备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系

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A.63B.－63C.±63D.±33
解析 由题意知直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1有且只有一个交点.由y＝kx+2，x23＋y22=1，消去y并整理，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，所以Δ＝（12k）2－4×6×（2＋3k2）＝0，解得k=±63.
2.[命题点2角度1]已知直线l过双曲线C：x216－y29＝1的左焦点，且与C交于A，B两点，当｜AB｜＝8时，这样的直线l有（ C ）
A.1条B.2条C.3条D.4条
解析 由双曲线C：x216－y29＝1可得左焦点为（－5，0），左、右顶点分别为（－4，0），（4，0）.
若l⊥x轴，则｜AB｜＝2×94＝92＜8，不符合题意，舍去；
若l与x轴不垂直，与C的左支交于A，B两点，则｜AB｜＝8，存在2条直线；
若l与x轴不垂直，与C的左、右支各交于一点，则只有A，B为顶点时满足｜AB｜＝8，存在1条直线.
综上可得，满足条件的直线有3条.
3.[命题点2角度2/多选]已知椭圆x22＋y24＝1与斜率为k且不经过原点O的直线l交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列说法正确的是（ BD ）
A.kAB·kOM＝－1
B.若M（1，1），则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C.若直线l的方程为y＝x＋1，则M（13，43）
D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝423
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x122＋y124=1，x222＋y224=1，两式相减，得x12－x222＋y12－y224＝0，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－2，又y1＋y2x1＋x2＝y0x0，所以kAB·kOM＝－2.
对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；
对于B，由kAB·kOM＝－2，M（1，1），得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B正确；
对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M（13，43），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；
对于D，由y＝x+2，x22＋y24=1，得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－43，所以AB=1+12×-43-0=423，所以D正确.
4.[命题点3/多选/2023重庆市调研质量抽测]设O为坐标原点，F为抛物线C:x2=2pyp>0的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当θ＝30°时，｜MF｜＝2，则下列说法正确的是（ ABD ）
A.p＝3
B.△MON的面积的最小值为92
C.存在直线l，使得∠OMF＋∠ONF＞90°
D.分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直
解析 对于A，由题意得，F（0，p2），抛物线C的准线方程为y＝－p2，如图，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为M1，过点M作y轴的垂线，垂足为M2，记抛物线C的准线与y轴的交点为K，则｜MF｜＝｜MM1｜＝｜M2K｜＝｜FK｜－｜M2F｜.因为θ＝30°时，｜MF｜＝2，所以｜FM2｜＝1，则2＝p－1，得p＝3，所以选项A正确.
由选项A可知抛物线C：x2＝6y，F（0，32），易知直线MN的斜率一定存在，设直线MN的方程为y＝kx＋32，由x2=6y，y＝kx＋32，得x2－6kx－9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝－9，x1＋x2＝6k.
对于B，S△MON＝12｜OF｜·｜x1－x2｜＝34·（x1＋x2）2－4x1x2＝3436k2+36＝92k2+1≥92，当且仅当k＝0时等号成立，所以△MON的面积的最小值为92，所以选项B正确.
对于C，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x126·x226＝x1x2＋（x1x2）236＝－9＋8136＜0，则∠MON＞90°，所以∠OMF＋∠ONF＜90°，所以选项C错误.
对于D，因为y＝16x2，所以y'＝13x，则过点M且与抛物线相切的直线的斜率k1＝13x1，过点N且与抛物线相切的直线的斜率k2＝13x2，则k1k2＝x1x29＝－99＝－1，所以分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直，所以选项D正确.
综上，选ABD.
5.[命题点2，4/2023长春高三质检]已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为π3的直线被E所截得的弦长为16.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C为抛物线上的任意一点，以C为圆心的圆过点F，且与直线y＝－12交于A，B两点，求｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜的取值范围.
解析 （1）由题意，F（0，p2），设过点F且倾斜角为π3的直线为l，l的斜率为k，则k＝tanπ3＝3，l：y＝3x＋p2，
联立抛物线E与l的方程，并消去y得，x2－23px－p2＝0，Δ＝16p2＞0.
设直线l与抛物线E交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1＋x2＝23p，x1x2＝－p2.
所以｜MN｜＝1+k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1+3×12p2+4p2＝2×4p＝16，则p＝2.
所以抛物线E的方程为x2＝4y.
（2）设∠AFB＝θ，则∠ACB＝2θ，
设圆C的半径为r，则｜CF｜＝｜CA｜＝｜CB｜＝r.
因为S△AFB＝12×｜FA｜×｜FB｜×sin θ＝12×｜AB｜×32，
所以12×｜FA｜×｜FB｜×sin θ＝12×2rsin θ×32，
所以｜FA｜·｜FB｜＝3r.
设C（xC，yC），则｜FC｜＝r＝yC＋1.
又yC≥0，所以｜FC｜＝r＝yC＋1≥1，
则｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜＝3r2∈[3，＋∞），即｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜的取值范围是[3，＋∞）.
6.[命题点4/2023天津高考]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，｜A1F｜＝3，｜A2F｜＝1.
（1）求椭圆的方程和离心率e；
（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程.
解析 （1）由题意可知a＋c=3，a－c=1，解得a=2，c=1，
则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为x24＋y23＝1，离心率e＝ca＝12.
（2）由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可
设直线A2P的方程为y＝k（x－2）.由y＝k（x－2),x24＋y23=1，可得（3＋4k2）x2－16k2x＋16k2－12＝0，
设P（xP，yP），则由根与系数的关系可知xP＋2＝16k23+4k2，
即xP＝8k2－63+4k2，则yP＝k（xP－2）＝－12k3+4k2.
由直线A2P交y轴于点Q可得Q（0，－2k），
所以S△A1PQ＝12×4×｜yP－yQ｜，
S△A2FP＝12×1×｜yP｜，
因为S△A1PQ＝2S△A2FP，所以2｜yP－yQ｜＝｜yP｜，
①当2｜yP｜－2｜yQ｜＝｜yP｜时，｜yP｜＝2｜yQ｜，即有12｜k｜3+4k2＝2｜－2k｜，解得k＝0，不符合题意，舍去.
②当2｜yQ｜－2｜yp｜＝｜yp｜时，2｜yQ｜＝3｜yp｜，
即有4｜k｜＝36｜k｜3+4k2，解得k＝±62，
故直线A2P的方程为y＝±62（x－2）.