海南省洋浦中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份海南省洋浦中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知直线l与x轴的夹角为,则直线l的斜率为( )
A.B.C.或D.或
2．两条平行直线与之间的距离( )
A.B.C.D.7
3．若,,则( )
A.B.C.D.
4．已知圆的方程是,其圆心和半径分别是( )
A.,2B.,4C.,2D.,4
5．为圆上任意一点,且点.则的最大值为( )
A.5B.9C.8D.7
6．若椭圆的离心率为,则( )
A.3或B.C.3或D.或
7．方程的化简结果是( )
A.B.C.D.
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时,我们得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为,点P在椭圆C上,且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为,记椭圆C的两个焦点分别为,,则的值不可能为( )
A.4B.8C.14D.18
二、多项选择题
9．已知圆与直线,下列选项正确的是( )
A.圆的圆心坐标为B.直线过定点
C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相离
10．已知空间中三点、、,则下列结论正确的有( )
A.与是共线向量B.的单位向量是
C.与夹角的余弦值是D.平面ABC的一个法向量是
11．下列命题正确的是( )
A.经过定点的直线都可以用方程表示
B.经过两个不同的点,的直线都可以用方表示
C.过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
D.方程不一定表示圆
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如：四叶草曲线就是其中一种,其方程为,则( )
A.曲线C有两条对称轴
B.曲线C上的点到原点的最大距离为
C.曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D.四叶草面积小于
三、填空题
13．直线被圆所截得的弦长是_______________.
14．在直角坐标系xOy中,直线,以O为圆心的圆与直线l相切.将圆O向右平移一个单位得圆C,则圆C的标准方程为___________.
15．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情,唐诗中边塞诗又称出塞诗,是唐代汉族诗歌的主要题材,是唐诗当中思想性最深刻,想象力最丰富,艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中,设将军的出发点是,军营所在位置为,河岸线所在直线的方程为,若将军从出发点到河边饮马,再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短,则将军在河边饮马地点的坐标为________________.
16．椭圆与正方形是常见的几何图形,具有对称美感,受到设计师的青睐.现有一工艺品,其图案如图所示：基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）.在平面直角坐标系xOy中,将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度,即得“斜椭圆”,则“斜椭圆”的离心率为___________________.
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6,离心率为;
(2)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
18．已知点和圆,P,Q为圆上的动点.
(1)求BP的中点E的轨迹方程;
(2)若,求线段PQ中点的轨迹方程.
19．直线,圆.
(1)求出定点P的坐标.当直线l被圆C截得的弦最短时,求此时l的方程;
(2)设直线l与圆C交于A,B两点,当的面积最大时,求直线l方程.
20．已知直线过椭圆的一个顶点和一个焦点.
(1)求C的方程;
(2)若过点的直线l与C交于,两点,且,求直线l的方程.
21．如图,在直三棱柱中,,,,M,N分别为,的中点.以C为坐标原点,直线CA,CB,分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系.
(1)设平面的法向量为,求x,y的值;
(2)求异面直线MN与所成角的余弦值.
22．如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,,,M是AB的中点.
(1)求点B到平面EAC的距离;
(2)已知点P在线段EC上,且直线AP与平面ABE所成的角为,求出的值
参考答案
1．答案：C
解析：①当直线l与x轴正方向的夹角为时,此时倾斜角为,斜率为;
②当直线l与x轴负方向的夹角为时,此时倾斜角为,斜率为.
综上,直线l的斜率为或.
2．答案：B
解析：由已知两条直线平行,得,所以,
所以直线可化为,则两平行线间的距离.
3．答案：A
解析：由可知,
根据向量减法的坐标运算法则可得,
即.
4．答案：C
解析：因为圆的标准方程的圆心为,半径为r,
所以圆的圆心和半径分别为,2.
故选：C.
5．答案：D
解析：圆变形为,
其圆心为,半径为,
则的最大值为.
故选：D.
6．答案：A
解析：若椭圆焦点在x上,则,
所以,故,
解得,
若椭圆焦点在y上,则,,
所以,故,
解得,综上,或.
7．答案：C
解析：方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10,并且,
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点,定值为的椭圆,所以,,
根据,所以椭圆方程为.
故选：C.
8．答案：D
解析：因为椭圆的面积为,所以,即,
设,则,所以,
所以点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为,
解得,,则,
又,即
故的值不可能为18.
故选：D.
9．答案：AC
解析：对于A中,由圆,
可得圆的圆心坐标为,半径为,所以A正确;
对于B中,由直线,可化为,
令,解得,,所以直线恒过点,所以B不正确;
对于C中,由圆心坐标为和定点,可得,
根据圆的性质,当直线与CP垂直时,直线与圆相交且所截的弦长最短,
则最短弦长为,所以C正确;
对于D中,由直线恒过定点,且,即点在圆内,所以直线与圆相交,所以D不正确.
故选：AC.
10．答案：CD
解析：对于A选项,,,因为,则、不共线,A错;
对于B选项,与同向的单位向量为,B错;
对于C选项,,,
所以,与夹角的余弦值是,C对;
对于D选项,设为平面ABC的法向量,则,取,则,,所以,平面ABC的一个法向量为,D对.
故选：CD.
11．答案：BCD
解析：对于A：经过定点且斜率存在的直线才可以用方程表示,
斜率不存在时,用方程来表示,故A选项错误;
对于B：经过两个不同的点,的直线有两种情况：
当时,直线方程为,整理得;
当时,直线方程为,即方程成立.
综上所述,经过两个不同的点,的直线都可以用方程表示,故B选项正确;
对于C：当直线在x轴和y轴上截距为0时,可设直线方程为,
直线过,则所求直线方程为;
当直线在x轴和y轴上截距不为0时,可设直线方程为,即,
直线过,则所求直线方程为.
综上所述,过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条,故C选项正确;
对于D：化为,
所以该方程时才表示圆,故D选项正确.
故选：BCD.
12．答案：BCD
解析：对于A：当x变为时,不变,所以四叶草图象关于y轴对称;
当y变为时,不变,所以四叶草图象关于x轴对称;
当y变为x时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;
当y变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;
综上可知：有四条对称轴,错误;
对于B：因为,所以,
所以,所以,
取等号时,所以最大距离为,正确;
对于C：设任意一点,所以围成的矩形面积为xy,
因为,所以,所以,
取等号时,所以围成矩形面积的最大值为,正确;
对于D：由B可知,所以四叶草包含在圆的内部,
因为圆的面积为：,所以四叶草的面积小于,正确.
故选：BCD.
13．答案：6
解析：,,
即圆心为,半径为3,而直线
过定点即过圆心,
故直线被圆所截得的弦长即为直径6.
故答案为：6
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：由题可知A,B在的同侧,
设点B关于直线的对称点为,
则,解得即.
将军从出发点到河边的路线所在直线即为,又,
所以直线的方程为,
设将军在河边饮马的地点为H,
则H即为与的交点,
,解得,
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：设“斜椭圆”的中心为坐标原点,
由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值,
短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值,
由基本不等式可得,
所以,解得,
当且仅当时成立,当且仅当时,成立,
所以椭圆的长半轴长为,短半轴长为,
所以椭圆离心率为,
故答案为：.
17．答案：(1)或
(2)
解析：（1）由题意,椭圆的长轴长为6,离心率为,
可得,,可得,,则,
当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为;
当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为.
综上,椭圆的方程为或.
（2）由题意,设椭圆的标准方程为,
如图所示,F为椭圆的一个焦点,,分别为短轴的两个端点,且焦距为6,
则为一等腰直角三角形,所以,所以,
故所求椭圆的标准方程为.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）设点,,.
,整理得,
点P在圆上,
,
整理得点E的轨迹方程为.
（2）设PQ的中点为,在中,,
设O为坐标原点,连接ON,则,
,
.
故线段PQ中点的轨迹方程为.
19．答案：(1)证明见解析,
(2)
(3)
解析：（1）证明：由题意知可化为,
故解得,直线l恒过定点.
（2）因为
所以圆C的圆心为,半径,
如图所示：
,
当直线l被圆截得的弦长最短时,l与PC垂直,
,
,即.
（3）方法1（几何法）
,且为钝角,
当时有最大值,即面积有最大值,
此时同（2）,即.
方法2
设圆心到直线AB的距离为d,则,
,
当时有最大值,此时同（2）,
或者由,,解得,
.
20．答案：(1)
(2)或
解析：（1）设椭圆C的半焦距为.
因为直线过点和,所以,,
则,所以椭圆C的方程为.
（2）由题可设直线l的方程为,
联立方程组,整理得,
则且,,
因为,可得,
整理可得,解得或（负值舍去）,所以,
故直线l的方程为或.
21．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题可知,,,,
,
则即
解得;
（2）,
,
又,
,
故异面直线MN与所成角的余弦值为.
22．答案：(1)
(2)
解析：（1）连接MC, ,M是AB的中点, ,
平面平面ABCD,平面平面,平面ABE,
平面ABCD,又平面ABCD,
,菱形ABCD中,,所以是正三角形,
.ME、MC、MB两两垂直.
以点M为坐标原点,MB、MC、ME所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,
设是平面ACE的一个法向量,
则,令,得,
设点B到平面ACE的距离为d,则,
所以,点B到平面EAC的距离为.
（2）由题意可知,平面ABE的一个法向量为,
,,
设,,
则,
直线AP与平面ABE所成的角为,
,
整理可得,解得,
所以,.