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备考2024届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破4圆锥曲线中的证明探索性问题命题点1证明问题
展开例1 [2022新高考卷Ⅱ]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±3x.
(1)求C的方程.
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.
解析 (1)由题意得c=2 ①.
因为双曲线的渐近线方程为y=±bax=±3x,所以ba=3 ②.
又c2=a2+b2 ③,所以由①②③得a=1,b=3,所以双曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)由题意知直线PQ的斜率存在且不为0,设直线PQ的方程为y=kx+t(k≠0),将直线PQ的方程代入C的方程,
整理得(3-k2)x2-2ktx-t2-3=0,Δ>0,故t2+3-k2>0,
则x1+x2=2kt3-k2,x1x2=-t2+33-k2>0,所以3-k2<0,
所以x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2=23(t2+3-k2)k2-3.
设点M的坐标为(xM,yM),则yM-y1=-3(xM-x1),yM-y2=3(xM-x2),
两式相减,得y1-y2=23xM-3(x1+x2),
又y1-y2=(kx1+t)-(kx2+t)=k(x1-x2),
所以23xM=k(x1-x2)+3(x1+x2),
解得xM=kt2+3-k2-ktk2-3;
两式相加,得2yM-(y1+y2)=3(x1-x2),
又y1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t,
所以2yM=k(x1+x2)+3(x1-x2)+2t,
解得yM=3t2+3-k2-3tk2-3=3kxM.
因此,点M的轨迹为直线y=3kx,其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②:因为PQ∥AB,所以直线AB的方程为y=k(x-2),设A(xA,yA),B(xB,yB),
不妨令点A在直线y=3x上,
则由yA=k(xA-2),yA=3xA,解得xA=2kk-3,yA=23kk-3,
同理可得xB=2kk+3,yB=-23kk+3,
所以xA+xB=4k2k2-3,yA+yB=12kk2-3.
点M的坐标满足yM=k(xM-2),yM=3kxM,
得xM=2k2k2-3=xA+xB2,yM=6kk2-3=yA+yB2,
故M为AB的中点,即|MA|=|MB|.
若选择①③:当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时M不在直线y=3kx上,矛盾.
当直线AB的斜率存在时,易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为y=m(x-2)·(m≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),
不妨令点A在直线y=3x上,
则由yA=m(xA-2),yA=3xA,解得xA=2mm-3,yA=23mm-3,
同理可得xB=2mm+3,yB=-23mm+3,
因为M在AB上,且|MA|=|MB|,所以xM=xA+xB2=2m2m2-3,yM=yA+yB2=6mm2-3,
又点M在直线y=3kx上,所以6mm2-3=3k·2m2m2-3,
解得k=m,因此PQ∥AB.
若选择②③:因为PQ∥AB,所以直线AB的方程为y=k(x-2),设A(xA,yA),
B(xB,yB),
不妨令点A在直线y=3x上,
则由yA=k(xA-2),yA=3xA,解得xA=2kk-3,yA=23kk-3,
同理可得xB=2kk+3,yB=-23kk+3.
设AB的中点为C(xC,yC),则xC=xA+xB2=2k2k2-3,
yC=yA+yB2=6kk2-3.
因为|MA|=|MB|,所以M在AB的垂直平分线上,即点M在直线y-yC=-1k(x-xC),
即y-6kk2-3=-1k(x-2k2k2-3)上,与y=3kx联立,得xM=2k2k2-3=xC,yM=6kk2-3=yC,
即点M恰为AB的中点,故点M在直线AB上.
方法技巧
有关证明问题的解题策略
圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明,证明时,常把几何量用坐标表示,建立关于某个变量的函数,用代数方法证明.
训练1 [2021新高考卷Ⅱ]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),且离心率为63.
(1)求C的方程.
(2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.
解析 (1)由题意,得c=2,又e=ca=63,所以a=3,
所以b=a2-c2=1,所以C的方程为x23+y2=1.
(2)由(1)知x2+y2=1(x>0).
证必要性:若M,N,F三点共线,则|MN|=3.
由题意知直线MN的斜率存在且不为0,
由对称性不妨设直线MN的方程为y=k(x-2)(k<0),则|2k|k2+1=1,得k=-1.
所以直线MN的方程为x+y-2=0.
由x+y-2=0,x23+y2=1,消去y,得4x2-62x+3=0,Δ>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=322,x1x2=34,
所以|MN|=1+(-1)2·|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2×92-4×34=3.
由对称性可知当k>0时,|MN|=3.故必要性得证.
证充分性:若|MN|=3,则M,N,F三点共线.
由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,
由对称性不妨设直线MN的方程为y=kx+m(k<0,m>0),则|m|k2+1=1,得m=1+k2.
由y=kx+m,x23+y2=1,消去y,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
得(3k2+1)x2+6k1+k2x+3k2=0,Δ>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-6k1+k23k2+1,x1x2=3k23k2+1,
所以|MN|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·(-6k1+k23k2+1)2-4·3k23k2+1=1+k2·-26k3k2+1=3,整理得k4-2k2+1=0,得k=-1,
所以m=2,所以直线MN的方程为y=-x+2.
令y=0,得x=2,即直线MN过点F,所以M,N,F三点共线.
由对称性知当k>0时,M,N,F三点共线,充分性得证.
综上,M,N,F三点共线的充要条件为|MN|=3.
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