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备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破5圆锥曲线的综合应用命题点2圆锥曲线在实际生活中的应用
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破5圆锥曲线的综合应用命题点2圆锥曲线在实际生活中的应用，共3页。
A.52B.173C.102D.5
解析 如图，连接AF1，BF1，设｜AF2｜＝m，｜BF2｜＝n，由双曲线的定义可得｜AF1｜＝2a＋m，｜BF1｜＝2a＋n，由cs∠BAC＝－35，可得cs∠F1AF2＝35，在Rt△AF1B中，sin∠F1AF2＝2a＋n2a＋m＝45 ①，（2a＋n）2＋（m＋n）2＝（2a＋m）2 ②.
在△AF1F2中，可得4c2＝m2＋（2a＋m）2－2m（2a＋m）·35 ③.
由①②可得n＝23a，m＝43a，代入③可得9c2＝17a2，则离心率e＝ca＝173.故选B.
（2）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图1所示）时，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图2所示）.已知接收天线的口径（直径）为5.2 m，深度为1 m，则该抛物线的标准方程为 y2＝6.76x .
解析 如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上，｜AB｜＝5.2.设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），由已知条件可得，点A（1，2.6）在抛物线上，所以2p＝2.62＝6.76，所以所求抛物线的标准方程为y2＝6.76x.
训练2 [2023上海模拟]“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的抛物线MOF（部分）组成，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知｜AB｜＝44 m，∠A＝45°，｜AC｜＝4 m，｜CD｜＝5 m，立柱｜DN｜＝5.55 m.
图1图2
（1）求立柱｜CM｜及横梁｜MF｜；
（2）求抛物线MOF的方程和桥梁的拱高｜OH｜.
解析 （1）由∠A＝45°，可知｜CM｜＝｜AC｜＝4 m.
因为四边形ABFM是等腰梯形，由对称性知：｜AC｜＝｜BE｜＝4 m，
所以｜MF｜＝｜CE｜＝｜AB｜－｜AC｜－｜EB｜＝44－4－4＝36（m）.
（2）由（1）知｜CH｜＝｜AH｜－｜AC｜＝18，所以点M的横坐标为－18，
则N的横坐标为－（18－5）＝－13.
设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，
由图形，知｜y1－y2｜＝｜5.55－4｜＝1.55.
设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），将点M，N的坐标代入，得（－18）2＝－2py1，（－13）2＝－2py2，
两式相减，得2p（y2－y1）＝182－132＝155，解得2p＝100，故抛物线的方程为x2=-100y.
因此，当x＝－18时，y＝－1100x2＝－1100×324＝－3.24，
故｜y1｜＝3.24，所以桥梁的拱高｜OH｜＝3.24＋4＝7.24（m）.
强化训练
1.[命题点2/2024北京市陈经纶中学模拟]如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，｜F1B｜＝163，｜F1F2｜＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为 13 .
解析 以F1F2的中点为原点，F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由BC⊥F1F2及椭圆性质可得，BC为椭圆的通径，所以｜F1B｜＝b2a＝163，｜F1F2｜＝2c＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝6，c＝2，b＝42，所以截口BAC所在椭圆的离心率为13.
2.[命题点2/2023东北三省四市联考]早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的四个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，拱桥轮廓线OAC所在抛物线的方程为 x2=-80y ，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 14013 .
解析 设桥拱所在抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），由题图可知，曲线经过点C（20，－5），代入方程得202＝－2p×（－5），解得p＝40，所以桥拱所在抛物线的方程为x2＝－80y.因为四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：（x－14）2＝－2p'y，由题图知抛物线C1经过点C（20，－5），则（20－14）2＝－2p'×（－5），解得p'＝185，所以C1：（x－14）2＝－365y，点A为桥拱所在抛物线x2＝－80y与C1：（x－14）2＝－365y的交点，设A（x，y），7＜x＜14，由x2＝－80y，（x－14）2＝－365y，7
A.52B.173C.102D.5
解析 如图，连接AF1，BF1，设｜AF2｜＝m，｜BF2｜＝n，由双曲线的定义可得｜AF1｜＝2a＋m，｜BF1｜＝2a＋n，由cs∠BAC＝－35，可得cs∠F1AF2＝35，在Rt△AF1B中，sin∠F1AF2＝2a＋n2a＋m＝45 ①，（2a＋n）2＋（m＋n）2＝（2a＋m）2 ②.
在△AF1F2中，可得4c2＝m2＋（2a＋m）2－2m（2a＋m）·35 ③.
由①②可得n＝23a，m＝43a，代入③可得9c2＝17a2，则离心率e＝ca＝173.故选B.
（2）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图1所示）时，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图2所示）.已知接收天线的口径（直径）为5.2 m，深度为1 m，则该抛物线的标准方程为 y2＝6.76x .
解析 如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上，｜AB｜＝5.2.设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），由已知条件可得，点A（1，2.6）在抛物线上，所以2p＝2.62＝6.76，所以所求抛物线的标准方程为y2＝6.76x.
训练2 [2023上海模拟]“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的抛物线MOF（部分）组成，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知｜AB｜＝44 m，∠A＝45°，｜AC｜＝4 m，｜CD｜＝5 m，立柱｜DN｜＝5.55 m.
图1图2
（1）求立柱｜CM｜及横梁｜MF｜；
（2）求抛物线MOF的方程和桥梁的拱高｜OH｜.
解析 （1）由∠A＝45°，可知｜CM｜＝｜AC｜＝4 m.
因为四边形ABFM是等腰梯形，由对称性知：｜AC｜＝｜BE｜＝4 m，
所以｜MF｜＝｜CE｜＝｜AB｜－｜AC｜－｜EB｜＝44－4－4＝36（m）.
（2）由（1）知｜CH｜＝｜AH｜－｜AC｜＝18，所以点M的横坐标为－18，
则N的横坐标为－（18－5）＝－13.
设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，
由图形，知｜y1－y2｜＝｜5.55－4｜＝1.55.
设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），将点M，N的坐标代入，得（－18）2＝－2py1，（－13）2＝－2py2，
两式相减，得2p（y2－y1）＝182－132＝155，解得2p＝100，故抛物线的方程为x2=-100y.
因此，当x＝－18时，y＝－1100x2＝－1100×324＝－3.24，
故｜y1｜＝3.24，所以桥梁的拱高｜OH｜＝3.24＋4＝7.24（m）.
强化训练
1.[命题点2/2024北京市陈经纶中学模拟]如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，｜F1B｜＝163，｜F1F2｜＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为 13 .
解析 以F1F2的中点为原点，F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由BC⊥F1F2及椭圆性质可得，BC为椭圆的通径，所以｜F1B｜＝b2a＝163，｜F1F2｜＝2c＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝6，c＝2，b＝42，所以截口BAC所在椭圆的离心率为13.
2.[命题点2/2023东北三省四市联考]早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的四个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，拱桥轮廓线OAC所在抛物线的方程为 x2=-80y ，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 14013 .
解析 设桥拱所在抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），由题图可知，曲线经过点C（20，－5），代入方程得202＝－2p×（－5），解得p＝40，所以桥拱所在抛物线的方程为x2＝－80y.因为四个溢流孔轮廓线对应的抛物线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：（x－14）2＝－2p'y，由题图知抛物线C1经过点C（20，－5），则（20－14）2＝－2p'×（－5），解得p'＝185，所以C1：（x－14）2＝－365y，点A为桥拱所在抛物线x2＝－80y与C1：（x－14）2＝－365y的交点，设A（x，y），7＜x＜14，由x2＝－80y，（x－14）2＝－365y，7
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