备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第3讲圆的方程

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第3讲圆的方程，共6页。试卷主要包含了故选C，已知点P，已知点P在圆C等内容，欢迎下载使用。
1.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的（ A ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆，则有a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，又“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2+y2+ax-2y+2=0表示圆”的充分不必要条件.故选A.
2.[2024山西太原师范学院附属中学模拟]圆心在x轴上，且过点（－1，－3）的圆与y轴相切，则该圆的方程是（ C ）
A.x2＋y2＋10y＝0B.x2＋y2－10y＝0
C.x2＋y2＋10x＝0D.x2＋y2－10x＝0
解析 因为圆心在x轴上，所以设圆心坐标为（t，0），又圆与y轴相切，所以｜t｜为半径，则根据题意得，（－1－t）2＋（－3－0）2＝｜t｜，解得t＝－5，所以圆的圆心坐标为（－5，0），半径为5，故该圆的方程是（x＋5）2＋y2＝25，展开得x2＋y2＋10x＝0.故选C.
3.[北京高考]已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（ A ）
A.4B.5C.6D.7
解析 设该圆的圆心为（a，b），则圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝1，∵该圆过点（3，4），∴（3－a）2＋（4－b）2＝1，此式子表示点（a，b）在以（3，4）为圆心，1为半径的圆上，则点（a，b）到原点的距离的最小值为32＋42－1＝4，故选A.
4.[2024广东茂名检测]已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，M是圆上的动点，AM与圆相切，且｜AM｜＝2，则点A的轨迹方程是（ B ）
A.y2＝4x
B.x2＋y2－2x－2y－3＝0
C.x2＋y2－2y－3＝0
D.y2＝－4x
解析 因为圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，所以圆心C（1，1），半径r＝1.因为M是圆上的动点，所以｜MC｜＝1.又AM与圆相切，且｜AM｜＝2，所以｜AC｜＝｜MC｜2＋｜AM｜2＝5.设A（x，y），则（x－1）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
5.已知点P（x，y）为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则PC·PO（O为坐标原点）的取值范围是（ C ）
A.[－3，1]B.[－1，1]C.[－1，3]D.[1，3]
解析 将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为（x－2）2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为（2，0），所以PC＝（2－x，－y），又PO＝（－x，－y），所以PC·PO＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以PC·PO＝4x－3－2x＝2x－3，因为x－22+y2=1，所以（x－2）2≤1，所以－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.因此－1≤2x－3≤3，从而PC·PO的取值范围为[－1，3].故选C.
6.[多选/2024山东潍坊调研]已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是（ ABD ）
A.圆M的圆心坐标为（1，3）
B.圆M的半径为5
C.圆M关于直线x＋y＝0对称
D.点（2，3）在圆M内
解析 设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则1+4－D+2E＋F=0，4+1+2D＋E＋F=0，9+16+3D+4E＋F=0，解得D＝－2，E＝－6，F=5.所以△ABC的外接圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0，即（x－1）2＋（y－3）2＝5，故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为5，故A，B正确.因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心（1，3），所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误.因为（2－1）2＋（3－3）2＝1＜5，故点（2，3）在圆M内，故D正确.
7.已知点P（2，1）在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的半径为 2 .
解析 由圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0得（x＋a2）2＋（y－1）2＝a24－b＋1，则C（－a2，1）.由点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，可知圆心C在直线x＋y－1＝0上，则－a2＋1－1＝0 ①.又点P在圆C上，则4＋1＋2a－2＋b＝0 ②.由①②得a＝0，b=-3，所以圆C的半径为a24－b+1＝2.
8.[2023河北唐山模拟]已知圆C与圆C1：（x－1）2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为 x2＋（y＋1）2＝1 .
解析 由题意知，圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为C1（1，0），半径r1＝1.设圆心C1（1，0）关于直线y＝－x的对称点为（a，b），则ba－1·（－1）＝－1，－a+12＝b2，解得a=0，b＝－1.故所求圆C的标准方程为x2＋（y＋1）2＝1.
9.[2024衡水联考]已知点A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是 25 .
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆心C（2，1），半径r＝5.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'（m，n），所以m+02＋n+22+2=0，n－2m－0=1，解得m＝－4，n＝－2，故A'（－4，－2）.连接A'C交圆C于Q（图略），交直线x＋y＋2＝0于P，此时，｜PA｜＋｜PQ｜取得最小值，由对称性可知PA+PQ=A'P+PQ=A'Q=A'C-r=25.
10.[2024山东模拟]若P（x，y）是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，则｜3x－4y＋8｜的取值范围是 [3，13] .（用区间表示）
解析 令ω＝｜3x－4y＋8｜＝5×｜3x－4y+8｜5＝5d，其中d表示圆O：x2＋y2＝1上任意一点P（x，y）到直线l：3x－4y＋8＝0的距离.因为圆心O到直线l的距离为h＝832＋（－4）2=85，所以85－1≤d≤85＋1，即35≤d≤135，所以3≤5d≤13，即｜3x－4y＋8｜的取值范围是[3，13].
11.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2，3）.
（1）若P（a，a＋1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（2）求｜MQ｜的最大值和最小值.
解析 （1）因为点P（a，a＋1）在圆C上，
所以a2＋（a＋1）2－4a－14（a＋1）＋45＝0，
即a2－8a＋16＝0，解得a＝4，所以P（4，5），
所以｜PQ｜＝（－2－4）2＋（3－5）2＝210，直线PQ的斜率为5－34+2＝13.
（2）由x2＋y2－4x－14y＋45＝0得（x－2）2＋（y－7）2＝8，
所以圆心C（2，7），半径r＝22，
所以｜CQ｜＝（2+2）2＋（7－3）2＝42，
因为点Q在圆外，所以｜MQ｜max＝｜CQ｜＋r＝42＋22＝62，
｜MQ｜min＝｜CQ｜－r＝42－22＝22.
12.[2023江苏南京模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知点P（－3，0）在圆C：x2＋y2＋2mx－4y＋m2－12＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为8，则实数m的取值范围是（ A ）
A.（3－23，1]∪[5，3＋23）
B.[1，5]
C.（3－23，3＋23）
D.（－∞，3－23）∪（3＋23，＋∞）
解析 圆C：（x＋m）2＋（y－2）2＝16，圆心C（－m，2），半径r＝4，因为点P－3，0在圆内，所以｜PC｜＜r，即（－3+m）2+4＜4，解得3－23＜m＜3＋23.
设∠ACB＝θ，则S△ABC＝12r2sin θ＝8sin θ，当△ABC的面积最大值为8时，sin θ＝1，∠ACB＝90°，此时△ABC是等腰直角三角形，则圆心C（－m，2）到直线AB的距离d＝rsin 45°＝22，则有｜PC｜≥22，即（－3+m）2+4≥22，解得m≤1或m≥5.综上，m∈（3－23，1]∪[5，3＋23），故选A.
13.[多选/2024河南郑州联考]已知实数x，y满足曲线C的方程：x2＋y2－2x－2＝0，则下列说法正确的是（ AB ）
A.曲线C围成图形的面积为3π
B.y+1x+1的最大值为2＋6
C.｜x－y＋3｜的最小值是22－3
D.过点（0，2）作曲线C的切线，则切线方程为2x＋y－2＝0
解析 曲线C的方程：x2＋y2－2x－2＝0可化为（x－1）2＋y2＝3，表示以（1，0）为圆心，3为半径的圆.
A.曲线C围成图形的面积为πr2＝3π，故A正确；
B.y+1x+1表示圆上的点P（x，y）与点Q（－1，－1）连线的斜率k，
则圆心到直线PQ：y＋1＝k（x＋1）的距离为｜2k－1｜1+k2≤3，解得 2－6≤k≤2＋6，所以y+1x+1的最大值为2＋6，故B正确；
C.｜x－y＋3｜＝2｜x－y+32｜表示圆上的点P（x，y）到直线x－y＋3＝0距离的2倍，圆心到直线x－y＋3＝0的距离为42＝22，所以｜x－y＋3｜的最小值是2×（22－3）＝4－6，故C错误；
D.由题易知切线的斜率存在，设切线方程为y＝k1x＋2，则圆心到切线的距离为｜k1＋2｜1+k12＝3，即2k12－22k1＋1＝0，解得k1＝22，所以切线方程为y＝22x＋2，即2x－2y＋22＝0，故D错误.故选AB.
14.已知点A（－3，0），B（3，0），动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，若点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求｜QM｜的最小值.
解析 （1）设点P的坐标为（x，y），则（x+3）2＋y2＝2（x－3）2＋y2.
化简可得（x－5）2＋y2＝16，
故此曲线方程为（x－5）2＋y2＝16.
（2）曲线C是以点（5，0）为圆心，4为半径的圆，如图所示.
由题意知直线l2与圆C相切，连接CQ，CM，
则｜QM｜＝｜CQ｜2－｜CM｜2＝｜CQ｜2－16，
当CQ⊥l1时，｜CQ｜取得最小值，｜QM｜取得最小值，
此时｜CQ｜＝｜5+3｜2＝42，
故｜QM｜的最小值为32－16＝4.
15.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，｜AB｜＝8.
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 （1）由题意得F（1，0），l的方程为y＝k（x－1）（k＞0）.
设A（x1，y1），B（x2，y2）.
由y＝k（x－1),y2=4x，得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2+4k2.
所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（x1＋1）＋（x2＋1）＝4k2+4k2.
由题设知4k2+4k2＝8，解得k＝－1（舍去）或k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－（x－3），即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
y0＝－x0+5，（x0+1）2＝（y0－x0+1）22+16，解得x0=3，y0=2或x0=11，y0＝－6.
因此所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝16或（x－11）2＋（y＋6）2＝144.
16.[情境创新]剪纸是中国传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折.将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为2，点P在四段圆弧上运动，则AP·AB的取值范围为（ B ）
A.[－1，3]B.[－2，6]
C.[－3，9]D.[－3，6]
解析 以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy，设点P（x，y），易知，以AD为直径的左半圆的方程为x2＋（y－1）2＝1（－1≤x≤0），以BC为直径的右半圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝1（2≤x≤3），所以点P的横坐标x的取值范围是[－1，3]，又AP＝（x，y），AB＝（2，0），所以AB·AP＝2x∈[－2，6].故选B.