(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 1.1.1空间向量及其线性运算（精练）（原卷版+解析）

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1.1.1空间向量及其线性运算（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．如图，在空间四边形中，（       ）A． B． C． D．2．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（       ）A． B．C． D．3．如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则等于（       ）A． B．C． D．4．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（       ）A． B．C． D．5．已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是(       )A． B． C． D．或6．已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（       ）A． B． C． D．7．平行六面体中，若则（       ）A． B． C． D．8．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（       ）A． B． C． D．二、多选题9．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（       ）A．；B．；C．；D．10．下列命题中是假命题的为（       ）A．若向量，则与，共面B．若与，共面，则C．若，则，，，四点共面D．若，，，四点共面，则三、填空题11．如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．12．在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________.四、解答题13．如图，在四面体中，点、分别为、的中点，问：与、是否共面？14．如图所示，在平行六面体中，为的中点.（1）化简：；（2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值.B能力提升1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（       ）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D2．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（       ）A．若可以构成空间的一组基，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基C．已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基，则，，，四点共面D．已知是空间的一组基，若，则不是空间的一组基3．边长为4的正方体内（包含表面和棱上）有一点，，分别为，中点，且．若，则______；若，则三棱锥体积为______．4．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，（1）；（2）；（3）；（4）存在实数，，使得．则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．C综合素养1．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.2．如图，在正方体中，为其中心． （1）化简；（2）若，则可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）1.1.1空间向量及其线性运算（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．如图，在空间四边形中，（       ）A． B． C． D．【答案】A根据向量的加法、减法法则得.故选：A.2．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（       ）A． B．C． D．【答案】B.故选：B3．如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则等于（       ）A． B．C． D．【答案】B由已知可得，故选：.4．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（       ）A． B．C． D．【答案】C由题意，，分别是，的中点，所以故选：C5．已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是(       )A． B． C． D．或【答案】C，与、不能构成空间基底；故选：C．6．已知平面ABCD外任意一点O满足，．则取值是（       ）A． B． C． D．【答案】A由向量共面定理可知：，解得：.故选：A7．平行六面体中，若则（       ）A． B． C． D．【答案】B因为，又因为且等式右边的三个向量不共面，故可得，解得，故可得.故选：B.8．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（       ）A． B． C． D．【答案】B由题意， ，，∵，，共面，∴在在实数唯一实数对，使得，，∴，解得．故选：B．二、多选题9．在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（       ）A．；B．；C．；D．【答案】AB如图正方体中：选项A: ，正确；选项B：，正确；选项C：，错误；选项D：，错误.故选：AB10．下列命题中是假命题的为（       ）A．若向量，则与，共面B．若与，共面，则C．若，则，，，四点共面D．若，，，四点共面，则【答案】BD对于选项A：由平面向量基本定理得与，共面，A是真命题；对于选项B：若，共线，不一定能用，表示出来，B是假命题；对于选项C：若，则三个向量在同一个平面内，，，，四点共面，C是真命题；对于选项D：若，，共线，点P不在此直线上，则不成立，D是假命题；故答案为：BD三、填空题11．如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______．【答案】解：因为四棱锥中，四边形为菱形，所以，所以，所以．所以，，，故．故答案为：12．在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________.【答案】由题意可知，，所以，所以.故答案为：.四、解答题13．如图，在四面体中，点、分别为、的中点，问：与、是否共面？【答案】共面，理由见解析.，且、分别为、的中点，所以，.因此，与、共面.14．如图所示，在平行六面体中，为的中点.（1）化简：；（2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值.【答案】（1）；（2）、、.（1）（2），、、.B能力提升1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（       ）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A因为，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.2．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（       ）A．若可以构成空间的一组基，向量与共线，，则也可以构成空间的一组基B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一组基C．已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一组基，则，，，四点共面D．已知是空间的一组基，若，则不是空间的一组基【答案】ABC对B，根据基向量的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，故B是真命题．对C，由，，不能构成空间的一组基，知，，共面，又，，有公共点，所以，，，四点共面，故C是真命题．对A，假设向量与，共面，则存在实数，，使得，又向量与共线，，∴存在实数，使得，∵，∴，从而，∴与，共面，与条件矛盾，∴向量与，不共面，即A是真命题．对D，假设是空间的一组基，则不存在满足，所以不存在满足，是空间的一组基，不存在满足，假设成立， D是假命题．故选：ABC．3．边长为4的正方体内（包含表面和棱上）有一点，，分别为，中点，且．若，则______；若，则三棱锥体积为______．【答案】     ##     如图，空1：,所以，所以.空2：，，因为，所以，所以，所以，所以故答案为：（1）；（2）.4．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，（1）；（2）；（3）；（4）存在实数，，使得．则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．【答案】（1）（3）【详解】解：（1）是线段的中点，，正确；（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；（3），因此正确；（4）、分别是线段、的中点，，与平面不平行，不存在实数，，使得．综上可得：只有（1）（3）正确．故答案为：（1）（3）．C综合素养1．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.【答案】为定值4；证明见解析；联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，则.联结DM，点，，，M共面，故存在实数，满足，即，因此，由空间向量基本定理知，，故，为定值.2．如图，在正方体中，为其中心． （1）化简；（2）若，则可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）【答案】（1）；（2）可以是中的任一个．解：（1），（2）因为，所以．所以，所以．又因为，所以可以是中的任一个．