人教B版（2019）必修四 第十章 复数 章节测试题(含答案)

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人教B版（2019）必修四 第十章 复数 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若,则( )A. B. C. D.2．1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式(,i为虚数单位),这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,下面四个结果中不成立的是( )A. B. C. D.3．已知（i是虚数单位）是关于x的方程的一个根,则( )A.-7 B.-11 C.-19 D.4．设复数z满足,则( )A. B.2 C. D.5．已知a为实数,若复数为纯虚数,则复数z的虚部为( )A.1 B. C. D.26．若复数z满足,则( )A.i B. C.2i D.7．如果复数是纯虚数,,i是虚数单位,则( )A.且 B. C. D.或8．若,则( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，且O为复平面内的坐标原点，则下列说法正确的是( )A.的虚部为B.为纯虚数C.D.以OA，OB，OC的长度为三边长的三角形为钝角三角形10．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（i为虚数单位，e为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是( )A.表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B.C.D.11．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为( )A. B.C.z的共轭复数为 D.z的虚部为-112．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：对于，，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是( )A.B.当，，C.当，时，D.当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数三、填空题13．已知,且复数是纯虚数,则________.14．已知i是虚数单位,设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是,,则点C对应的复数是_____________.15．欧拉是科学史上最多才一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式,的最大值为________．16．已知复数,满足,,若(i为虚数单位),则___.四、解答题17．设虚数z满足.（1）求证：为定值;（2）是否存在实数k,使为实数？若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.18．已知.（1）是z的共轭复数，求的值；（2）求的值.19．设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.（1）求实数的值；（2）求的坐标；（3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.20．已知虚数，，其中i为虚数单位，，，是实系数一元二次方程的两根.（1）求实数m，n的值；（2）若，求的取值范围.21．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位.（1）求实数m的取值范围；（2）当时，求复数z的三角表示式；（3）若在复平面内，向量对应（2）中的复数z，把绕点O按顺时针方向旋转60°得到，求向量，对应的复数（结果用代数形式表示）.22．已知是关于x的实系数一元二次方程.（1）若a是方程的一个根，且，求实数k的值；（2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k的值.参考答案1．答案：A解析：因为,所以,所以,故选：A.2．答案：D解析：对于A,当时,因为,所以,故选项A正确;对于B,,故选项B正确;对于C,由,,所以,得出,故选项C正确;对于D,由C的分析得,推不出,故选项D错误.故选:D.3．答案：A解析：因为是关于x的方程的一个根,所以也是方程的根.根据根与系数的关系可得即得,所以故选：A.4．答案：D解析：因为,所以,因此故选：D.5．答案：D解析：由已知,解得,故,其虚部为2,故选：D.6．答案：C解析：,则.故选:C.7．答案：C解析：由复数是纯虚数,得,解得.故选：C.8．答案：C解析：,故选：C.9．答案：BCD解析：对于A，因为，所以的虚部为-2，所以A错误；对于B，因为，所以为纯虚数，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以，所以C正确；对于D，由已知可得，，，且，所以，所以为钝角，所以D正确.10．答案：BCD解析：对于A，，因为，所以，，所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，由，，所以，所以，故D正确.故选BCD.11．答案：BCD解析：由复数，则，所以A为假命题；因为，所以B为真命题；根据共轭复数的概念，可得复数z的共轭复数，所以C为真命题；根据复数的基本概念可得复数z的虚部为-l，所以D为真命题.故选BCD.12．答案：AC解析：，则，则，，所以A正确；当，时，，所以B错误；当，时，，则，所以C正确；当，时，，n为偶数时，设，，则，，所以当k为奇数时，为纯虚数，当k为偶数时，为实数，选项D错误.故选AC.13．答案：解析：,又该复数为纯虚数故,,故答案为:14．答案：解析：依题意得,,,,,四边形ABCD是平行四边形,,故点C对应的复数为.故答案为：.15．答案：3解析：,又,即当时,取得最大值为3,故答案为：3.16．答案：1解析：设,,其中a,b,c,且满足,,则所以,即,所以,所以,所以故答案为:1.17．答案：（1）为定值（2）解析：（1）依题意,设（x,,）,代入,得,整理得,即,所以为定值;（2）假设存在实数k,使得为实数,即：实数,,,,故存在实数k,使为实数,此时.18．答案：（1）0（2）1解析：（1）由题意知，.（2），..19．答案：（1）（2）（3）解析：（1）复数在复平面内对应的向量，复数在复平面内对应的向量，复数在复平面内对应的向量，.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，所以，解得，.（2）.（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，设，则.由（2）得，所以，解得，故点A的坐标为.20．答案：（1），（2）解析：（1）由题意，，即，故，根据根与系数的关系有，，即，.（2）由（1）知，故不妨设，.设，z，，在复平面内对应的点分别为Z，，，则的几何意义即为复平面内与，的距离之和为，因为与的距离为，所以点在线段上.故当Z为时，取得最小值2；当Z为或时，取得最大值.故的取值范围为.21．答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得，所以实数m的取值范围为.（2）当时，，所以，，所以，所以.（3）（代数运算）根据题意得在复平面内对应的向量，将其顺时针旋转60°后得到向量，则，对应的复数.【多种解法】（3）（三角运算）根据题意得在复平面内对应的向量，将其顺时针旋转60°后得到向量，则.又因为，，所以.22．答案：（1）或或（2）-5，-3，-2解析：（1）因为是关于x的实系数一元二次方程，所以，因为a是方程的一个根，且，当时，则或，若，代入方程得，解得；若，代入方程得，解得；当a为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根，故，又因为，即，故，所以，解得，又，得，所以；综上：或或.（2）由韦达定理可知，，，，所以，因为为整数，，所以必为的因式，则的值可能为，则实数k的值可能为-5，-3，-2，1，3，又因为是该方程的两个实根，所以，则，所以k的所有取值为-5，-3，-2.