2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末考试数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末考试数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z=1+i，则在复平面内z对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是( )
A. y=sinx+π4B. y=tanxC. y=cs2xD. y=sin2x
3.在△ABC中，2a=b，C=60∘，c= 3，则a=( )
A. 12B. 1C. 3D. 2 3
4.某城市一年中12个月的月平均气温y(单位 ∘C)与月份xx=1,2,3,⋅⋅⋅,12的关系可近似地用三角函数y=a+Asinπ6x−3A>0来表示，已知月平均气温最高值为28 ∘C，最低值为18 ∘C，则A=( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
5.复数z=csα+isinα，且z2为纯虚数，则α可能的取值为( )
A. 0B. π4C. π3D. π2
6.已知直线m，直线n和平面α，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//α，n//α，则m//n
C. 若m⊥α，n//α，则m⊥nD. 若m⊥n，n//α，则m⊥α
7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P1,−2，Q3,4，则cs∠POQ=( )
A. 53B. 55C. − 53D. − 55
8.已知等边△ABC的边长为4，P为△ABC边上的动点，且满足AP⋅AB≤12，则点P轨迹的长度是( )
A. 7B. 9C. 10D. 11
9.已知函数fx=2sinωx+π3ω>0，则“fx在0,π3上既不是增函数也不是减函数”是“ω>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知点A，点B，点P都在单位圆上，且AB= 3，则PA⋅PB的取值范围是( )
A. −12,32B. −1,3C. −2,3D. −1,2
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为3,−4，则5z为__________.
12.设向量a=1,2，b=4,x，若a⊥b，则x=__________.
13.已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为_______________，圆柱的体积为_______________.
14.写出一个同时满足下列两个条件的函数fx=__________.
①∀x∈R， f(x+π2)=f(x) ；
②∀x∈R，fx≤fπ4恒成立．
15.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是线段AC上的动点(包含端点)，点E在线段B1D1上，且D1E=14B1D1，给出下列四个结论：
①存在点P，使得平面PB1D1//平面C1BD；
②存在点P，使得△PB1D1是等腰直角三角形；
③若PE≤5，则点P轨迹的长度为2 7；
④当APPC=13时，则平面PB1D1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面图形的面积为18.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知π2<α<π，sinα=45.
(1)求tanα的值；
(2)求cs2αcsα+π4的值．
17.(本小题14分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点．

(1)证明：A1B⊥平面ADC1B1；
(2)证明：B1F//平面A1BE.
18.(本小题14分)
已知在△ABC中，acsB+bcsA=2ccsA.
(1)求A的大小；
(2)若c=4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求△ABC的周长．
①△ABC的面积为5 3；②a= 13；③AB边上的高线CD长为 32.
19.(本小题14分)
已知函数fx=sin2x−π6+2cs2x−1.
(1)求fπ6的值；
(2)若函数fx的单调递增区间；
(3)若函数fx在区间0,m上有且只有两个零点，求m的取值范围．
20.(本小题15分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD=AD=2，四边形ABCD为正方形，E为AD的中点，F为SB上一点，M为BC上一点，且平面EFM//平面SCD.

(1)求证：CD⊥SA；
(2)求证：M为线段BC中点，并直接写出M到平面SCD的距离；
(3)在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，求CNCS；若不存在，说明理由．
21.(本小题15分)
对于定义在R上的函数fx和正实数T若对任意x∈R，有fx+T−fx=T，则fx为T−阶梯函数．
(1)分别判断下列函数是否为1−阶梯函数(直接写出结论)：
①fx=x2；②fx=x+1.
(2)若fx=x+sinx为T−阶梯函数，求T的所有可能取值；
(3)已知fx为T−阶梯函数，满足：fx在T2,T上单调递减，且对任意x∈R，有fT−x−fx=T−2x.若函数Fx=fx−ax−b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1,x2,x3,⋅⋅⋅直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在b∈R，使得Fx在0,2023T上有4046个零点，且x2−x1=x3−x2=⋅⋅⋅=x4046−x4045.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查共轭复数、复数的代数形式及其几何意义，属于基础题.
由共轭复数概念写出 z ，即可判断其所在象限.
【解答】
解：由题设 z=1−i ，对应点为 (1,−1) 在第四象限.
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角函数的周期性与奇偶性，属于基础题.
由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.
【解答】
解：对于A， y=sinx+π4 的最小正周期为： T=2π1=2π ，故A不正确；
对于B， y=tanx 的最小正周期为： T=π1=π ，
y=tanx 的定义域为 xx≠π2+kπ,k∈Z ，关于原点对称，令 fx=tanx ，
则 f−x=tan−x=−tanx=−fx ，所以 y=tanx 为奇函数，故B不正确；
对于C， y=cs2x 的最小正周期为： T=2π2=π ，
令 gx=cs2x 的定义域为 R 关于原点对称，
则 g−x=cs−2x=cs2x=gx ，所以 y=cs2x 为偶函数，故C正确；
对于D， y=sin2x 的最小正周期为： T=2π2=π ，
y=sin2x 的定义域为 R ，关于原点对称，令 hx=sin2x ，
则 h−x=sin−2x=−sin2x=−hx ，所以 y=sin2x 为奇函数，故D不正确.
故选：C.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.
根据余弦定理可求出结果.
【解答】
解：由余弦定理得 c2=a2+b2−2abcsC ，即 3=a2+4a2−4a2⋅12 ，得 a=1 .
故选：B
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数在实际生活中的应用，属于基础题.
根据正弦函数的最值列式可得结果.
【解答】
依题意可得 a+A=28a−A=18 ，解得 A=5 .
故选：A
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，二倍角公式，属于中档题.
根据复数代数形式的乘法运算、二倍角公式化简 z2 ，再复数的概念得到 cs2α=0 ，结合余弦函数的性质求出 α ，即可得解.
【解答】
解：因为 z=csα+isinα ，
所以 z2=csα+isinα2=cs2α−sin2α+2sinαcsαi=cs2α+sin2αi ，
因为 z2 为纯虚数，所以 cs2α=0sin2α≠0 ，所以 2α=π2+kπ ， k∈Z ，
所以 α=π4+kπ2 ， k∈Z .
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，属于中档题.
根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.
【解答】
解：对于A，若 m//α ， n⊂α ，则 m//n 或 m 与 n 异面，故A错误；
对于B，若 m//α ， n//α ，则 m//n 或 m 与 n 异面或 m 与 n 相交，故B错误；
对于C，若 n//α ，过 n 作平面 β ，使得 α∩β=l ，则 n//l ，
因为 m⊥α ， l⊂α ，则 m⊥l ，又 n//l ，则 m⊥n ，故C正确；

对于D，若 m⊥n ， n//α ，则 m//α 或 m⊂α 或 m 与 α 相交，故D错误.
故选：C.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用向量坐标运算求向量模长，余弦定理，属于基础题.
求出 |OP|,|OQ|,|PQ| ，再由余弦定理求解即可.
【解答】
解：因为O为坐标原点， P1,−2 ， Q3,4 ，
所以 |OP|= 12+22= 5 ， |OQ|= 32+42=5 ，
|PQ|= (1−3)2+(4+2)2= 4+36=2 10 ，
所以 cs ∠POQ=|OQ|2+|OP|2−|PQ|22|OQ|⋅|OP|=5+25−402× 5×5=−1010 5=− 55 .
故选：D.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的计算，属于综合题.
按照点 P 的位置分类讨论，根据数量积的定义求解.
【解答】
解：当点 P 在边 AB 上时， AP⋅AB=|AP|⋅|AB|=4|AP|≤12 ，得 |AP|≤3 ，此时点P轨迹的长度为 3 ；
当点 P 在边 AC 上时， AP⋅AB=|AP|⋅|AB|cs60∘=2|AP|≤12 ，得 |AP|≤6 ，此时点P轨迹是线段 AC ，其长度为 4 ；
当点 P 在边 BC 上时， AP⋅AB=AC+CP⋅AB =AC⋅AB+CP⋅AB
=4×4×12+|CP|⋅|AB|cs60∘ =8+2|CP|≤12 ，得 |CP|≤2 ，此时点P轨迹的长度为 2 .
所以点P轨迹的长度是 3+4+2=9 .
故选：B
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用正弦函数的单调性求参，条件关系的判断，属于综合题.
以 ωx+π3 为整体结合正弦函数的性质可得 ω>12 ，进而根据充分、必要条件分析判断.
【解答】
解：因为 x∈0,π3 且 ω>0 ，则 ωx+π3∈π3,π3ω+π3 ，
若 fx 在 0,π3 上既不是增函数也不是减函数，
则 π3ω+π3>π2 ，解得 ω>12 ，
又因为 1,+∞ ⊆12,+∞ ，
所以“ fx 在 0,π3 上既不是增函数也不是减函数”是“ ω>1 ”的必要不充分条件.
故选：B.
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的减法运算、向量的数量积计算，余弦函数的值域，属于综合题.
设 AB 的中点为 E ，得 |OE|=12 ， ∠AOB=120∘ ，将 PA⋅PB 化为 12−cs∠POE ，根据 −1≤cs∠POE≤1 可得结果.
【解答】
解：设 AB 的中点为 E ，因为 |OA|=|OB|=1 ， |AB|= 3 ，
所以 |OE|=12 ， ∠AOB=120∘ ，
PA⋅PB =(OA−OP)⋅(OB−OP) =OA⋅OB−OP⋅(OA+OB)+|OP|2
=1×1×−12−OP⋅2OE+1
=−12+1−2×1×12cs∠POE =12−cs∠POE ，
因为 −1≤cs∠POE≤1 ，所以 −12≤PA⋅PB≤32 .

故选：A
11.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查复数的代数形式、复数的模，复数的除法运算，属于中档题.
根据复平面内的点与复数的对应关系可知复数 z ，再利用复数的四则运算法则与模的定义即可求解.
【解答】
解：由已知得该复数 z=3−4i ，
则 5z=53−4i=53+4i3−4i3+4i=35+45i= 352+452=1 ，
故答案为：1.
12.【答案】 −2
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积与向量的垂直关系，属于基础题.
根据平面向量垂直的坐标表示列示可得结果.
【解答】
解：因为 a=(1,2) ， b=(4,x) ，且 a⊥b ，
所以 4+2x=0 ，得 x=−2 .
故答案为： −2 .
13.【答案】2 ； 36π
【解析】【分析】
本题考查球的切接问题，圆柱与球的体积，属于基础题.
根据球的体积公式求出球的半径，根据相切得圆柱的高，根据圆柱的体积公式可得结果.
【解答】
解：设球的半径为 R ，则 4π3R3=32π3 ，得 R=2 ，
则圆柱的高为 2R=4 ，
所以圆柱的体积为 π⋅32⋅4=36π .
故答案为： 2 ； 36π .
14.【答案】−cs4x(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查三角函数的周期性和最值，属于中档题.
条件①说明是周期函数，条件②说明函数在 x=π4 上取到最大值，可以从三角函数这个角度考虑.
【解答】
解：由 ∀x∈R ， f(x+π2)=f(x) 可知，函数的周期为 π2 ，
由 ∀x∈R ， fx≤fπ4 恒成立可知，函数在 x=π4 上取到最大值，
则 f(x)=−cs4x 满足题意，
一方面根据余弦函数的周期公式， T=2π4=π2 ，满足 ∀x∈R ， f(x+π2)=f(x) ，
另一方面， fπ4=−csπ=1=f(x)max ，满足 ∀x∈R ， fx≤fπ4 恒成立.
故答案为： −cs4x (答案不唯一)
15.【答案】①③④
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的截面问题，面面平行的判定，属于综合题.
①利用面面平行的判定定理求解，②根据余弦定理求解③分析点P在 AC 上运动时 PE 的变化情况即可求解，④根据图中的几何关系作出平面 PB1D1 截正方体 ABCD−A1B1C1D1 截面即可求解.
【解答】
解：对于①，当点 P 和点 A 重合时，平面 PB1D1// 平面 C1BD ，
连接 A1C1 交 B1D1 于点 O1 ，连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 C1D ， C1B ， C1O ， AO1 ，
∵O1C1 //PO ，且 O1C1=PO ，∴四边形 O1POC1 平行四边形，∴O1P //C1O ，
∵O1P⊄ 平面 C1BD ， C1O⊂ 平面 C1BD ，∴O1P //C1BD ，
∵B1D1 //BD ， B1D1⊄ 平面 C1BD ， BD⊂ 平面 C1BD ，∴B1D1 //平面C1BD ，
又∵B1D1∩PO1=O1 ， B1D1 ， PO1⊂ 平面 PB1D1 ，∴PB1D1// 平面 C1BD ；
故①正确；
对于②，
由几何关系可知 PD1=PB1 ，要使 △PB1D1 是等腰直角三角形，则 PD1⊥PB1 ，
当点P在点O时∠D1PB1最大，此时|D1P|=|B1P|=2 6，cs∠D1PB1=24+24−322×2 6×2 6=13≠0，则不存在点P，使得 △PB1D1 是等腰直角三角形，故②不正确；
对于③，因为 D1E=14B1D1= 2 ，
得 EA=EC= 26>5 ，则P轨迹是在 AC 上的线段，不包括端点 A 、 C ，如下图所示，
由已知得△EAC 为等腰三角形，则△EAC 底边上的高 EH= 3 2<5 ，随着P向点 C 运动， EP 逐渐减小，
故在线段 AH 上存在一点P使得 EP=5 ，
同理可知靠近点 C 处也存在一点P使得 EP=5 ，
设线段 PE=5 ，由勾股定理可知 PH= 7 ，所以点P轨迹的长度为 2 7 ，故③正确；
对于④，连接 BD ，过点 P 作 BD 的平行线交 AB,AD 于点 M,N ，连接 B1M,D1N ，
则 MND1B1 为平面 PB1D1 截正方体 ABCD−A1B1C1D1 所得的截面图形，
由已知得 AP=14AC= 2 ，由△AMN ∽△ABD 可知 MN=2 2 ，
又因为 MB1=ND1=2 5 ，且 MN //B1D1 ，所以四边形 MND1B1 为等腰梯形，
其中梯形的高 h=3 2 ，所以截面面积为 122 2+4 2×3 2=18 ，故④正确；
故答案为：①③④
16.【答案】解：(1)因为 sin2α+cs2α=1 ， sinα=45 ，
所以 cs2α=925 ， csα=±35 .
又因为 π2<α<π ，所以 csα=−35 .
所以 tanα=sinαcsα=−43 .
(2)因为 sinα=45 ， csα=−35 ，
所以 cs2αcsα+π4=cs2α−sin2α 22csα−sinα= 2csα+sinα= 25

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式等，属于中档题.
(1)先利用 sin2α+cs2α=1 结合已知求出 csα ，然后利用 tanα=sinαcsα 可求得结果；
(2)利用二倍角公式和两角和的余弦公式对已知式子化简，然后代入计算即可.
17.【答案】解：(1)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1C1⊥ 平面 ABB1A1 .

因为 A1B⊂ 平面 ABB1A1 ，所以 B1C1⊥A1B .
因为 A1ABB1 为正方形，所以 A1B⊥AB1 ，
又因为 B1C1∩AB1=B1 ， B1C1,AB1⊂ 平面 ADC1B1 ，
所以 A1B⊥ 平面 ADC1B1 ；
(2)设 AB1∩A1B=O ，连接OE.
因为 ABCD−A1B1C1D1 为正方体，所以 B1A//C1D ，且 B1A=C1D ，
所以 B1O//C1D ，且 B1O=12C1D .
因为E，F分别 DD1 ， C1D1 的中点，所以 EF//C1D ，且 EF=12C1D .
所以 EF//B1O ，且 EF=B1O .
所以四边形 B1OEF 为平行四边形．所以 B1F//OE .
又因为 B1F⊄ 平面 A1BE ， OE⊂ 平面 A1BE ，
所以 B1F// 平面 A1BE .

【解析】本题考查线面平行、线面垂直的判定，属于中档题.
(1)根据正方体的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可；
(2)根据正方体的性质，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可.
18.【答案】解：(1)由正弦定理 asinA=bsinB=csinC ，得 sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA .
所以 sinA+B=2sinCcsA .
因为 A+B+C=π ，所以 sinA+B=sinC ，所以 sinC=2sinCcsA .
因为 C∈0,π ， sinC≠0 ，所以 2csA=1 ，即 csA=12 .
又因为 A∈0,π ，所以 A=π3 .
(2)选择①
因为 S△ABC=5 3 ，即 12bcsinA=5 3 ，
即 12×b×4× 32=5 3 ，所以 b=5 .
又因为 a2=b2+c2−2bccsA ，即 a2=25+16−2×5×4×12 ，
所以 a= 21 ，所以 △ABC 的周长为 9+ 21 .
若选择②，因为 csinA=4sinπ3=2 3a ，
所以 △ABC 不唯一，所以②不合题意，
选择③
因为AB边上的高线CD长为 32 ，即 bsinA= 32 ，所以 b=1 .
又因为 a2=b2+c2−2bccsA ，即 a2=1+16−2×1×4×12
所以 a= 13 ，所以 △ABC 的周长为 5+ 13 .

【解析】本题考查利用正、余弦定理解三角形，三角形面积公式，两角和的正弦公式，属于中档题.(1)利用正弦定理将已知的等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简计算即可；
(2)若选①，则由三角形的面积公式结合已知条件可求出 b ，再利用余弦定理求出 a ，从而可求出三角形的周长，若选②，由 a,c,A 不能确保三角形唯一，所以不合题意，若选③，由AB边上的高线CD长可求出 b ，再利用余弦定理求出 a ，从而可求出三角形的周长.
19.【答案】解：(1)fπ6=sinπ6+2cs2π6−1=1 .
(2)fx=sin2x−π6+2cs2x−1= 32sin2x−12cs2x+cs2x
= 32sin2x+12cs2x=sin2x+π6 ，
由 −π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ ， k∈Z ，
得 −π3+kπ≤x≤π6+kπ ， k∈Z ，
所以 fx 的单调递增区间是 −π3+kπ,π6+kπk∈Z .
(3)因为 x∈0,m ，所以 2x+π6∈π6,2m+π6 .
依题意 2π≤2m+π6<3π ，解得 11π12≤m<17π12 .
所以m的取值范围为 11π12,17π12 .

【解析】本题考查正弦型函数的零点与单调区间，三角恒等变换的综合应用，属于中档题.
(1)直接根据解析式计算可得结果；
(2)化简 f(x) ，根据正弦函数的单调递增区间可得结果；
(3)根据正弦函数的图象列式可得结果.
20.【答案】解：(1)因为四边形 ABCD 为正方形，所以 CD⊥AD .
因为平面 SAD⊥ 平面 ABCD ，平面 SAD∩ 平面 ABCD=AD ， CD⊂ 平面 ABCD ，
所以 CD⊥ 平面 SAD ，
又 SA⊂ 平面 SAD ，所以 CD⊥SA .
(2)因为平面 EFM// 平面SCD，平面 EFM∩ 平面 ABCD=EM ，
平面 SCD∩ 平面 ABCD=CD ，所以 CD//EM ，
又因为E为AD的中点，所以M为线段BC中点．
由(1)知， CD⊥ 平面 SAD ，又 CD⊂ 平面 SCD ，
所以平面 SCD⊥ 平面 SAD ，平面 SCD∩ 平面 SAD=SD ，所以点 E 到平面 SCD 的距离等于点 E 到 SD 的距离，
因为 SA=SD=AD=2 ，所以 △SAD 为正三角形，又 E 为 AD 的中点，
所以点 E 到 SD 的距离为 32 ，因为平面 EFM// 平面SCD，
所以点M到平面SCD的距离为 32 .
(3)存在，当N为SC中点时，平面 DMN⊥ 平面 ABCD ，
证明如下：
连接EC，DM交于点O，连接SE.
因为 ED//CM ，并且 ED=CM ，所以四边形EMCD为平行四边形，所以 EO=CO .
又因为N为SC中点，所以 NO//SE .
因为平面 SAD⊥ 平面ABCD，平面 SAD∩ 平面 ABCD=AD ，
又 SE⊂ 平面SAD，由已知 SE⊥AD ，
所以 SE⊥ 平面ABCD，所以 NO⊥ 平面ABCD.
又因为 NO⊂ 平面DMN，所以平面 DMN⊥ 平面ABCD.
所以存在点N，使得平面 DMN⊥ 平面ABCD， CNCS=12 .

【解析】本题考查面面垂直的判定与性质，线面垂直的判定，面面平行的性质，点到面的距离，属于综合题.
(1)根据面面垂直的性质定理推出 CD⊥ 平面 SAD ，再根据线面垂直的性质可得 CD⊥SA ；
(2)根据面面平行的性质定理得 CD//EM ，结合E为AD的中点，可得M为线段BC中点．转化为求点 E 到平面 SCD 的距离可求出结果；
(3)当N为SC中点时，证明 SE⊥ 平面ABCD，结合 NO//SE ，可得平面 DMN⊥ 平面 ABCD .
21.【答案】解：(1)fx=x2 ，则 f(x+1)−f(x)=(x+1)2−x2=2x+1≠1 ； fx=x+1 ，则 f(x+1)−f(x)=x+1−x=1 ，故①否；②是.
(2)因为 f(x) 为 T− 阶梯函数，所以对任意 x∈R 有：
fx+T−fx=x+T+sinx+T−x+sinx=sinx+T−sinx+T .
所以，对任意 x∈R ， sinx+T=sinx ，
因为 y=sinx 是最小正周期为 2π 的周期函数，
又因为 T>0 ，所以 T=2kπ ， k∈N* .
(3)a=1 .
函数 Fx=fx−x−b ，则有：
Fx+T=fx+T−x+T−b=fx+T−x+T−b=fx−x−b=Fx ，
FT−x=fT−x−T−x−b=fx+T−2x−T−x−b=fx−x−b=Fx .
取 b=f3T4−3T4 ，则有：
F3T4=f3T4−3T4−b=0 ， FT4=FT−T4=F3T4=0 ，
由于 fx 在 T2,T 上单调递减，因此 Fx=fx−x−b 在 T2,T 上单调递减，
结合 FT−x=Fx ，则有：
Fx 在 0,T2 上有唯一零点 T4 ，在 T2,T 上有唯一零点 3T4 .
又由于 Fx+T=Fx ，则对任意 k∈Z ，有：
FT4+kT=FT4=0 ， F3T4+kT=F3T4=0 ，
因此，对任意 m∈Z ， Fx 在 mT,m+1T 上有且仅有两个零点： mT+T4 ， mT+3T4 .
综上所述，存在 b=f3T4−3T4 ，使得 Fx 在 0,2023T 上有4046个零点：
x1=T4 ， x2=3T4 ， x3=5T4 ， x4=7T4 ，…， x4045=8089T4 ， x4046=8091T4 ，
其中， x2−x1=x3−x2=⋅⋅⋅=x4046−x4045=T2 .

【解析】本题考查函数的新定义问题，正弦函数的周期性，函数零点的个数，属于综合题.
(1)验证 f(x+1)−f(x)=1 是否成立即可；
(2)根据 f(x+T)−f(x)=T ，正弦函数的周期即可推出 T 所满足的表达式；
(3)根据 T− 阶梯函数的定义，先找出 F(x) 的性质，然后确定在一个周期 [0,T] 上的零点情况，从而推广得到 0,2023T 上零点的情形.