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备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破1“隐形圆”问题1
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破1“隐形圆”问题1，共3页。
角度1 与数量积相关的隐形圆
例1 在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上.若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是 [－52，1] .
解析 设P（x，y），则由PA·PB≤20可得，-12-x-x+－y·6－y≤20，即（x＋6）2＋（y－3）2≤65，所以P为圆（x＋6）2＋（y－3）2＝65上或其内部一点.又点P在圆x2＋y2＝50上，故联立得x2＋y2=50，(x+6)2＋(y－3)2=65，
解得x=1，y=7或x＝－5，y＝－5，即P为圆x2＋y2＝50的劣弧MN上的一点（如图），易知－52≤x≤1.
角度2 由｜PA｜2＋｜PB｜2是定值确定隐形圆（其中A，B是两定点，P为动点）
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2）.若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，则实数a的取值范围是 [0，3] .
解析 设点M（x，y），由题知点A（0，2），O（0，0）.因为｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，所以x2＋（y－2）2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋（y－1）2＝4，即点M在圆E：x2+y-12=4上.因为圆C上存在点M满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10等价于圆E与圆C有公共点，所以｜2－1｜≤｜CE｜≤2＋1，即1≤a2＋（a－3）2≤3，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3].
角度3 阿波罗尼斯圆
例3 在△ABC中，若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为 22 .
解析 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，令A（－1，0），B（1，0），设C（x，y），y≠0，由｜AC｜＝2｜BC｜可得（x+1）2＋y2＝2×（x－1）2＋y2，化简可得（x－3）2＋y2＝8（y≠0），即点C在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上（不含圆与x轴的两个交点），则｜yC｜的最大值为22，S△ABC＝12｜AB｜·｜yC｜＝｜yC｜，所以S△ABC的最大值为22.
方法技巧
（1）代数法确定隐形圆往往是通过设动点的坐标，再根据已知条件列方程，根据方程确定动点的轨迹是圆，进而解决与圆相关的问题.
（2）已知平面上相异两点A，B，则满足｜PA｜｜PB｜＝k（k＞0，k≠1）的动点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.
训练1 （1）在平面直角坐标系xOy中，点A（－t，0），B（t，0），t＞0，点C满足AC·BC＝8，且点C到直线l：3x－4y＋24＝0的距离最小值为95，则实数t的取值的集合是 {1} .
解析 设C（x，y），由AC·BC＝8知，x2＋y2＝8＋t2.点（0，0）到直线l：3x－4y＋24＝0的距离d1＝｜24｜32＋42＝245，圆x2＋y2＝8＋t2上的点到直线l的距离的最小值dmin=d1-8+t2=245－8+t2＝95，解得t＝1（负值舍去）.故实数t的取值的集合是{1}.
（2）设点P是△ABC所在平面内的动点，且满足CP＝λCA＋μCB，3λ＋4μ＝2（λ，μ∈R），｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜.若｜AB｜＝3，则△ABC的面积的最大值为 9 .
解析 由3λ＋4μ＝2得32λ＋2μ＝1，则CP＝λCA＋μCB＝3λ2（23CA）＋2μ（12CB），设E，F分别为AC，BC上的点，且CE＝23CA，CF＝12CB，则P，E，F三点共线.因为PA=PB=PC，所以P是△ABC的外心，即三边中垂线的交点，由F是CB的中点得直线EF是边BC的中垂线，则｜EB｜＝｜EC｜＝2｜EA｜.以点A为原点，AB的方向为x轴正方向，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），设E（x，y）（y≠0），则（x－3）2＋y2＝2x2＋y2，化简得（x＋1）2＋y2＝4（y≠0），所以点E在以（－1，0）为圆心，2为半径的圆上，则｜yE｜≤2.所以S△ABC＝12｜AB｜×｜yC｜＝12｜AB｜×3｜yE｜≤12×3×3×2＝9，即△ABC的面积的最大值为9.
命题点2 几何法确定隐形圆
例4 （1）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为 [2-22,2+22] .
解析 由题意得圆心M（a，a－4）在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆.又圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，所以｜OP｜＝2，即点P也在圆x2＋y2＝4上，于是2－1≤a2＋（a－4）2≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）2≤3，解得实数a的取值范围是[2－22，2＋22].
（2）已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是 [4，6] .
解析 由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，m为半径的圆O：x2＋y2＝m2上，又点P在已知圆C上，所以两个圆有公共点，所以5－1≤m≤5＋1，故4≤m≤6.
方法技巧
（1）利用圆的定义判断出动点的轨迹为圆，从而根据圆心及半径得出圆的方程.
（2）见直径，想垂直；见垂直，想直径.
训练2 已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的两个动点，且｜AB｜＝3，P是圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝1上的动点，则｜PA＋PB｜的取值范围是 [7，13] .
解析 取AB的中点M，则｜C1M｜＝1－（32）2＝12，所以M在以C1为圆心，半径为12的圆上.因为｜PA＋PB｜＝2｜PM｜，所以｜PA＋PB｜的取值范围是2｜PM｜的取值范围.又｜C1C2｜－1－12≤｜PM｜≤｜C1C2｜＋1＋12，且｜C1C2｜＝5，则7≤2｜PM｜≤13，即｜PA＋PB｜的取值范围是[7，13].
角度1 与数量积相关的隐形圆
例1 在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上.若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是 [－52，1] .
解析 设P（x，y），则由PA·PB≤20可得，-12-x-x+－y·6－y≤20，即（x＋6）2＋（y－3）2≤65，所以P为圆（x＋6）2＋（y－3）2＝65上或其内部一点.又点P在圆x2＋y2＝50上，故联立得x2＋y2=50，(x+6)2＋(y－3)2=65，
解得x=1，y=7或x＝－5，y＝－5，即P为圆x2＋y2＝50的劣弧MN上的一点（如图），易知－52≤x≤1.
角度2 由｜PA｜2＋｜PB｜2是定值确定隐形圆（其中A，B是两定点，P为动点）
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2）.若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，则实数a的取值范围是 [0，3] .
解析 设点M（x，y），由题知点A（0，2），O（0，0）.因为｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，所以x2＋（y－2）2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋（y－1）2＝4，即点M在圆E：x2+y-12=4上.因为圆C上存在点M满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10等价于圆E与圆C有公共点，所以｜2－1｜≤｜CE｜≤2＋1，即1≤a2＋（a－3）2≤3，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3].
角度3 阿波罗尼斯圆
例3 在△ABC中，若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为 22 .
解析 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，令A（－1，0），B（1，0），设C（x，y），y≠0，由｜AC｜＝2｜BC｜可得（x+1）2＋y2＝2×（x－1）2＋y2，化简可得（x－3）2＋y2＝8（y≠0），即点C在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上（不含圆与x轴的两个交点），则｜yC｜的最大值为22，S△ABC＝12｜AB｜·｜yC｜＝｜yC｜，所以S△ABC的最大值为22.
方法技巧
（1）代数法确定隐形圆往往是通过设动点的坐标，再根据已知条件列方程，根据方程确定动点的轨迹是圆，进而解决与圆相关的问题.
（2）已知平面上相异两点A，B，则满足｜PA｜｜PB｜＝k（k＞0，k≠1）的动点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.
训练1 （1）在平面直角坐标系xOy中，点A（－t，0），B（t，0），t＞0，点C满足AC·BC＝8，且点C到直线l：3x－4y＋24＝0的距离最小值为95，则实数t的取值的集合是 {1} .
解析 设C（x，y），由AC·BC＝8知，x2＋y2＝8＋t2.点（0，0）到直线l：3x－4y＋24＝0的距离d1＝｜24｜32＋42＝245，圆x2＋y2＝8＋t2上的点到直线l的距离的最小值dmin=d1-8+t2=245－8+t2＝95，解得t＝1（负值舍去）.故实数t的取值的集合是{1}.
（2）设点P是△ABC所在平面内的动点，且满足CP＝λCA＋μCB，3λ＋4μ＝2（λ，μ∈R），｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜.若｜AB｜＝3，则△ABC的面积的最大值为 9 .
解析 由3λ＋4μ＝2得32λ＋2μ＝1，则CP＝λCA＋μCB＝3λ2（23CA）＋2μ（12CB），设E，F分别为AC，BC上的点，且CE＝23CA，CF＝12CB，则P，E，F三点共线.因为PA=PB=PC，所以P是△ABC的外心，即三边中垂线的交点，由F是CB的中点得直线EF是边BC的中垂线，则｜EB｜＝｜EC｜＝2｜EA｜.以点A为原点，AB的方向为x轴正方向，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），设E（x，y）（y≠0），则（x－3）2＋y2＝2x2＋y2，化简得（x＋1）2＋y2＝4（y≠0），所以点E在以（－1，0）为圆心，2为半径的圆上，则｜yE｜≤2.所以S△ABC＝12｜AB｜×｜yC｜＝12｜AB｜×3｜yE｜≤12×3×3×2＝9，即△ABC的面积的最大值为9.
命题点2 几何法确定隐形圆
例4 （1）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为 [2-22,2+22] .
解析 由题意得圆心M（a，a－4）在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆.又圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，所以｜OP｜＝2，即点P也在圆x2＋y2＝4上，于是2－1≤a2＋（a－4）2≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）2≤3，解得实数a的取值范围是[2－22，2＋22].
（2）已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是 [4，6] .
解析 由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，m为半径的圆O：x2＋y2＝m2上，又点P在已知圆C上，所以两个圆有公共点，所以5－1≤m≤5＋1，故4≤m≤6.
方法技巧
（1）利用圆的定义判断出动点的轨迹为圆，从而根据圆心及半径得出圆的方程.
（2）见直径，想垂直；见垂直，想直径.
训练2 已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的两个动点，且｜AB｜＝3，P是圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝1上的动点，则｜PA＋PB｜的取值范围是 [7，13] .
解析 取AB的中点M，则｜C1M｜＝1－（32）2＝12，所以M在以C1为圆心，半径为12的圆上.因为｜PA＋PB｜＝2｜PM｜，所以｜PA＋PB｜的取值范围是2｜PM｜的取值范围.又｜C1C2｜－1－12≤｜PM｜≤｜C1C2｜＋1＋12，且｜C1C2｜＝5，则7≤2｜PM｜≤13，即｜PA＋PB｜的取值范围是[7，13].
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