备考2024届高考数学一轮复习强化训练第四章三角函数第6讲函数y＝Asinωx＋φA＞0ω＞0的图象及其应用

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A.－2B.－2C.2D.2
解析 由f（x）为奇函数可得φ＝kπ（k∈Z），又｜φ｜＜
π，所以φ＝0，所以g（x）＝Asin12ωx.由g（x）的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g（x）＝Asin x.因为g（π4）＝Asinπ4＝2，所以A＝2，所以f（x）＝2sin 2x，
故f（3π8）＝2sin3π4＝2.
2.[命题点2/多选/新高考卷Ⅰ]如图是函数y＝sin（ωx＋φ）的部分图象，则sin（ωx＋φ）＝（ BC ）
A.sin（x＋π3）B.sin（π3－2x）
C.cs（2x＋π6）D.cs（5π6－2x）
解析 由题图可知，函数的最小正周期T＝2（2π3－π6）＝π，∴2π｜ω｜＝π，∴ω＝±2.
当ω＝2时，y＝sin（2x＋φ），易知，当x＝π6＋2π32＝5π12时，y＝－1，将点（5π12，－1）代入得，sin（2×5π12＋φ）＝－1，所以5π6＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，即φ＝2kπ＋2π3，k∈Z，令k＝0，则φ＝2π3，y＝sin（2x＋2π3）.由于y＝sin（2x＋2π3）＝sin[π－（2x＋2π3）]＝sin（π3－2x），故选项B正确；y＝sin（π3－2x）＝cs[π2－（π3－2x）]＝cs（2x＋π6），选项C正确；对于选项A，显然不符合题意；对于选项D，当x＝5π12时，cs（5π6－2×5π12）＝1≠－1，错误.
当ω＝－2时，y＝sin（－2x＋φ），将（5π12，－1）代入，得sin（－2×5π12＋φ）＝－1，所以－2×5π12＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝7π3＋2kπ，k∈Z，令k＝－1，则φ＝π3，
∴y＝sin（－2x＋π3），易知选项B，C正确，A，D错误.综上，选BC.
3.[命题点3/多选/2023湖南株洲模拟]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），若f（x1）＝－f（x2）＝1，｜x1－x2｜的最小值为3，将函数f（x）的图象向左平移1个单位长度得到g（x）的图象，且g（x）的图象关于y轴对称.令h（x）＝f（x）＋g（x），则下列结论正
确的是（ BCD ）
A.ω＝13，φ＝π6
B.函数h（x）的图象的对称中心为（3k－1，0），k∈Z
C.函数h（x）的最大值为3
D.函数h（x）在区间[－2，0]上单调递增
解析 因为函数f（x）满足f（x1）＝－f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为3，所以函数f（x）的最小正周期为6，而T＝6＝2π｜ω｜，因为ω＞0，所以ω＝π3，所以选项A错误.
函数f（x）＝sin（π3x＋φ），将函数f（x）的图象向左平移1个单位长度得到g（x）的图象，所以g（x）＝sin[π3（x＋1）＋φ]＝sin（π3x＋π3＋φ），因为g（x）的图象关于y轴对称，所以π3＋φ＝π2＋kπ（k∈Z），又0＜φ＜π2，所以φ＝π6，所以f（x）＝sin（π3x＋π6），
g（x）＝sin（π3x＋π3＋π6）＝csπ3x，所以h（x）＝f（x）＋g（x）＝sin（π3x＋π6）＋csπ3x＝3sin（π3x＋π3）.因为sin（π3x＋π3）∈[－1，1]，所以h（x）＝3sin（π3x＋π3）∈[－3，3]，所以选项C正确.
令π3x＋π3＝kπ（k∈Z），则x＝3k－1（k∈Z），所以函数h（x）的图象的对称中心为
（3k－1，0），k∈Z，选项B正确.
当x∈[－2，0]时，π3x＋π3∈[－π3，π3]，此时函数h（x）单调递增，故选项D正确.故选BCD.
4.[命题点3/多选/2023重庆市名校联考]已知函数f（x）＝｜sin x＋cs x｜－sin xcsx，则下列说法正确的是（ BD ）
A.f（x）是以π2为周期的周期函数
B.f（x）在[π，54π]上单调递减
C.f（x）的值域为[0，1]
D.存在实数a∈（0，3），使得f（x＋a）为偶函数，这样的a值可以有两个
解析 对于A，f（x＋π2）＝｜sin（x＋π2）＋cs（x＋π2）｜－sin（x＋π2）cs（x＋π2）＝
｜cs x－sin x｜＋sin xcsx≠f（x），所以函数f（x）的周期不为π2，故A不正确.
对于B，当x∈[π，54π]时，sin x＜0，cs x＜0，故当x∈[π，54π]时，f（x）＝－（sin x＋
cs x）－sin xcsx，令sin x＋cs x＝t，则sin xcsx＝t2－12，t＝sin x＋cs x＝2sin（x＋π4），因为x∈[π，54π]，所以x＋π4∈[54π，32π]，故t∈[－2，－1]，且当x∈[π，54π]时，t＝2sin（x＋π4）单调递减，令g（t）＝－t22－t＋12＝－12（t＋1）2＋1，则g（t）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为直线t＝－1，故g（t）＝－t22－t＋12在[－2，－1]上单调递增，由复合函数同增异减的性质可知，f（x）在[π，54π]上单调递减，故B正确.
对于C，令m＝｜sin x＋cs x｜＝｜2sin（x＋π4）｜∈[0，2]，则m2＝sin2x＋2sin xcsx＋cs2x＝1＋2sin xcsx，所以sin xcsx＝m2－12，令h（m）＝－m22＋m＋12＝－12（m－1）2＋1，m∈[0，2]，则当m＝1时，h（m）取得最大值，即f（x）取得最大值，且最大值为1，又h（m）的最小值为h（0）＝12，所以f（x）的最小值为12.综上，f（x）的值域为[12，1]，故C不正确.
对于D，f（x）＝｜sin x＋cs x｜－sin xcsx＝｜2sin（x＋π4）｜－12sin 2x，则f（x＋a）＝｜2sin（x＋a＋π4）｜－12sin（2x＋2a）.假设f（x＋a）为偶函数，则f（－x＋a）＝
f（x＋a），即｜2sin（－x＋a＋π4）｜－12sin（－2x＋2a）＝｜2sin（x＋a＋π4）｜－
12sin（2x＋2a），则∀x∈R，当｜sin（－x＋a＋π4）｜＝｜sin（x＋a＋π4）｜且sin（2x＋2a）＝sin（－2x＋2a）时，满足f（－x＋a）＝f（x＋a），由｜sin（－x＋a＋π4）｜＝
｜sin（x＋a＋π4）｜可得，－x＋a＋π4＝x＋a＋π4＋k1π，k1∈Z ①，或－x＋a＋π4＋x＋a＋π4＝k2π，k2∈Z ②，由①得x＝－k1π2，k1∈Z，则此时｜sin（－x＋a＋π4）｜＝｜sin（x＋a＋π4）｜不能对所有x恒成立，舍去；由②得a＝k2π2－π4＝（2k2－1）π4，k2∈Z.由sin（2x＋2a）＝sin（－2x＋2a）可得，2x＋2a－2x＋2a＝k3π，k3∈Z ③，由③得a＝k3π4，k3∈Z.结合②③，只需要保证a＝（2k2－1）π4，k2∈Z成立即可.因为a∈（0，3），所以当k2＝1，2时符合要求，当k2＝1时，a＝π4；当k2＝2时，a＝3π4.综上，D正确.故选BD.
5.[命题点4/2024江苏徐州模拟]当前，我国在建核电机组数量居全球第一.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋端部螺纹的现场加工难题，对螺纹滚道进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y（单位：mm）关于滚道径向方位角x（单位：rad）的函数y＝f（x）近似地满足f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）现需一批滚道径向残留高度不低于0.015 mm且不高于0.02 mm的钢筋，若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.
解析 （1）由图可知，A＋B=0.02，－A＋B=0，解得A＝B＝0.01，f（x）的最小正周期T满足T2＝4－1＝3，故T＝6，所以ω＝2πT＝2π6＝π3，又函数图象过点（1，0.02），所以0.01sin（π3＋φ）＋0.01＝0.02，即sin（π3＋φ）＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ，得φ＝π6＋2kπ，k∈Z.
又0＜φ＜π，所以φ＝π6，
所以f（x）＝0.01sin（π3x＋π6）＋0.01.
（2）由题意知0.015≤f（x）≤0.02，
结合（1）知，0.015≤0.01sin（π3x＋π6）＋0.01≤0.02，
即12≤sin（π3x＋π6）≤1，
所以π6＋2kπ≤π3x＋π6≤5π6＋2kπ，k∈Z，解得6k≤x≤6k＋2，k∈Z，所以当k＝0时，0≤x≤2，
所以这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为2∶T＝1∶3.