江西省赣州市崇义县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省赣州市崇义县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．《国语·楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．地球是人与自然共同生存的家园，在这个家园中，还住着许多常常被人们忽略的微小生命，在冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上，科学家发现了基因片段，并提取出了最小的生命体．它的直径仅为米．将数字用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．解方程，去分母后正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）
A．B．C．D．
5．计算的结果为（ ）
A．1B．C．2D．
6．如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）

A．12B．6C．7D．8
二、填空题
7．分式有意义的条件是 ．
8． ．
9．因式分解：a3－a= ．
10．如图，在中，，，点，分别在边，上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则 ．
11．如图所示，是的角平分线，，垂足分别为E，，，，则的长是 ．
12．如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
14．观察下列关于正整数的等式：
①
②
③
……
根据上述规律，回答下列问题：
(1)请写出第④个等式______；
(2)直接写出你猜想的第个等式（用含的式子表示）______．
15．在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程．
解：原式 ①
②
③
(1)以上过程中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________；
(2)以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程．
16．如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图．
(1)在图①中画一个直角三角形；
(2)在图②中画出∠ACE的平分线．

17．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
18．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接．
【探究发现】
（1）图中与的数量关系是 ，位置关系是 ．
【初步应用】
（2）若，，求的取值范围．
19．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
20．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．

(1)将下面的表格补充完整：
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
21．在学习整式乘法时，往往借助几何图形的直观性来解决数学问题．

【发现】（1）观察图1中阴影部分的面积填空：______，
（2）观察图2中阴影部分的面积，其表示的乘法公式是______；
【探究】如图3，用4个完全一样的长为a，宽为b的长方形摆成一个正方形，通过观察阴影部分的面积，写出与，之间的等量关系；
【运用】已知，，求及的值．
22．在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，），则称分式为次分式．例如，为三次分式．
（1）请写出一个只含有字母的二次分式_________；
（2）已知，（其中m，n为常数）．
①若，，则，，，中，化简后是二次分式的为________；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值．
23．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为点D，连接，作射线交于点E，连接．

(1)依题意补全图形；
(2)设，求的大小（用含的代数式表示）；
(3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
正多边形的边数
3
4
5
6
……
n
∠α的度数
60°



……
参考答案：
1．B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【分析】应用科学记数法表示较小的数，，．
【详解】解：
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，熟练掌握是解题的关键．
3．B
【分析】方程两边同乘以即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
4．B
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解：长方形的面积是，一边长是，
另一边长是，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题的关键．
5．C
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算：先整理原式，得，即可作答．
【详解】解：
故选：C
6．C
【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小．
【详解】解：∵垂直平分，
∴点B，C关于对称．
∴当点P和点D重合时，的值最小．
此时，
∵，
周长的最小值是，
故选：C．
7．a≠1
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】解：由有意义，得
a﹣1≠0，
解得a≠1
有意义的条件是a≠1，
故答案为：a≠1．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义是解题关键．
8．1
【分析】根据零指数幂的运算法则计算．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．
9．a（a－1）（a + 1）
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
10．
【分析】本题考查了翻折问题，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，
由折叠可知，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
11．3
【分析】本题考查角平分线的性质，过D作，根据角平分线得到，结合三角形面积即可得到答案；
【详解】解：过D作，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：3．
12．60或105或150
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可．
【详解】解：当时，
则；
当时，，
则；
当时，，
则；
故答案为：60或105或150
13．（1）（2），
【分析】本题考查整数的混合运算．实数的运算．
（1）根据幂的混合运算法则，进行计算即可；
（2）先进行平方差公式和完全平方的计算，再合并同类项进行化简，然后代值计算即可．
掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
当时，原式．
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出等式左边为序数与3和的平方与3的平方的差，等式右边即为序数与序数加6的乘积．
（1）由已知等式知，等式左边为序数与3和的平方与3的平方的差，等式右边即为序数与序数加6的乘积，据此可得；
（2）根据（1）中所得规律可得第n个等式，利用整式的乘法运算即可验证．
【详解】（1）解：根据题意知，第④个等式为：，
故答案为：；
（2）解：依题意，
∵①，
②，
③，
第④个等式为：，
……
猜想的第n个等式为，
左边右边，
∴，
故答案为：．
15．(1)②，分式的基本性质
(2)
【分析】（1）由分式加减法的计算方法进行计算即可，即先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可；
（2）先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为∶②，分式的基本性质；
（2）解：第③步错误
原式
．
【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法进行计算即可．
16．（1）见解析；（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）直接利用等边三角形的性质结合菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）利用菱形的判定与性质得出△AFG≌△EFH，得出FG=FH，进而结合角平分线的判定得出答案．
解：（1）如图①所示：连接AE，
∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，
∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，
∴∠ADC=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°，
则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；
（2）如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，
则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，
则FG⊥AC，FH⊥BC，
由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF，
则AF=EF，
在△AFG和△EFH中
∵∠AGF=∠FHE,
∠GFA=∠HFE,
AF=EF,
∴△AFG≌△EFH（AAS），
∴FG=FH，
由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线．

17．这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的根．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18．（1），；（2）的取值范围为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质．
（1）根据题意可证≌，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）由（1）可知，≌，得，，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】（1）是边上的中线，
，
又， ，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：，；
（2）由（1）可知≌，
，，
在中，，
，
即，
，
的取值范围为．
19．(1)
(2)
【分析】此题主要考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高线的性质：
（1）在中，根据，可得，再根据是角平分线，，即可求解；
（2）在中，根据，，可得，再根据是角平分线，可得，又因为是高，在中，根据，可得，即可求解.
【详解】（1）解：在中，
∵
∴
∵是角平分线，
∴
∴
（2）解：在中，
∵，
∴
∵是角平分线，
∴
∵是高，
在中，
∵
∴
∴
20．(1)，，，
(2)不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的；
（2）根据正n边形中的，可得答案．
【详解】（1）解：观察上面每个正多边形中的，填写下表：
故答案为：，，，；
（2）解：不存在，理由如下：
∵设存在正边形使得，
∴．
解得：，n不为正整数，不合题意，舍去，
∴不存在正边形使得．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等．
21．【发现】（1） （2） 【探究】 【运用】，
【分析】本题主要考查乘法公式的应用，掌握乘法公式是解题的关键．【发现】（1）根据题目中长方形的边长，由面积计算公式可得出乘法；（2）根据正方形的边长和分割成的四块的面积和可得公式；【探究】根据拼图法阴影部分的面积等于大正方形面积减去4个长方形的面积，可得出结论；【运用】根据探究中结论可直接计算得出答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）表示的乘法公式是；
故答案为：；
【探究】解：通过观察阴影部分的面积，等量关系为；
【运用】解：，
．
22．（1）（不唯一）；（2）①，；②或
【分析】（1）理解新定义，直接根据作答即可；
（2）①把，代入计算，化简后根据新定义进行判断即可；②先求解 根据和为一次分式且分母的次数为1，可得分子是一次多项式，且含有或的因式，从而可列方程再解方程求解的值，于是可得答案.
【详解】解：（1）根据定义可得：这个二次分式为：（不唯一）
（2）① ，，，，


化简后是二次分式；


所以不是二次分式；


所以不是二次分式；

所以是二次分式；
② ，，


A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，
且或且
解得：或
或
【点睛】本题考查的是分式的加减法，乘法以及乘方运算，新定义运算，理解新定义，按照新定义的规定进行判断是解本题的关键.
23．(1)见详解
(2)
(3)，证明见详解
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出结论；
（3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论
【详解】（1）解：依题意，补全图形如图1所示

（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：，过程如下：
如图2，在上取一点F，使，

由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
即
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．
正多边形边数
3
4
5
6
的度数