备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第3讲圆的方程

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解析 因为圆截两坐标轴所得的弦长相等，所以可设圆心坐标为（m，m），由圆的半径为1，可得｜m｜＜1，所以可取m＝12，此时圆的标准方程为（x－12）2＋（y－12）2＝1.
2.[向量法判断点与圆的位置关系/2024北京市陈经纶中学模拟]已知A，B（异于坐标原点）是圆（x－2）2＋（y－1）2＝5与坐标轴的两个交点，则下列点中，在圆内的是（ D ）
A.M（0，0）B.N（4，322）
C.P（2，1－5）D.Q（1，22）
解析 不妨设A（0，2），B（4，0），则kAB＝－12，直线AB的方程为y＝－12x＋2，显然圆心（2，1）在直线AB上，即弦AB为该圆的直径.
对于A，MA·MB＝（0，2）·（4，0）＝0，所以点M在圆上；
对于B，NA·NB＝（－4，2－322）·（0，－322）＝－32＋92＞0，所以点N在圆外；
对于C，PA·PB＝（－2，1＋5）·（2，－1＋5）＝0，所以点P在圆上；
对于D，QA·QB＝（－1，2－22）·（3，－22）＝5－42＜0，所以点Q在圆内.故选D.
3.[命题点2，3/2023吉林省通化市模拟]已知直线l1：mx－y－3m＋1＝0与直线l2:x+my-3m-1=0相交于点P，线段AB是圆C：（x＋1）2＋（y＋1）2＝4的一条动弦，且｜AB｜＝23，则｜PA＋PB｜的最大值为 82＋2 .
解析 易知直线l1恒过点M（3，1），直线l2恒过点
N（1，3），且l1⊥l2，所以点P在以MN的中点Q（2，2）为圆心，12｜MN｜＝2为半径的圆上，所以点P的轨迹方程为（x－2）2＋（y－2）2＝2.
如图，取AB的中点D，连接PD，CD，CB，则｜PA＋PB｜＝2｜PD｜.因为圆C圆心为（－1，－1），半径为2，｜AB｜＝23，所以在Rt△BCD中，易得｜CD｜＝1，所以点D在以C（－1，－1）为圆心，1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为x+12+y+12=1，结合图象可知，当P，Q，C，D共线且C，Q在线段PD上时，｜PD｜取得最大值，所以｜PD｜max＝（2+1）2＋（2+1）2＋1＋2＝42＋1，所以｜PA＋PB｜的最大值为82＋2.（也可利用｜PA＋PB｜＝2｜PD｜＝2｜PQ＋QC＋CD｜≤2（｜PQ｜＋｜QC｜＋｜CD｜）求解）
4.[命题点3/2023绵阳市二诊]已知☉C：（x－1）2＋（y－1）2＝3，点A为直线l：y＝－1上的动点，过点A作直线与☉C相切于点P，若Q（－2，0），则｜AP｜＋｜AQ｜的最小值为（ C ）
A.3＋1B.2 3C.13D.4
解析 设A（x，－1），则｜AQ｜＝（x+2）2+1，由题意知，☉C：x－12+y-12=3的圆心C（1，1），半径r＝3，连接CA，CP，∵直线AP与☉C相切于点P，∴｜AP｜＝｜CA｜2－r2＝（x－1）2＋（－1－1）2－（3）2＝（x－1）2+1，∴｜AP｜＋｜AQ｜＝（x－1）2+1＋（x+2）2+1.
记M（1，0），则｜AP｜＋｜AQ｜可表示点A（x，－1）到点M（1，0）的距离与点Ax,-1到点Q（－2，0）的距离之和.易得Q（－2，0）关于直线l：y＝－1的对称点为Q'（－2，－2），连接AQ'，MQ'，AM，则AP+AQ=AM+AQ=AM+AQ'≥MQ'=（1+2)2+22＝13，∴｜AP｜＋｜AQ｜的最小值为13，故选C.