|试卷下载
终身会员
搜索
    上传资料 赚现金
    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点1证明问题
    立即下载
    加入资料篮
    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点1证明问题01
    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点1证明问题02
    还剩2页未读, 继续阅读
    下载需要5学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点1证明问题

    展开
    这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点1证明问题,共4页。

    例1 [2022新高考卷Ⅱ]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±3x.
    (1)求C的方程.
    (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
    ①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.
    解析 (1)由题意得c=2 ①.
    因为双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x,所以ba=3 ②.
    又c2=a2+b2 ③,所以由①②③得a=1,b=3,所以双曲线C的方程为x2-y23=1.
    (2)由题意知直线PQ的斜率存在且不为0,设直线PQ的方程为y=kx+t(k≠0),将直线PQ的方程代入C的方程,
    整理得(3-k2)x2-2ktx-t2-3=0,Δ>0,故t2+3-k2>0,
    则x1+x2=2kt3-k2,x1x2=-t2+33-k2>0,所以3-k2<0,
    所以x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2=23(t2+3-k2)k2-3.
    设点M的坐标为(xM,yM),则yM-y1=-3(xM-x1),yM-y2=3(xM-x2),
    两式相减,得y1-y2=23xM-3(x1+x2),
    又y1-y2=(kx1+t)-(kx2+t)=k(x1-x2),
    所以23xM=k(x1-x2)+3(x1+x2),
    解得xM=kt2+3-k2-ktk2-3;
    两式相加,得2yM-(y1+y2)=3(x1-x2),
    又y1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t,
    所以2yM=k(x1+x2)+3(x1-x2)+2t,
    解得yM=3t2+3-k2-3tk2-3=3kxM.
    因此,点M的轨迹为直线y=3kx,其中k为直线PQ的斜率.
    若选择①②:因为PQ∥AB,所以直线AB的方程为y=k(x-2),设A(xA,yA),B(xB,yB),
    不妨令点A在直线y=3x上,
    则由yA=k(xA-2),yA=3xA,解得xA=2kk-3,yA=23kk-3,
    同理可得xB=2kk+3,yB=-23kk+3,
    所以xA+xB=4k2k2-3,yA+yB=12kk2-3.
    点M的坐标满足yM=k(xM-2),yM=3kxM,
    得xM=2k2k2-3=xA+xB2,yM=6kk2-3=yA+yB2,
    故M为AB的中点,即|MA|=|MB|.
    若选择①③:当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时M不在直线y=3kx上,矛盾.
    当直线AB的斜率存在时,易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为y=m(x-2)·(m≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),
    不妨令点A在直线y=3x上,
    则由yA=m(xA-2),yA=3xA,解得xA=2mm-3,yA=23mm-3,
    同理可得xB=2mm+3,yB=-23mm+3,
    因为M在AB上,且|MA|=|MB|,所以xM=xA+xB2=2m2m2-3,yM=yA+yB2=6mm2-3,
    又点M在直线y=3kx上,所以6mm2-3=3k·2m2m2-3,
    解得k=m,因此PQ∥AB.
    若选择②③:因为PQ∥AB,所以直线AB的方程为y=k(x-2),设A(xA,yA),
    B(xB,yB),
    不妨令点A在直线y=3x上,
    则由yA=k(xA-2),yA=3xA,解得xA=2kk-3,yA=23kk-3,
    同理可得xB=2kk+3,yB=-23kk+3.
    设AB的中点为C(xC,yC),则xC=xA+xB2=2k2k2-3,
    yC=yA+yB2=6kk2-3.
    因为|MA|=|MB|,所以M在AB的垂直平分线上,即点M在直线y-yC=-1k(x-xC),
    即y-6kk2-3=-1k(x-2k2k2-3)上,与y=3kx联立,得xM=2k2k2-3=xC,yM=6kk2-3=yC,
    即点M恰为AB的中点,故点M在直线AB上.
    方法技巧
    有关证明问题的解题策略
    圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明,证明时,常把几何量用坐标表示,建立关于某个变量的函数,用代数方法证明.
    训练1 [2021新高考卷Ⅱ]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),且离心率为63.
    (1)求C的方程.
    (2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.
    解析 (1)由题意,得c=2,又e=ca=63,所以a=3,
    所以b=a2-c2=1,所以C的方程为x23+y2=1.
    (2)由(1)知x2+y2=1(x>0).
    证必要性:若M,N,F三点共线,则|MN|=3.
    由题意知直线MN的斜率存在且不为0,
    由对称性不妨设直线MN的方程为y=k(x-2)(k<0),则|2k|k2+1=1,得k=-1.
    所以直线MN的方程为x+y-2=0.
    由x+y-2=0,x23+y2=1,消去y,得4x2-62x+3=0,Δ>0.
    设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=322,x1x2=34,
    所以|MN|=1+(-1)2·|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2×92-4×34=3.
    由对称性可知当k>0时,|MN|=3.故必要性得证.
    证充分性:若|MN|=3,则M,N,F三点共线.
    由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,
    由对称性不妨设直线MN的方程为y=kx+m(k<0,m>0),则|m|k2+1=1,得m=1+k2.
    由y=kx+m,x23+y2=1,消去y,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
    得(3k2+1)x2+6k1+k2x+3k2=0,Δ>0.
    设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-6k1+k23k2+1,x1x2=3k23k2+1,
    所以|MN|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·(-6k1+k23k2+1)2-4·3k23k2+1=1+k2·-26k3k2+1=3,整理得k4-2k2+1=0,得k=-1,
    所以m=2,所以直线MN的方程为y=-x+2.
    令y=0,得x=2,即直线MN过点F,所以M,N,F三点共线.
    由对称性知当k>0时,M,N,F三点共线,充分性得证.
    综上,M,N,F三点共线的充要条件为|MN|=3.
    相关试卷

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点2探索性问题: 这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点2探索性问题,共2页。

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破2圆锥曲线中的最值范围问题命题点2范围问题: 这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破2圆锥曲线中的最值范围问题命题点2范围问题,共2页。

    备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题: 这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题,共4页。

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        使用学贝下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点1证明问题
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map