2022-2023学年天津市蓟州区高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市蓟州区高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，已知点则线段AB的长度是（    ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【分析】利用空间两点间的距离公式求解.

【详解】解：因为点

所以，

故选：A

2．圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据圆的标准方程的形式写.

【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是.

故选C.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.

3．在空间直角坐标系中，点在坐标平面的射影坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据坐标平面满足横坐标为0即可解决.

【详解】在空间直角坐标系中,点在坐标平面的射影坐标是 .

故选：A.

4．两条平行直线之间的距离为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】由平行线之间的距离公式直接求解即可.

【详解】解：，则两平行线之间的距离为.

故选：B.

5．设，直线与直线垂直，则（    ）

A．-2 B．1 C．-2或1 D．

【答案】D

【分析】利用两直线垂直公式求解.

【详解】解：因为直线与直线垂直，

所以，解得，

故选：D

6．若过点，且与圆相切的直线方程为（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决.

【详解】圆的圆心是 ，半径是 ，

把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，

当直线斜率不存在时，

直线为 ，不满足题意；

当直线斜率存在时，

设直线为 ，即 ，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即

，

解得 或 ，

切线为或 ，

故选：D.

7．在棱长为1的正方体中，点B到直线距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，根据空间里面点到直线的距离的向量算法求解.

【详解】以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴， ,，

，，，

取，，

则，·＝，

过点B作，点B到直线的距离为

∴点B到直线的距离为.

8．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出直线过定点，由几何性质可知即为点到直线的距离最大值，进而求出，得到此时直线的斜率，从而求出方程.

【详解】变形为，

故，解得：，

故直线过定点，

故为点到直线的距离最大值，

即，

且此时直线的斜率为，

故此时直线方程为，整理得：.

故选：C

9．已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理结合圆的性质求出的长，由圆的性质可知当为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，从而可求出面积的最大值.

【详解】解：把圆化为标准方程，圆心，半径，

直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距，

由勾股定理的半弦长为，弦长为，

又两点在圆上，并且位于直线的两侧，四边形的面积可以看出是两个三角形和的面积之和，

如图所示，当为如图所示的位置，即为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形的面积最大，

最大面积为，

故选：A．

【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及圆的内接四边形面积最大问题，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.

二、填空题

10．已知空间向量，则____.

【答案】5

【分析】由向量的坐标运算求解即可.

【详解】，

故答案为：5

11．已知点P（1，2）到直线的距离为_____________.

【答案】##0.2；

【分析】利用点到直线的距离公式求解.

【详解】解：点P（1，2）到直线的距离为，

故答案为：；

12．设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为________.

【答案】

【分析】由结合向量的坐标运算求解即可.

【详解】因为，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为

故答案为：

13．圆与圆的公共弦长为_________．

【答案】

【分析】两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算圆的圆心到公共弦所在直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得出答案.

【详解】解：由圆与圆，

两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，

圆的圆心，半径，

则圆心到直线的距离，

所以公共弦长为.

故答案为：.

14．直三棱柱中，，分别是的中点，，则所成角的余弦值为___________

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值.

【详解】依题意可知两两相互垂直，

由此建立如图所示空间直角坐标系，设，

则，

设所成角为，

则.

故答案为：

15．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.

【答案】

【详解】试题分析：设，则，故圆C的方程为

【解析】直线与圆位置关系

【名师点睛】求圆的方程有两种方法：

（1）代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．

（2）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．

三、解答题

16．如图，棱长为2的正方体中，E，F，G分别是的中点，

(1)求证：;

(2)求点G到平面EFC的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标和，的坐标，根据数量积的结果，即可证明；

（2）求得平面的法向量和的坐标，以及在法向量上的投影向量的模长，即可求得结果.

【详解】（1）建立以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴的空间直角坐标系如下所示：

则，

，则，

故.

（2）因为，设平面CEF的法向量为，则有

故，即，令，则，即，

又，所以点G到平面CEF的距离.

17．已知的顶点.

(1)求边上的中线所在直线的方程；

(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；

（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.

【详解】（1）线段的中点为，

则中线所在直线方程为：，即.

（2）设两坐标轴上的截距为，

若，则直线经过原点，斜率，

直线方程为，即；

若，则设直线方程为，即，

把点代入得，即，直线方程为；

综上，所求直线方程为或.

18．如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．

(1)求证：∥平面；

(2)求平面PAC与平面EMN所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得的方向向量和平面的法向量，根据其数量积的结果即可证明；

（2）分别求得两个平面的法向量，结合法向量夹角和二面角之间的关系，即可求得结果.

【详解】（1）因为面面，故，又，

故以为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如下所示：

依题意可得，，，，，，，．

=，=.设为平面的法向量，

则，即，不妨设，可得.

又，故可得.

因为平面BDE，所以MN//平面BDE.

（2）易知为平面CEM的一个法向量，

设为平面EMN的法向量，则，

因为，，所以．

不妨设，可得；

设平面PAC与平面EMN所成角为，，

所以平面PAC与平面EMN所成角的余弦值为.

19．已知圆过点，且与直线相切于点．

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线的方程；

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）设圆心坐标为，根据题意由求解；

（2）易得圆心C到直线的距离，再分直线斜率不存在和存在，利用点到直线的距离公式求解.

【详解】（1）解：设圆心坐标为，

则，

解得：，

圆的半径，

圆C的方程为：.

（2）为直角三角形，，

，

则圆心C到直线的距离；

当直线斜率不存在，即时，满足圆心C到直线的距离；

当直线斜率存在时，设，即，

，解得：，

，即；

综上所述：直线的方程为或.

20．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且，，是棱的中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)在线段上（不含端点）是否存在一点，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)线段上存在一点，，理由见解析.

【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量以及的方向向量，利用向量法求解线面角即可；

（2）假设存在这样的点，设出点的坐标，分别求得平面的法向量，结合数量积运算即可求解.

【详解】（1）因为面面，故，又，

故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，，.

设平面的法向量为.

∵，

∴，即，不妨取，得；

又.

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

（2）假设在线段上（不含端点）存在一点，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为.

连接.设， 得.

设平面的法向量为.

∵，

∴，即，不妨取，得；

设平面MAC与平面ACE所成角为，

则，化简得，

解得，或，

∴在线段上存在一点，且或时，使得平面MAC与平面ACE所成角的余弦值为.