湖南岳阳临湘市第六中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题

这是一份湖南岳阳临湘市第六中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题，共20页。试卷主要包含了如图△ABC中，∠A等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（8小题，共32分）
1．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知△ABC的三边分别为a、b、c，且+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积为（ ）
A．30B．60C．65D．无法计算
6．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（ ）度。
A．180B．270C．360D．540
第6题 第7题 第8题
7．如图，在▱ABCD中，E是AD边的中点，BE平分∠ABC．若AB＝2，则▱ABCD的周长是（ ）
A．11B．12C．13D．14
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，AB＝8，D、E分别是AB与AC的中点，则DE的长为（ ）
A．5B．4C．2D．2
二．填空题（8小题，共32分）
9．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ 。
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝40°，那么∠A＝ 。
11．如图，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝30°，则此平行四边形的面积是 。
12．将一副直角三角尺按如图所示放置，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，BC＝2，则AB的长为 。
第12题 第14题 第16题
一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 。
14.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是 。
15．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有______条对角线。
16．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAC＝90°，AD＝15，OC＝6，则△BOC的面积为 。
三．解答题（6小题，共56分）
17．（8分）已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？
18．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠C＝75°，∠ADE为四边形ABCD的一个外角，且∠ADE＝125°，试求出∠B的度数。
19．（10分）在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE、BF，
求证：DE＝BF
20.（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE
21.（10分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝400+400千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）
（10分）把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
（1）如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝ ；若AB∥OC时，则α＝ ；请写出证明过程。
（2）如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝ ；请说明理由。
2022年上学期临湘六中月月清测试卷八年级数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据三角形的面积和定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41°B．42°C．43°D．44°
【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据线段的线段的垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠C，由直角三角形的性质得出∠C+∠BAC＝90°，求出x即可．
【解答】解：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝7x°，
∵∠B＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴7x+7x+x＝90，
解得：x＝6，
∴∠C＝7×6°＝42°，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线的性质求出AE＝CE是解题的关键．
4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．已知△ABC的三边分别为a、b、c，且+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积为（ ）
A．30B．60C．65D．无法计算
【分析】先根据非负数的性质得到△ABC的三边a、b、c的长，再根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
解得a＝5，b＝12，c＝13，
∵52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积为5×12÷2＝30．
故选：A．
【点评】考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理和三角形的面积的综合运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（ ）度．
A．180B．270C．360D．540
【分析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知能把，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6全部转化到∠2，∠3所在的四边形中，利用四边形内角和为360度可得答案．
【解答】解：如图所示，
∵∠4+∠6＝∠7，∠1+∠5＝∠8，
又∵∠3+∠2+∠7+∠8＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和为360°．
7．如图，在▱ABCD中，E是AD边的中点，BE平分∠ABC．若AB＝2，则▱ABCD的周长是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【分析】因为ABCD为平行四边形，故AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，故△ABE为等腰三角形，AE＝AB＝2，可知AD＝4，继而可求出▱ABCD的周长．
【解答】解：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，
又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，
故△ABE为等腰三角形，
∴AE＝AB＝2，可知AD＝4，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝12．
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，属于基础题，关键是判断出△ABE为等腰三角形，要求我们熟练掌握平行四边形及平行线的性质．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，AB＝8，D、E分别是AB与AC的中点，则DE的长为（ ）
A．5B．4C．2D．2
【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×8＝4，
由勾股定理得：BC＝＝＝4；
∵D、E分别是AB与AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ 40° ．
【分析】先根据∠FCD＝60°及三角形内角与外角的性质及∠A：∠B＝1：2可求出∠A的度数，再由DE⊥AB及三角形内角和定理解答可求出∠AFE的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵∠FCD＝75°，
∴∠A+∠B＝75°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A＝×75°＝25°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CFD＝∠AFE＝65°，
∵∠FCD＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．
故答案为：40°
【点评】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，关键是求出∠DFC的度数．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝40°，那么∠A＝ 65 °．
【分析】根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，根据题意构成二元一次方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
由题意得：，
解得：，
故答案为：65．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、二元一次方程组的解法，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
11．如图，在□ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝30°，则此平行四边形的面积是 12 。
12．将一副直角三角尺按如图所示放置，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，BC＝2，则AB的长为 ．
【分析】过C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝∠ABC＝45°，
∴CD＝BD＝BC＝，
∵∠CAB＝30°，
∴AC＝2CD＝2，
∴AD＝＝＝，
∴AB＝AD+BD＝，
故AB的长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
13.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 8分米 。
14.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是 12 。
15．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有 5 条对角线．
【分析】首先设这个多边形有n条边，由题意得方程（n﹣2）×180＝360×3，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．
【解答】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
（n﹣2）×180＝360×3，
解得n＝8，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，以及对角线，关键是掌握多边形的内角和公式．
16．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAC＝90°，AD＝15，OC＝6，则△BOC的面积为 27 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AC＝2CO＝2×6＝12，BC＝AD＝15，根据勾股定理得到AB＝＝＝9，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，OC＝6，
∴AC＝2CO＝2×6＝12，BC＝AD＝15，
∵∠BAC＝90°，
∴AB＝＝＝9，
∴△BOC的面积＝△AOB的面积＝AB•AO＝×9×6＝27，
故答案为：27．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用以及三角形的面积公式，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？
【分析】设它的边数为n，根据多边形的内角和公式和外角和360°可得方程180（n﹣2）﹣360＝540，再解方程即可．
【解答】解：设它的边数为n，由题意得：
180（n﹣2）﹣360＝540，
解得n＝7，
答：它是七边形．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180 （n≥3且n为整数）．
18．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠C＝75°，∠ADE为四边形ABCD的一个外角，且∠ADE＝125°，试求出∠B的度数．
【分析】先根据邻补角定义得出∠ADE+∠ADC＝180°，根据四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵∠ADE＝125°，
∴∠ADC＝55°，
∵∠A＝80°，∠C＝75°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ADC
＝360°﹣80°﹣75°﹣55°
＝150°，
【点评】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，补角的性质，比较简单．
19．在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE、BF．
求证：DE＝BF．
【分析】证得△ADE≌△CBF后，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
【点评】考查了平行四边形的性质就全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△ADE≌△CBF，难度不大．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．
【解答】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠DCB＝50°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠CAB＝25°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；
（2）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠CEF＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
21．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝400+400千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）
【分析】（1）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）海港C受台风影响，
理由：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵∠DBC＝30°，
∴BD＝CD，
∵AB＝（400+400）千米，
∴AB＝AD+BD＝CD+CD＝400+400，
∴CD＝400千米，
∵以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝600km，FC＝600km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝200（km），
∴EF＝400km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴400÷20≈45（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间大约为45小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
22．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
（1）如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝ 45° ；若AB∥OC时，则α＝ 60° ；
（2）如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝ 45°或67.5° ；
【分析】（1）利用平行线的性质求解即可．
（2）分两种情形：当∠D＝∠DOE＝45°时，当∠DOE＝∠DEO＝67.5°时，分别求解．
（3）首先证明∠BOD+∠BAC+∠ACD＝105°，再分三种情形说明．
【解答】解：（1）当OA∥CD时，如图2中，∠AOD＝∠D＝45°，
∴α＝45°．
当AB∥OC时，如图3中，∠AOD+∠A＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∴α＝60°
故答案为：45°，60°．
（2）当∠D＝∠DOE＝45°时，α＝45°，
当∠DOE＝∠DEO＝67.5°时，α＝67.5°，
故答案为：45°或67.5°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．