f(x)的解析式，得到函数f(x)的定义域，再由奇偶性的判定方法，得到函数f(x)为奇函数，结合函数的性质，得出函数f(x)的单调性区间．
本题主要考查了对勾函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】证明：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接AB1，AD1，
又D1C1//CD，D1C1=CD，CD//AB，CD=AB，所以D1C1//AB，D1C1=AB，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1//BC1，
又AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1//平面BDC1，
同理可得：AB1//平面BDC1，
又AD1，AB1⊂平面AB1D1，AD1∩AB1=A，
所以平面AB1D1//平面BDC1，
又AM⊂平面AB1D1，所以AM//平面BDC1，
解：(2)由题可知，AP=3 2，点P只能在正方形A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1面上运动，
若点P在正方形A1B1C1D1面上，
∵AA1⊥面A1B1C1D1，A1P⊂面A1B1C1D1，∴AA1⊥A1P，
又AA1=3，AP=3 2，∴A1P=3，
所以点P在以A1为圆心，A1B1为半径的圆弧B1D1上，圆弧B1D1=π2×3=32π，
同理可得圆弧B1C=32π，圆弧D1C=32π，
所以点P的轨迹长度为32π×3=92π.
【解析】(1)由题意可证AD1//平面BDC1，AB1//平面BDC1，所以平面AB1D1//平面BDC1，从而可得结论；
(2)由题可知，点P只能在正方形A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1面上运动，若点P在正方形A1B1C1D1面上，点P在以A1为圆心，A1B1为半径的圆弧B1D1上，圆弧B1D1=32π，同理可得圆弧B1C=32π，圆弧D1C=32π，可得点P的轨迹长度．
本题考查直线与平面的位置关系，属于中档题．学校
人数
平均运动时间
方差
甲校
2000
10
3
乙校
3000
8
2
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