38，湖北省恩施州巴东县第一高级中学2023-2024学年高二上学期末考试数学试题

这是一份38，湖北省恩施州巴东县第一高级中学2023-2024学年高二上学期末考试数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、如图所示的Venn图中,集合,,则阴影部分表示的集合是 ( )
A. B. C. D.
2、在中,已知,于为的中点,若,则的值分别是 ( )
A. B. C. D.
3、若复数满足,则的共轭复数的虚部为 ( )
A. B. C. D.
4、袋子里装有形状大小完全相同的4个小球,球上分别标有数字1,2,3,4,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出的球上数字是1”,B表示事件“第二次取出的球上数字是2”,C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”,D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”,通过计算,则可以得出 ( )
A.B与D相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.C与D相互独立
5、已知梯形是直角梯形,按照斜二测画法画出它的直观图 (如下图所示),其中,,,则直角梯形边的长度是（ ）
A. B. C. D.
6、已知圆与恰好有4条公切线,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7、已知双曲线的左、右顶点分别为,左焦点为为上一点,且轴,过点的直线与线段交于点(异于),与轴交于点,直线与轴交于点,若为坐标原点),则的离心率为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
8、已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为 ( )
A.16 B.8 C.4 D.2
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
9、某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是
A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C.甲班学生比乙班学生发挥稳定
D.甲班不及格率高于乙班不及格率
10、已知数列其前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A.若数列为等差数列，则数列为等差数列
B.若数列为等差数列，且，则
C.若数列为等差数列，，的最大值在或7时取得
D.若数列为等差数列，则也为等差数列
11、如图,正方体的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P为侧面内（不含边界）的动点,则( )
A. B.存在一点P,使得
C.三棱锥的体积为 D.若,则面积的最小值为
12、“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线(将线段一分为二,较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值,则这个比值称为“黄金分割比”),若黄金双曲线的左右两顶点分别为,,虚轴上下两端点分别为,,左右焦点分别为,,EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦,M为EF的中点.设双曲线C的离心率为e,则下列说法正确的有( )
A. B. C.直线与双曲线的一条渐近线垂直 D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、已知平面向量与的夹角为，，，则的值为_________
14、过抛物线的焦点作斜率为的直线，与该抛物线交于A,B两点，A,B在y轴上的射影分别为D,C，若梯形ABCD的面积为，则________
15、已知则的值是________
16、已知椭圆 的焦距为 2 , 过椭圆 C的右焦点F 且不与两坐标轴平行的直线交椭圆C 于A,B 两点, 若x 轴上的点 P满足 且 恒成立, 则椭圆C 离心率e 的取值范围为
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、知为数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求.
18、设三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知,.
（1）求角C的大小;
（2）如图,在的一个外角内取一点P,使得,过点P分别作直线CA,CD的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.设,求的最大值及此时的取值.
19、甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜.若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）. 乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中选择猜法进行游戏,求乙获得游戏胜利的概率．
20、如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别在棱，上.
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
21、对于函数,,如果存在一对实数a,b,使得,那么称为,亲子函数,称为关于和的亲子指标.
（1）已知,,试判断是否为,的亲子函数,若是,求出其亲子指标;若不是,说明理由.
（2）已知,,为,的亲子函数,亲子指标为,是否存在实数m,使函数在上的最小值为,若存在,求实数m的值,若不存在,说明理由.
22、已知椭圆的离心率为,,分别为椭圆的左,右焦点,P为椭圆的下顶点,且的面积为4.
（1）求椭圆C的方程:
（2）圆,点A,B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点,且直线PB的斜率是直线PA的斜率的2倍,求证:直线AB恒过定点.
2024年巴东一中高二年级期末考试数学试题参考答案
D 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D 7、B
8、C 解析：当P点坐标为时，此时切线l的斜率不存在，
不妨设，此时中令得：，所以不妨令，，
下面证明椭圆在处的切线方程为（二级结论）
理由如下：当切线的斜率存在时，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：，
所以，把代入，得：，
于是则椭圆的切线斜率为，
所以椭圆的切线方程为，整理得：，
方程两边同除以，得到，当切线斜率不存在时，即此时，故切线方程为，
中令，，可得，故当切线斜率不存在，切线也满足，
综上：椭圆在处的切线方程为，
故过，的两切线分别为和，
联立可得：，此时，同理可得时，，
当切线的斜率存在时，设为，因为与相切，所以，即，
与联立得：，设，，
则过，的椭圆的切线方程为和，
联立得：，，
则，综上：的最大值为4.
9、ABC 10、ABC 11、ACD 12、ACD 13、2 14、3 15、
16、解析：椭圆 的焦距为 2， 右焦点 ，
设直线AB 的方程为 ，，，
由 ，消去x 得 ，
，,AB中点M 的坐标为 ，
AB的垂直平分线方程为 ，
，是 AB的垂直平分线与 x 轴的交点，令 ，，
点P 的坐标为 ，
恒成立，对 恒成立，
对 恒成立，，
对 恒成立，，,，
椭圆C 离心率e 的取值范围为.
17、解析：解：(1)当时，，又，所以；
当时，，所以，即，
所以，所以，
化简，得，即当时，，所以为等差数列.
又，，所以公差，所以.
(2)由(1)知为以1为首项，2为公差的等差数列，所以.
所以，
所以
.
18、解析:（1）依题意,,
由余弦定理得,,所以,.
（2）依题意可知,,
所以,
,,所以当,时,取得最大值为.
19、解析：（1）用a,b表示两个红球,用1,2表示两个白球,甲不放回取两球的所有结果：
ab,ba,a1,1a,a2,2a,b1,1b,b2,2b,12,21,共12个不同结果,它们等可能,
令事件A为“第二次取出的是红球”,则事件A所含结果有：ab,ba,1a,2a,1b,2b,共6个,
令事件B为“两次取出球的颜色不同”,则事件B所含结果有：a1,1a,a2,2a,b1,1b,b2,2b,共8个,
于是得,,显然,,为了尽可能获胜,应该选择猜法二．
（2）由(1)知,乙选择猜法二,每一轮乙获胜的概率为,游戏结束时,乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件,第一轮负另外两轮胜的事件,第二轮负另外两轮胜的事件的和,它们互斥,
于是得,
所以乙获得游戏胜利的概率是.
20、解：（1）以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，则.
设，，若P是的中点，则，则，
于是，所以，即.
（2）由（1）知，，设是平面PDQ的法向量，
则即取，得是平面PDQ的一个法向量.
又平面AQD的一个法向量是，二面角的余弦值为，
所以，得或（舍去），
此时. 设，则，，
因为平面，且平面的一个法向量是，
所以，即，解得，从而.
将三棱锥看作以为底面的三棱锥，则其高，
故三棱锥的体积.
21、解析：（1）由题意得,故,,解得,,
故是,的亲子函数,且亲子指标为;
（2）由题意得,且,解得,
令,则,因为,所以,
,,当时,在上单调递减,
则,不合要求,
当时,对称轴为,
若,即时,在上单调递减,在上单调递增,
故,令,解得,
经检验,均满足要求,当,即时,在上单调递减,
故,令,解得,舍去,
当时,,故在上单调递减,故,
令,解得,舍去,综上,.
22、解析：（1）由题意可得,又因为,
所以,所以椭圆C的方程为.
（2）证明:设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为2k,因为P为,
则直线PA的方程为,直线PB的方程为,
联立直线PA与椭圆方程,,得,
因为点A,B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点,所以,,所以,
代入直线PA的方程可得,所以A为,
联立直线PA与圆方程,,得,
所以,代入直线PB的方程可得,所以B为,
所以,
所以直线AB的方程为,
整理可得,
所以直线AB恒过定点.