（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第10讲 导数与函数的单调性（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
考点和典型例题
【典例1】不含参函数的单调性
1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是( )
A．B．C．D．
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数
(1)当时，讨论的单调区间；
(2)当时，若有两个零点，且，求证：.
5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，（且）.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.
【典例2】含参函数的单调性
1．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有极大值点和极小值点B．当时，无极大值点和极小值点
C．当时，有最大值D．当时，的最小值小于或等于0
4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知，则（ ）
A．当，，时，
B．当，，时，
C．当，，时，
D．当，，时，
5．（2022·广东佛山·三模）已知函数，其中，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，是的零点，过点作曲线的切线，试证明直线也是曲线的切线．
【典例3】根据函数的单调性求参数
1．（2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数
(1)求函数的极值；
(2)设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【典例4】函数单调性的应用
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山东威海·三模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性，并求函数的极值；
(2)证明：对任意，都有．条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
第10讲 导数与函数的单调性
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
考点和典型例题
1、不含参函数的单调性
【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数
(1)当时，讨论的单调区间；
(2)当时，若有两个零点，且，求证：.
【解析】(1)
当时，
所以，当时，在上增，在上减；
当时，在上减，在上增.
(2)
方法一：参数分离
有两个不同的零点
令，则
令得
当时，，所以：在递增；
当时，，所以：在递减.显然时，.
作出的图象如下：
所以：∴，
所以：，所以，；
下面证明：.要证：，因为
所以：
由（1）得.所以，原不等式得证.
综上所述：.
方法二：部分参数分离
零点.
从而为的图像与交点的横坐标.对给定的a，令使得，即，
得，存在且唯一，此时的图像与有唯一交点.
又，由（1）得，当时，，所以，
（这里要说明）又因为成立.
5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，（且）.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)增区间为，减区间为(2)
【解析】(1)
当时，，
当时，，当时；
故的单调递增区间为，递减区间为.
(2)由题意知在有两个不等实根，
，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
又，，，，，，
作出的图象如图所示：
由图可知，解得且，
即a的取值范围为.
含参函数的单调性
【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：由已知可得即为，
设，，
则，
当时，显然，当时，在上也成立，
所以时，在上单调递减，恒成立；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，存在，使得，不满足，舍去此情况，
综上所述，.
故选：A.
3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有极大值点和极小值点B．当时，无极大值点和极小值点
C．当时，有最大值D．当时，的最小值小于或等于0
【答案】D
【详解】
由题设，且，
当时，则在上递增，无极值点和最大值，A、C错误；
当时，若则，递减；则，递增；
所以，即无极大值点，有极小值点，B错误；
令且，则，
当时，递增；当时，递减；
所以，即的最小值小于或等于0，D正确；
故选：D
4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知，则（ ）
A．当，，时，
B．当，，时，
C．当，，时，
D．当，，时，
【答案】AC
【详解】
设，
因为，
所以，当，时，
，即.
易知，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故选项A正确，选项B错误.
当，时，，即.
当时，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故选项C正确，选项D错误.
故选：AC.
5．（2022·广东佛山·三模）已知函数，其中，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，是的零点，过点作曲线的切线，试证明直线也是曲线的切线．
【解析】(1)
解：因为定义域为，
所以，
①当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，没有减区间；
②当时，令时，，
且，
令得，所以的增区间为．
令得，所以的减区间为
(2)
解：当时，是的零点，所以
即
由得，由得．
所以过点作曲线的切线的方程为
（*）
假设曲线在点的切线与斜率相等，
所以，所以，即
把代入（*）式得
所以点在切线上．
所以直线也是曲线的切线
根据函数的单调性求参数
【典例3-1】1．（2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，即，
令，由题意得在上单调递减，
故，即在上恒成立，则，
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
函数在区间 内有意义，
则，
设则 ，
( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使 在区间内内单调递增，
则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立；
因为时，所以与矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当时，是减函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使在区间内内单调递减，
则需使 对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，
所以，
又，所以.
综上，的取值范围是
故选：B
3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
若函数是上的单调函数，只需在上恒成立，
即，
∴．故的取值范围为．
故选：B.
4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为导函数的图象为直线，且，
所以函数为过原点的二次函数，
设，
所以由导函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
又由，得，
则，
，
所以，，
所以，
故选：C
5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数
(1)求函数的极值；
(2)设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)
函数定义域为R，求导得，当时，，当时，，
因此，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数有极大值1，无极小值.
(2)令，即，
则，
依题意，两个不等的实数满足，且不等式恒成立，
不妨令，由(1)知，在上递增，在上递减，且当时，恒成立，而，
因此有，由知，，，则有，而在上递减，
从而有，即，两边取对数得：，
即，，令，，
，
当时，，则在上单调递增，，符合题意，
当时，即，当时，，在上单调递减，
当时，，不符合题意，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
函数单调性的应用
【典例4-1】1．（2022·全国·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意知方程有两个不同的实数根，
令，作出的图象如图所示，
数形结合可知直线与函数的图象在上有两个不同的交点．
当直线与函数的图象相切时，设切点为，
则，，则①，
当时，，则②，
由①②可得，，
∴，得，
故选：A．
2．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
依题意，．令，故．
令，则，
故在上单调递增，且，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，故．
由，得，即，即，故．因为函数在上单调递增，所以，，故，解得.
故选:A．
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：因为的定义域为R，，所以函数为奇函数，
因为，所以函数在R上单调递增.
因为有解，即有解，
所以有解，由函数在R上单调递增，可得有解.
解法一：令，则.
①当时，，函数在R上单调递增，，符合题意；
②当时，，不符合题意；
③当时，令，得；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此，，
解得.综上，实数的取值范围为.
解法二:若，则有解. 令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，即.
若，则有解，易知恒小于零，
所以，即.若，则，不符合题意.综上，实数的取值范围为.
解法三：若，如图，在同一平面直角坐标系内作出与的图象，
当直线与函数的图象相切时，设切点为，则切线方程为，再结合切线过原点得，故，
由有解，得函数的部分图象在直线的下方，
所以，数形结合可知.
若，易知函数的图象必有一部分在直线的下方，符合题意.
若，由函数的单调性可知，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
故选：D
4．（2022·山东威海·三模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
【解析】(1)
，
当时，，
令，解得；令，解得或，
所以的单增区间为；单减区间为，．
(2)证明①：由题意知，是的两根，则，
，
将代入得，，
要证明，
只需证明，
即，
因为，所以，
只需证明，
令，则，只需证明，即，
令，
，
所以在上单调递减，可得，
所以，
综上可知，．
证明②：
设，
因为有两个极值点，所以，
解得，
因为，
所以，
，
由题意可知，
可得代入得，，
令，
，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调速增，
因为，所以，
由，
可得，所以，
所以，
所以，即．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性，并求函数的极值；
(2)证明：对任意，都有．
【解析】(1)
因为，所以，
由得或，由得，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
因此，．
(2)要证对任意，都有，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立.
构造函数，.
因为在上恒成立，所以在上是增函数，故，
即，当且仅当时等号成立，
因为，所以，
所以只需证对任意恒成立，
即证对任意恒成立．
令，，
则，
因此在上是增函数，所以当时，
．
所以当时，恒成立．
故对任意，都有．
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数