2021-2022学年广东省广州市番禺区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2021-2022学年广东省广州市番禺区八年级上学期期末数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠3＝30°，则∠2为（ ）
A．50°B．30°C．20°D．15°
2．下列长度的三根木条首尾相连，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．8，7，15C．2，2，3D．5，5，11
3．下列运算中正确的是（ ）
A．x2•x5＝x10B．（﹣x2）4＝﹣x8
C．（﹣xy2）2＝xy4D．x5÷x3＝x2
4．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
5．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ ）
A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形
6．等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数是（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
8．把代数式x2﹣4x+4分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）B．（x+2）2C．（x﹣4）2D．（x﹣2）2
9．已知实数a、b满足a+b＝0，且ab≠0，则+的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
10．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．70°B．65°C．50°D．25°
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．计算：＝ ．
12．点（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是 ．
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
15．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD＝BD＝BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE．求证：CD＝BE．
18．分解因式：
（1）x2﹣4；
（2）2a（b+c）﹣3（b+c）．
19．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）
（1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．
20．计算：（1）（﹣5y2）3；
（2）•；
（3）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．
（1）求∠CAD的大小；
（2）若BC＝3，求DE的长．
22．（1）解方程：＝；
（2）已知＝≠0，求代数式•（a﹣2b）的值．
23．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BM＝EM．
24．星期天，小明和小军在同一小区门口同时出发，沿相同路线去离该小区1800米的青少年宫参加羽毛球训练，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行前往．已知小明的速度是小军的速度的1.2倍，小明比小军提前6分钟到达，求两人的速度．
25．如本题图①，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，过点A作直线AC的垂线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AC＝2，求AB的长；
（3）如本题图②，过点A作∠DAC的角平分线交BC于点P，点D关于直线AP的对称点为E，试探究线段CE与BD之间的数量关系，并对结论给予证明．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠3＝30°，则∠2为（ ）
A．50°B．30°C．20°D．15°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠4，从而得解．
解：如图，∵∠1＝20°，∠3＝30°，
∴∠4＝∠1+∠3＝20°+30°＝50°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝50°．
故选：A．
2．下列长度的三根木条首尾相连，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．8，7，15C．2，2，3D．5，5，11
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，进行分析．
解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、2+2＞3，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．x2•x5＝x10B．（﹣x2）4＝﹣x8
C．（﹣xy2）2＝xy4D．x5÷x3＝x2
【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、x2•x5＝x7，故A不符合题意；
B、（﹣x2）4＝x8，故B不符合题意；
C、（﹣xy2）2＝x2y4，故C不符合题意；
D、x5÷x3＝x2，故D符合题意；
故选：D．
4．若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，则可得x﹣1＝0且x+2≠0，从而解决问题．
解：∵x﹣1＝0且x+2≠0，
∴x＝1．
故选：B．
5．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ ）
A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．
解：此题需动手操作，可以通过折叠再减去4个重合，得出是八边形．
故选：B．
6．等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数是（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为（180°﹣80°）＝50°．
故选：C．
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
8．把代数式x2﹣4x+4分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）B．（x+2）2C．（x﹣4）2D．（x﹣2）2
【分析】首末两项能写成两个数的平方的形式，中间项是这两个数的积的2倍，所以能用完全平方公式分解因式；
解：代数式x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．
故选：D．
9．已知实数a、b满足a+b＝0，且ab≠0，则+的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】将a+b＝0代入+＝＝计算即可．
解：∵a+b＝0，
∴+
＝
＝
＝
＝﹣2，
故选：A．
10．如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．70°B．65°C．50°D．25°
【分析】由平行可求得∠DEF，又由折叠的性质可得∠DEF＝∠D′EF，结合平角可求得∠AED′．
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．计算：＝ 1 ．
【分析】这两个分式的分母相同，直接让分子相加即可．
解：原式＝＝1．
12．点（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出点（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标．
解：点（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣2）．
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠4 ．
【分析】分式有意义，分母不能为0，即x﹣4≠0，x≠4．
解：∵x﹣4≠0，
∴x≠4．
故答案为：x≠4．
14．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC＝DF ．（只需写一个，不添加辅助线）
【分析】求出BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．
解：AC＝DF，
理由是：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC＝DF．
15．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 10 ．
【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝10，xy＝1即可求解．
解：∵x+y＝10，xy＝1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝1×10
＝10．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD＝BD＝BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是 （1）（3）（4） ．
【分析】由中垂线可得到BD是角平分线，再利用角的大小，得出线段之间的关系，进而可得出结论．
解：∵△ABC为等腰三角形，DE是AB边的中垂线，所以（1）正确；
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠BDC＝∠ABC＝72°，∠ABD＝∠A＝36°，
∴BC＝BD＝AD，（3）正确；
△BCD的周长为BC+BD+CD，∵AD＝BD，
∴△BCD的周长为AB+BC，（4）正确；
（2）中点D无法判断其是AC的中点，（2）错误
所以正确的结论为（1），（3），（4）．
故填（1），（3），（4）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE．求证：CD＝BE．
【分析】根据AB＝AC得出∠DBC＝∠ECB，利用SAS证明△BDC≌△CEB，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠DBC＝∠ECB，
∵AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即DB＝EC，
在△DBC和△ECB中，
，
∴△BDC≌△CEB（SAS），
∴CD＝BE．
18．分解因式：
（1）x2﹣4；
（2）2a（b+c）﹣3（b+c）．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式即可得到结果．
解：（1）原式＝x2﹣22
＝（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝（b+c）（2a﹣3）．
19．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）
（1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P，其坐标为（﹣3，0）．
20．计算：（1）（﹣5y2）3；
（2）•；
（3）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
【分析】（1）利用积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算；
（2）利用分式乘法运算法则进行计算；
（3）利用完全平方公式，平方差公式计算乘方和乘法，然后去括号，合并同类项进行化简．
解：（1）原式＝（﹣5）3•（y2）3
＝﹣125y6；
（2）原式＝
＝；
（3）原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2+8x+4﹣4x2+9
＝8x+13．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．
（1）求∠CAD的大小；
（2）若BC＝3，求DE的长．
【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠EAD，
又∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
设∠CAD＝x，则3x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠CAD＝30°；
（2）∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
设DC＝y，则DE＝y，BC＝3﹣y，
又∵∠B＝30°，
∴y＝，解得y＝1，
∴DE＝1．
22．（1）解方程：＝；
（2）已知＝≠0，求代数式•（a﹣2b）的值．
【分析】（1）根据分式方程的解法即可求出答案．
（2）先根据分式的乘法运算进行化简，然后将a＝2x，b＝3x代入原式即可求出答案．
解：（1）∵＝，
∴2x＝3x﹣9，
∴x＝9，
经检验，x＝9是原方程的解．
（2）由于＝≠0，
设a＝2x，b＝3x，
原式＝•（a﹣2b）
＝
＝
＝﹣．
23．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BM＝EM．
【分析】（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图；
（2）要证BM＝EM可证BD＝DE，根据三线合一得出BM＝EM．
【解答】（1）解：作图如下；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点
∴BD平分∠ABC（三线合一）
∴∠ABC＝2∠DBE
∵CE＝CD
∴∠CED＝∠CDE
又∵∠ACB＝∠CED+∠CDE
∴∠ACB＝2∠E
又∵∠ABC＝∠ACB
∴2∠DBC＝2∠E
∴∠DBC＝∠E
∴BD＝DE
又∵DM⊥BE
∴BM＝EM．
24．星期天，小明和小军在同一小区门口同时出发，沿相同路线去离该小区1800米的青少年宫参加羽毛球训练，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行前往．已知小明的速度是小军的速度的1.2倍，小明比小军提前6分钟到达，求两人的速度．
【分析】设小军的速度是x米/分，则小明速度是1.2x米/分，由题意：沿相同路线去离该小区1800米的青少年宫参加羽毛球训练，小明比小军提前6分钟到达，列出分式方程，解方程即可．
解：设小军的速度是x米/分，则小明速度是1.2x米/分，
依题意得：﹣＝6，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则1.2×50＝60，
答：小军的速度是50米/分，小明的速度是60米/分．
25．如本题图①，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，过点A作直线AC的垂线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AC＝2，求AB的长；
（3）如本题图②，过点A作∠DAC的角平分线交BC于点P，点D关于直线AP的对称点为E，试探究线段CE与BD之间的数量关系，并对结论给予证明．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC＝105°，再由∠DAC＝90°，即可得出答案；
（2）作AF⊥BC于F，由含30°角的直角三角形的性质得AF＝AC＝，再由等腰直角三角形的性质得AF＝BF，从而求出AB的长；
（3）作AF⊥BC于F，设DF＝x，则AD＝2x，AF＝x，AC＝2x，则BD＝BF﹣DF＝﹣x，由点D关于直线AP的对称点为E，得AE＝AD＝2x，可表示出CE的长，从而得出结论．
解：（1）∵∠B＝45°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝105°﹣90°＝15°；
（2）作AF⊥BC于F，
∵∠C＝30°，
∴AF＝AC＝，
∵∠ABF＝45°，
∴AF＝BF＝，
∴AB＝AF＝＝2；
（3）CE＝2BD，理由如下：作AF⊥BC于F，
∵∠DAF+∠CAF＝90°，∠CAF+∠C＝90°，
∴∠DAF＝∠C＝30°，
设DF＝x，则AD＝2x，AF＝x，AC＝2x，
∵BF＝AF＝x，
∴BD＝BF﹣DF＝﹣x，
∵点D关于直线AP的对称点为E，
∴AE＝AD＝2x，
∴CE＝AC﹣AE＝2x﹣2x，
∴CE＝2BD．