辽宁省丹东市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

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高三数学
命题：杨晓东 郭欣 赫希武 颜红 葛冰
审核：杨晓东
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥底面的半径为（ ）
A 1B. C. D. 2
4. 已知对数函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5. 有6个座位连成一排，安排3个人就坐，恰有两个空位相邻的坐法为（ ）
A. 48种B. 72种C. 96种D. 108种
6. 已知圆过，，三点，则（ ）
A. B. C. 5D.
7. 已知锐角，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数定义域为，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 有一个零点
B. 的极小值为
C. 的对称中心为
D. 直线是曲线的切线
10. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 在上递增D. 关于直线对称
11. 已知直三棱柱体积为，，，，O为的中点，则（ ）
A. B. 点A到平面的距离为
C. 直三棱柱的外接球的半径为D. 直线与所成角的余弦值为
12. 已知为坐标原点，过抛物线：的焦点的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，直线与C交于N，若直线与的倾斜角互补，则（ ）
A. 直线的斜率为B.
C. 线段中点的纵坐标为D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 若随机变量，且，则__________.
14. 设单位向量，的夹角为60°，则___________.
15. 已知等比数列的前3项和为168，，则___________.
16. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点A在上，点B在y轴上，，，则C的离心率为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 记为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，D是边上的点，且.
（1）求；
（2）若，求.
19. 如图，在三棱锥中，，，，，点M，N分别为，的重心.
（1）求证：面；
（2）若平面与平面所成的角为45°，且平面平面，求三棱锥的体积.
20. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行同分加赛，直到排出小组1，2，3名为止，已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为，各场比赛相互独立.
（1）甲乙丙单循环赛分出胜负的局数为，求；
（2）甲乙丙单循环赛结束，乙丙同积4分，设加赛次后乙获得小组第一名的概率为，证明：.
21. 已知双曲线的渐近线方程为，点在上.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于、两点，直线、与轴的交点分别为、，求证：线段的中点为定点.
22. 已知定义在上的函数和.
（1）求证：；
（2）设在存在极值点，求实数取值范围.