天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足,,则( )
A.12B.20C.28D.30
3．在等差数列中,若,则的值等于( )
A.8B.10C.13D.26
4．已知双曲线的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
5．已知双曲线方程为,过点作直线l与该双曲线交于M,N两点,若点A恰好为MN中点,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
6．已知等差数列的前n项和为,,,则当S取得最小值时,n的值为( )
A.4B.6C.7D.8
7．已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4,点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为( )
A.B.C.D.
8．已知,是椭圆和双曲线的公共焦点,且A,B两点为,在第二,四象限的公共点,若四边形为矩形,则的离心率为( )
A.B.C.D.
9．已知抛物线的焦点为F,设,是抛物线上的两个动点,如满足,则的最大值( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．在等差数列中,若,则=___________.
11．已知等差数列中,,当且仅当时,前n项和取得最大值,则公差d的取值范围时________
12．设等差数列,的前n项和分别是,,且,则__________.
13．设抛物线()的焦点为F,准线为l.过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足C,D.若,且三角形CDF的面积为,则p的值为___________.
14．已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线:的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线和距离之和的最小值为___________.
15．已知椭圆的左右顶点分别为,,P为C任意一点,其中直线的斜率范围为,则直线的斜率范围为______.
三、解答题
16．已知在非零数列中,,数列的前n项和.
（1）证明:数列为等差数列;
（2）求数列的通项公式;
（3）若数列满足,求数列的前n项和.
17．在四棱锥中,底面ABCD,且,四边形ABCD是直角梯形,且,,,,M为PC中点,E在线段BC上,且.
（1）求证:平面PAB;
（2）求直线PB与平面PDE所成角的正弦值;
（3）求点E到PD的距离.
18．已知椭圆的左,右焦点分别为,,离心率为,点A在椭圆C上,,,过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点,N为线段PQ的中点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知点,且,求直线l的方程.
19．（1）在数列中,,,且满足,求数列的通项公式;
（2）在数列中,,,求数列的通项公式;
（3）若数列是正项数列,且,求数列的通项公式
20．已知椭圆,其离心率为,右焦点为F,两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.
（1）求椭圆C的标准方程:
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M,M在第一象限,此直线l与y轴的正半轴交于点N,直线NF与直线OM交于点P且,求直线l的斜率.
参考答案
1．答案：D
解析：先将抛物线方程化为标准方程,再写出准线方程.
将化为,
则该抛物线的准线方程为.
2．答案：B
解析：由已知得,
,
,
,
故选:B.
3．答案：C
解析：因为,所以,即,
所以.
故选:C.
4．答案：A
解析：双曲线C:的离心率为,
故,,
.
故双曲线C的渐近线方程为:.
故选:A
5．答案：A
解析：设,,由题意可得:,两式作差可得:,
即,
又点恰好为MN中点,所以直线l的斜率为:,
因此,直线l的方程为:,即.
故选A
6．答案：C
解析：因为,故.
同理,故,
所以,,即当时,取得最小值.
故选:C.
7．答案：D
解析：将代入抛物线方程,可得,
则抛物线方程为,准线方程为,
又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为4,
则,,又,,
可得,,所以双曲线方程为.
故选:D.
8．答案：D
解析：设,,
点A为椭圆上的点,,,,,
即;①又四边形为矩形,,即②由①②得:,解得,
设双曲线的实轴长为2m,焦距为2n,
则,,
双曲线的离心率.
故选D.
9．答案：B
解析：根据抛物线的定义有,由余弦定理得,故的最大值为.
10．答案：10.
解析：因为是等差数列,所以,即,所以,
故答案为:10.
11．答案：
解析：因为数列中,
故其前项和是关于n的二次函数,且.
因为当且仅当时,前n项和取得最大值
故只需该二次函数的对称轴范围在,
即,解得
故答案为:.
12．答案：
解析：由等差数列的性质可知,
则.
故答案为:
13．答案：
解析：设,因为直线AB过焦点F,所以(不妨设在第一象限),又由,所以,即,所以,,,所以,解得.
14．答案：3
解析：双曲线的渐近线方程,右顶点,到其一条渐近线的距离,解得,则,
所以双曲线的焦点坐标,所以抛物线焦点坐标,
即抛物线方程,如图:过点M作,垂足为A,作准线的垂线MC,垂足为C,连接MF,根据抛物线定义有:
,即动点到直线和距离之和,
转化为:动点M到直线和到焦点的距离之和,
当A,M,F三点共线时,距离之和最小,即点F到直线的距离,
.
故答案为:3
15．答案：
解析：由椭圆的方程可得,,则,,设,
,即
,,,
直线斜率的取值范围是,直线斜率的取值范围是:,
故答案为:
16．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明因为在非零数列中,,,
两边同时除以,
可得,
所以.
又,所以,
所以是以1为首项.以为公差的等差数列.
（2）因为数列的前n项和,所以,
当时,
,
又对也成立,
所以.
（3）由（1）可知,,
又由（2）可知,
所以,
可知为等差数列,
所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）如图,取BC中点F,连接MF,DF,
因为F为BC中点,,,,所以,
所以四边形ABFD为平行四边形,所以,
又平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因为F为BC中点,M为PC中点,则,
又平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因为,MF,平面MDF,所以平面平面PAB,
又平面MDF,故平面PAB.
（2）根据题意,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
由条件可得,,,,,,
则,,,
设平面PDE的法向量为,
则,解得,
取,则,,所以平面PDE的一个法向量为,
设直线PB与平面PDE所成角为,
则.
所以直线PB与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）可知,,,
所以点E到PD的距离为.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）,,,在中,,
即,,
解得:,,,,
椭圆C的方程为:;
（2）由题意设l的方程为:,,,
联立方程,得,
,,
,,
,,即,
化简得:,,,,
直线l的方程为或者;
综上,椭圆C的方程为:,直线l的方程为或者.
19．答案：（1）;
（2）;
（3）
解析：（1）,
,数列为等差数列,
,,
.
（2）,,又,
是以首项为,公差为的等差数列,
,.
（3）,
,
两式相减可得:,,又时,也满足上式,
,.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,解得,
因此,椭圆的标准方程为:.
（2）由题意可知,直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为,且,
联立,消去y并整理,得,
,可得,
由韦达定理可得,,
,则点,
因为点P在第一象限,则,则,直线OM的方程为,
在直线l的方程中,令可得,即点,易知点,
,则直线NF的方程为,
联立可得,即点,
因为,即,即,可得,则,
将代入可得,则,
,解得.