（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第24练 空间向量及其应用（原卷版+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．直三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
7．已知直三棱柱各棱长均相等，点D，E分别是棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知向量，，，若，则实数（ ）
A．－2B．2C．1D．－1
9．如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
11．若，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若与不平行，且，则平面内不存在与平行的直线
B．若，，，则
C．若，，，则
D．存在两条异面直线，，使得，，且，
12．若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A．B．17C．1D．
13．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直B．与垂直
C．与平行D．与平行
14．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标为
B．若平面的法向量，则直线平面
C．若，分别为平面，的法向量，则平面平面
D．点到直线的距离为
三、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．
(1)设为中点，求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
第24练 空间向量及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．直三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由已知得，
故选：A.
2．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：B
3．已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，且，
由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故选：A.
4．在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】

.
故选：D
5．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
【答案】A
【详解】
解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，
根据正方体的性质可得面即为平面，
对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；
对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；
其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面；
故选：A
6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【详解】
在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
7．已知直三棱柱各棱长均相等，点D，E分别是棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设直三棱柱的棱长为1，则，
点D，E分别是棱，的中点，
，，
，
所以．
所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为．
故选：A．
8．已知向量，，，若，则实数（ ）
A．－2B．2C．1D．－1
【答案】B
【详解】
，因为，所以，所以，所以2.
故选：B
9．如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，
因为，所以，又，所以，
,，
则，
所以，
取中点E，连接，则，，
,,
在中，，即，
所以，即，
又因为，所以，
因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．
故选：D．
10．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故选：D.
二、多选题
11．若，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若与不平行，且，则平面内不存在与平行的直线
B．若，，，则
C．若，，，则
D．存在两条异面直线，，使得，，且，
【答案】ABD
【详解】
对于A，若平面内存在与平行的直线，则，与已知矛盾，故A正确；
对于B，由线面平行的性质定理易知B正确；
对于C，，可能平行，也可能相交，所以C错误；
对于D，若，易知D正确.
故选：ABD.
12．若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A．B．17C．1D．
【答案】BD
【详解】
由题意得
解得或
故选：BD
13．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直B．与垂直
C．与平行D．与平行
【答案】ABC
【详解】
如图所示，易知是中点，又分别是的中点，根据向量的运算：
，显然不共线，故，又，故，于是A，C正确；
又，且，故，故B正确；
若，结合，根据平行的传递性，可知，又，则，显然是错误的，故D错误.
故选：ABC.
14．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标为
B．若平面的法向量，则直线平面
C．若，分别为平面，的法向量，则平面平面
D．点到直线的距离为
【答案】ACD
【详解】
解：对于A：因为，所以点关于平面对称的点的坐标为，故A正确；
对于B：因为，，所以，因为平面的法向量，所以，所以直线与平面不平行，故B错误；
对于C：因为、，所以，因为，分别为平面，的法向量，所以平面平面，故C正确；
对于D：因为，，所以，所以点到直线的距离，故D正确；
故选：ACD
三、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．
(1)设为中点，求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】(1)
证明：取中点，连接、，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
(2)
解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．
分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面法向量为，则，，
即，令，得到平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
16．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
【解析】(1)
证明：∵底面，，
故以为原点，分别为轴､轴､轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则､､､､､，
所以，，，
则，，即，，
又，所以平面
(2)
由(1)知，，，
设平面AEB的一个法向量为，则，，
即，令，可得，
设平面的一个法向量为，则，，
即，令，可得，，
所以平面与平面锐二面角的大小为