四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三下学期入学考试理科数学试题

这是一份四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三下学期入学考试理科数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：王秀容 审题人：张丛林
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（ ）
A． B．1 C． D．4
3．执行如图所示的程序框图，输出的（ ）
A．25 B．22 C．18 D．
4．已知向量，，，满足，，，且，则（ ）
A．5 B． C． D．10
5．设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则（ ）
A．31 B． C．15 D．
6．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16．将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的必要条件但不是充分条件 B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知曲线，的一条渐近线与圆交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．14 B．36 C．26 D．50
10．已知函数的图象与直线有3个交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在四棱锥中，，四边形为平行四边形，。且，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数为偶函数，则实数________．
14．若，满足约束条件，则的最小值为________．
15．如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为________；
16．已知正四棱锥的顶点均在球的表面上．若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，，，．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛．
（1）完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？
（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望．
附：，．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为，的直线与抛物线交于，两点，且，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，求证：当时，恰有两个零点．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
22．已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线的参数方程是（为参数，为直线的倾斜角），与交于，两点，，求的斜率．
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若，且，求的最小值．
绵阳南山中学高2021级高三下期入学考试试题
理科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1—5：BCADA 6—10：BACDC 11—12：AD
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．0 14． 15．3 16．
三、解答题：共70分。
17．解（1）（1）当时，，，当时，，，
两式相减，得，，又，所以数列为等比数列，首项为2，公比为3，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，，
则有，
两式相减得：，于是得，因为且，，，
当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，
因此．
18．解（1）如图，连接，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以，所以，
同理，又，，
所以，又，
所以．
（2）由平面几何知识可知，，
以为坐标原点，以，，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，
设平面的法向量为，则，令，得．
又平面的法向量为，，
所以二面角的正弦值为．
19．解（1）根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为人，
可得得列联表如下：
根据列联表中的数据计算得
根据小概率值的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联．
（2）按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则的可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
期望值．
20．解（1），准线为，点分别向轴和准线做垂线，垂足为，
则，，所以，又点在抛物线上，
所以，即，解得或（舍），
所以抛物线的方程为．
（2）点在上，所以，解得，所以，设，，
，同理，，所以，即，
设直线为，则，即，
所以，，所以，
解得，代入到直线方程，
得，即，当，即时，，
所以直线过定点．
21．解（1）．
当时，，在上单调递减．
当时，在上，有，在上，有，
故在上单调递减，上单调递增．
当时，，，在上单调递增．
当时，，，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增．
当时，在上单调递增．
当时，在上单调递减．
（2）时，．令，
则．令，．
（ⅰ）当时，恒成立，在上单调递增．又，
∴存在一个零点，，使．
（ⅱ）当，恒成立，在上单调递减．又，
．存在零点，使．，，，．
在上单调递增，上单调递减．又，．，
∴存在一个零点，，使．
（ⅲ）当，恒成立．在单调递减．
恒成立．在没有零点．
（ⅳ）当时，
下面来证明当时，．设．．
在上单调递增，，，
恒成立．综上所述，在只有两个零点．
又是由向右平移一个单位所得，
在只有两个零点．
22．解（1）由题意可得：圆的普通方程为，
将，，代入普通方程，得，
故圆的极坐标方程为．
（2）由题意可知：直线过坐标原点，倾斜角为的直线，
在极坐标系中，直线的极坐标方程为，
设，所对应的极径分别为，．
将的极坐标方程代入的极坐标方程得，
于是，，
可得，则，
且，则，可得，即，
所以的斜率．
23．（1）解法一：
当时，，
此时单调递增，所以的最小值为16；
当时，，此时单调递增，
故；
当时，，
此时单调递减，所以的最小值为，
综上，的最小值为8，故；
解法二：
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为8，故；
（2），
当且仅当，即或时等号成立，
所以的最小值为4男
女
合计
喜爱看足球比赛
不喜爱看足球比赛
合计
60
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
喜爱看足球比赛
50
10
60
不喜爱看足球比赛
10
30
40
合计
60
40
100
0
1
2