北师大版（2019）选择性必修一第三章 空间向量与立体几何 章节测试题(含答案)

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北师大版（2019）选择性必修一第三章 空间向量与立体几何 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知,,则的最小值( )A. B. C. D.2．在正方体中,点E为上底面的中心,若,则x,y的值是( )A., B., C., D.,3．如图,在三棱柱中,P,Q分别是CF,AB的中点,,则( )A.1 B.-1 C.0.5 D.-24．已知正四棱柱中,,则CD与平面所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.5．如图,在底面为正方形的四棱锥中,已知平面ABCD,且．若点M为PD中点,则直线CM与PB所成角的大小为( )A.60° B.45° C.30° D.90°6．如图三棱柱中,G是棱的中点,若,,,则( )A. B. C. D.7．在空间直角坐标系中,已知,,,则点O到平面ABC的距离是( )A. B. C. D.8．如图,在平行六面体中,( )A. B. C. D.二、多项选择题9．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为10．如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,D是棱的中点,P是AD的延长线与的延长线的交点.若点Q在直线上,则下列结论错误的是( )A.当Q为线段的中点时,平面B.当Q为线段的三等分点时,平面C.在线段的延长线上,存在一点Q,使得平面D.不存在点Q,使DQ与平面垂直11．在棱长为2的正方体中,P是棱AB上一动点,则P到平面的距离可能是( )A. B. C. D.12．在三棱锥中,DA,DB,DC两两垂直,且,E为BC的中点,则直线AE和BC( )A.垂直 B.相交 C.共面 D.异面三、填空题13．已知空间向量,,则___________.14．已知平面一个法向量为,点为内一点,则点到平面的距离为__________.15．如图,在三棱锥中,D是BC的中点,若,,,则等于____________.16．如图,在长方体中,E,F分别为,的中点,G是线段EF上一点,满足,若,则________.四、解答题17．如图,四棱锥的底面为正方形,底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：平面PDC;（2）已知,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．18．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是矩形,O,E分别是BC,PA的中点,平面经过点O,D,E与棱PB交于点F．（1）试用所学知识确定F在棱PB上的位置;（2）若,求EF与平面PCD所成角的正弦值．19．如图，在直三棱柱中，D，E分别为，的中点，.求证：（1）平面；（2）.20．如图，正方形的边长为，四边形是平行四边形，与交于点G，O为的中点，，且平面.求证：（1）平面；（2）平面.21．如图，已知空间四边形，E，H分别是边，的中点，F，G分别是边，上的点，且，.用向量法证明：四边形是梯形.22．如图,在直三棱柱中,,,E,F分别为,的中点,且平面.(1)求AB的长;(2)若,求二面角的余弦值.参考答案1．答案：B解析：由题可知,,故,即的最小值.故选:B.2．答案：A解析：根据题意,结合正方体的性质,可知,所以有,,故选：A．3．答案：B解析：如图,连接CQ.因为P,Q分别是CF,AB的中点,,所以,,,则.故选：B.4．答案：A解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设,则,,设平面的法向量为,则,令,则,所以.设CD与平面所成角为,则.故选：A.5．答案：C解析：如图所示：以A为坐标原点,以,,为单位向量建立空间直角坐标系,设,则,,,,,故,,故,由异面直线夹角的范围是,故直线CM与PB所成角的大小为.故选：C.6．答案：B解析：由已知可得,因为G为棱的中点,则.故选:B.7．答案：B解析：依题意可得,,,设平面ABC的一个法向量为,则,令,则可得,,即,所以点O到平面ABC的距离是.故选:B8．答案：B解析：连接,可得,又,所以.故选:B.9．答案：AC解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；，且，不是平面的法向量，故B不正确；，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；，且，不是平面的法向量，故D不正确.10．答案：ABC解析：如图,以为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,易知,,,,,,,所以,,,.设平面的一个法向量为,则,取,则,,所以平面的一个法向量为.假设平面,且,则.因为也是平面的法向量,所以与共线,所以成立,但此方程关于无解,因此不存在点Q,使DQ与平面垂直,所以选项ABC不正确,选项D正确.故选：ABC.11．答案：BC解析：如图,以为坐标原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,,故,,设平面的法向量,由,取,则为平面的法向量,,所以P到平面的距离.因为,所以,而,即BC选项的数值才符合.故选：BC.12．答案：ABC解析:因为E为BC的中点,则直线AE和BC相交于点E,所以选项B,C正确,选项D不正确.因为E为BC的中点,所以,因为在三棱锥中,DA,DB,DC两两垂直,且,所以,所以,故选项A正确.故选:ABC.13．答案：解析：因为空间向量,,则,因此,.故答案为：.14．答案：1解析：由题意知：所以则点P到平面的距离,故答案为：1.15．答案：解析：由图可得.故答案为：.16．答案：/.解析：建立如图所示空间直角坐标系,设,,,因为E,F分别为,的中点,所以,,所以,又因为,所以,所以,又因为,,,,所以,所以,解得,所以,故答案为:或.17．答案：（1）证明见解析;（2）.解析：（1）证明：在正方形ABCD中,,因为平面PBC,平面PBC,所以平面PBC,又因为平面PAD,平面平面,所以,因为在四棱锥中,底面ABCD是正方形,所以,且平面ABCD,所以,,因为,所以平面．（2）［方法一］【最优解】：通性通法因为DP,DA,DC,两两垂直,建立空间直角坐标系,如图所示：因为,设,,,,设,则有,,设平面QCD的法向量为,则,即,令,则,所以平面QCD的一个法向量为,则根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于,当且仅当时取等号,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.［方法二］：定义法如图2,因为平面PBC,,所以平面PBC．在平面PQC中,设．在平面PAD中,过P点作,交于F,连接EF．因为平面平面,所以．又由平面PAD,平面,所以平面．又平面PAD,所以．又由,,平面QOC,平面QDC,所以平面QDC,从而即为PB与平面QCD所成角．设,在中,易求．由与相似,得,可得．所以,当且仅当时等号成立．［方法三］：等体积法如图3,延长CB至G,使得,连接GQ,GD,则,过G点作平面QDC,交平面QDC于M,连接QM,则即为所求．设,在三棱锥中,．在三棱锥中,．由得,解得,当且仅当时等号成立．在中,易求,所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．18．答案：（1）见解析（2）解析：（1）过P作直线l与BC平行,延长DE与l交于点G,连接OG,OG与PB的交点即为点F．因为底面ABCD是矩形,O是BC的中点,所以,且．又,所以,因为E是PA的中点,可得,则,所以．故F在棱PB的靠近B的三等分点处．（2）因为,O是BC的中点,所以,又平面平面ABCD,平面平面,平面PBC,所以平面ABCD．取AD中点Q,连接OQ,易知OQ,OC,OP两两相互垂直,如图,分别以OQ,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,,． 设平面PCD的法向量为,则即令,则,所以．．设EF与平面PCD所成角为,则,所以EF与平面PCD所成角的正弦值为．19．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：取的中点，连接.由题易得，，，两两垂直，以E为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.设，，则，，，，，，所以，，所以，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，，而，所以，所以.20．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：取的中点H，连接，则.四边形为正方形，，,故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的一个法向量为，则即取，则，，.四边形为平行四边形，，，，又平面，平面.（2）由（1）知.，，，，即，.又，，平面，平面.21．答案：证明见解析解析：证明：连接，，H分别是边，的中点，，，且，又F不在上，四边形是梯形.22．答案：(1)(2)解析：（1）面,又面, ,又F为的中点, ,又在、中,,易证得,故.,,又,,故.（2）以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可知,,则,不妨设是平面的一个法向量,那么,即,令,则.又面,故是平面的一个法向量.设为二面角所成平面角,则,即二面角的余弦值为.