2021年广东省广州市天河区高考数学综合测试试卷（二）（二模）

这是一份2021年广东省广州市天河区高考数学综合测试试卷（二）（二模），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省广州市天河区高考数学综合测试试卷（二）（二模）
一、单选题
1．（5分）已知集合P＝{x|﹣3⩽x⩽1}，Q＝{y|y＝x2+2x}，则P∪（∁RQ）＝（　　）
A．[﹣3，﹣1） B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，1]
2．（5分）已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）设θ∈R，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（　　）
A．10﹣2kJ B．10﹣1kJ C．102kJ D．103kJ
5．（5分）在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（　　）
A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48
6．（5分）已知a＝log43，b＝log53，，则（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
7．（5分）天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（　　）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
8．（5分）已知双曲线的左、右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当△ABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±x D．
二、多选题
（多选）9．（5分）设向量，，则（　　）
A． B．
C． D．与的夹角为
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝2cos2x﹣2sin（π+x）cosx﹣1，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在单调递增
C．函数f（x）在上的值域为[﹣1，2]
D．把函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝f（x）的图象
（多选）11．（5分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB＝2，，E，F分别为AB，BC的中点．则（　　）

A．A1E⊥DF
B．点A1、E、F、C1四点共面
C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为
D．三棱锥E﹣C1DF的体积为
（多选）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝2sinx，且当x≥0时，f'（x）＞1．若，则实数t的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于　 　．
14．（5分）写出一个满足前5项的和为10，且递减的等差数列的通项an＝　 　．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，PA＝，O1为△ABC的外接圆的圆心，cos∠PAO1＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 　 　．
四、双空题
16．（3分）已知函数，且f'（1）＝1，则a＝　 　，曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程为 　 　．
五、解答题
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，k∈N*，求的值．
18．（12分）如图，在四边形ABCD中，CD＝3，BC＝，cos∠CBD＝﹣．
（1）求∠BDC；
（2）若∠A＝，求△ABD周长的最大值．

19．（12分）某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．

（1）月市场占有率y与月份代码x符合线性回归模型拟合的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2021年3月份（即x＝10时）的市场占有率；
（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：
报废年限
1年
2年
3年
4年
A型车（辆）
20
35
35
10
B型车（辆）
10
30
40
20
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考公式及数据：回归直线方程为，其中＝，，，．
20．（12分）如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，，∠BCD＝60°．E为线段CD上的点，且CE＝CB＝3．将△BCE沿BE折起，得到四棱锥C1﹣ABED（如图2），使得C1A＝C1B．

（1）求证：平面AC1D⊥平面ABC1；
（2）求二面角C1﹣DE﹣A的余弦值．
21．（12分）设O为坐标原点，已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若F2（1，0），设不与x轴重合的直线l过椭圆E的右焦点F2，与椭圆E相交于A、B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C、D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）在[0，1]上的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）+ln（x+1）﹣cosx，则是否存在实数a，使得函数g（x）在x＝0处取得极小值？若存在，求出a值；若不存在，说明理由．

2021年广东省广州市天河区高考数学综合测试试卷（二）（二模）
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）已知集合P＝{x|﹣3⩽x⩽1}，Q＝{y|y＝x2+2x}，则P∪（∁RQ）＝（　　）
A．[﹣3，﹣1） B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，1]
【分析】求出集合Q，从而求出∁RQ，由此能求出P∪（∁RQ）．
【解答】解：∵集合P＝{x|﹣3⩽x⩽1}，
Q＝{y|y＝x2+2x}＝{y|y＝(x+1)2﹣1}＝{y|y≥﹣1}，
∴∁RQ＝{y|y＜﹣1},
则P∪（∁RQ）＝{x|x≤1}＝(﹣∞,1]．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【分析】推导出z＝，利用复数的运算法则和复数定义能求出该复数的虚部．
【解答】解：∵i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，
∴z＝＝＝＝＝﹣．
∴复数z的虚部为﹣．
故选：B．
【点评】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）设θ∈R，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由sin0＝0＜知“”不是“”的充分条件，再结合三角函数的性质知“”是“”必要条件，从而解得．
【解答】解：∵sin0＝0＜，∴“”不是“”的充分条件，
∵，又∵y＝sinx在[0，]上为增函数，
∴sin0＜sinθ＜sin,
∴0＜sinθ＜,
∴“”是“”必要条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分、必要条件的判断，同时考查了三角函数的性质，属于基础题．
4．（5分）生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（　　）
A．10﹣2kJ B．10﹣1kJ C．102kJ D．103kJ
【分析】根据等比数列的通项公式即可求出．
【解答】解：根据题意可知：能量流动法则里表明能量的效率大约是10%，
如果要使H3获得10kJ能量，
则H1×（10%）2＝H3，解得H1＝103KJ，
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的基本知识，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．
5．（5分）在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（　　）
A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48
【分析】依题意，可得P（ξ≤80）＝0.2，于是所抽取的两名学生不高于80分的成绩变量X服从二项分布B（2，0.2），从而可得答案．
【解答】解：∵ξ服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），
又ξ在（80，120）内的概率为0.6，
∴P（ξ≤80）＝＝0.2，
∴所抽取的2名学生不高于80分的成绩变量X服从二项分布B（2，0.2），
∴任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率P′＝×0.21×0.8＝0.32，
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．
6．（5分）已知a＝log43，b＝log53，，则（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【分析】利用作差法及对数函数的单调性依次比较大小．
【解答】解：∵a﹣＝＝＞0，
∴a＞c，
b﹣＝log53﹣＝＝＜0，
∴b＜c，
故a＞c＞b，
故选：D．
【点评】本题考查了对数值比较大小的方法，属于基础题．
7．（5分）天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（　　）
A．54种 B．60种 C．72种 D．96种
【分析】由题意知，甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．
乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，即第二、三、四名；
再排甲，除乙的名次外有2种情况，故甲也有3种情况；
余下3人有A33种排法．
故共有3•3•A33＝54种不同的情况．
故选：A．
【点评】排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，是中档题．
8．（5分）已知双曲线的左、右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当△ABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C．y＝±x D．
【分析】由题意设P的坐标，当△ABP的外接圆面积达到最小时，即外接圆的半径最小，由三角形的外接圆的求法可得半径最小时∠APB的正弦值最大，可得其角的正切值最大，由两角差的正切公式，及均值不等式可得当P的纵坐标为b时满足条件，将P的坐标代入双曲线的方程可得a，c的工作，再由a，b，c的关系求出a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．
【解答】解：由题意设P（c，y0），y0＞0，当△ABP的外接圆面积达到最小时，
设其外接圆的半径r，即r最小，而＝2r，
所以sin∠APB最大时，△ABP的外接圆面积达到最小，
可得tan∠APB最大，而∠APB＝∠APF﹣∠BPF，
tan∠APF＝，tan∠BPF＝，
所以tan∠APB＝tan（∠APF﹣∠BPF）＝＝＝≤＝，
当且仅当y0＝，即y0＝b，
所以P的坐标（c，b），将P点坐标代入双曲线的方程可得﹣＝1，
即c2＝2a2，可得a2+b2＝2a2，
所以a＝b，
所以渐近线的方程为：y＝±x，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，三角形外接圆的半径的求法，均值不等式的应用，属于中档题．
二、多选题
（多选）9．（5分）设向量，，则（　　）
A． B．
C． D．与的夹角为
【分析】分别求出两个向量的模，判断A；求出判断B；求出），（）＝0，判断C；求出cos＜＞＝，判断D．
【解答】解：向量，，
对于A，||＝，||＝2，故A错误；
对于B，＝（﹣1，﹣1），故B错误；
对于C，＝（﹣1，﹣1），∴（）＝0，∴（）⊥，故C正确；
对于D，cos＜＞＝＝＝，
∴与的夹角为，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量的模、向量平行、向量垂直、向量夹角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝2cos2x﹣2sin（π+x）cosx﹣1，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在单调递增
C．函数f（x）在上的值域为[﹣1，2]
D．把函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝f（x）的图象
【分析】先结合二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：f（x）＝2cos2x﹣2sin（π+x）cosx﹣1＝cos2x+sin2x＝2sin(2x+),
A：由于f()＝2sin＝1,图像不关于点对称，不符合题意；
B：﹣+2kπ≤2x+,k∈Z得,k∈Z,
当k＝0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣],符合题意；
C：由x∈得2x+∈[],
所以2sin(2x+)∈[﹣1,2],符合题意；
D：把函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝2sin(2x+),不符合题意．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB＝2，，E，F分别为AB，BC的中点．则（　　）

A．A1E⊥DF
B．点A1、E、F、C1四点共面
C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为
D．三棱锥E﹣C1DF的体积为
【分析】利用反证法证明选项A，连结AC，证明EF∥A1C1，即可判断选项B，由题意，找到直线与平面所成的角，在Rt△DCC1中求解，即可判断选项C，连结DE，利用等体积法求出三棱锥的体积，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，假设A1E⊥DF，由题意可知，BC⊥平面AA1B1B，因为A1E⊂平面AA1B1B，
所以A1E⊥BC，又BC∩DF＝F，BC，DF⊂平面ABCD，所以A1E⊥平面ABCD，
由长方体的性质可知，A1E与平面ABCD不垂直，故假设不等式，故选项A错误；
对于B，连结EF，AC，A1C1，由于E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，
又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，
则点A1，E，F，C1四点共面，故选项B正确；
对于C，由题意可知，DC⊥平面BB1C1C，所以∠DC1C即为C1D与平面BB1C1C所成的角，
在Rt△DCC1中，CC1＝，CD＝2，
则tan∠DC1C＝，故选项C正确；
对于D，连结DE，C1E，因为AB＝AD＝2，
则S△DEF＝SABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF
＝，
利用等体积法＝，故选项D正确．
故选：BCD．

【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何的综合应用，考查了线面垂直的性质定理，四点共面问题，线面角的求解以及等体积法的应用，考查了逻辑推理能力，空间想象能力与转化化归能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝2sinx，且当x≥0时，f'（x）＞1．若，则实数t的取值可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】构造函数h(x)＝f(x)﹣sinx，通过h(x)﹣h(﹣x)＝0，可推得函数h(x)为偶函数，结合偶函数的性质，以及单调性，即可求解．
【解答】解：
∵，即f(t)﹣sint≤，
设h(x)＝f(x)﹣sinx，
∴，
∵f（x）﹣f（﹣x）＝2sinx，
∴h(﹣x)＝f(﹣x)+sinx，
∴h(x)﹣h(﹣x)＝f(x)﹣f(﹣x)﹣2sinx＝2sinx﹣2sinx＝0，
∴函数h(x)是偶函数，
∵h'(x)＝f'(x)﹣cosx，
∵当x≥0时，f'(x)＞1，
∴h'(x)＞0，
∵偶函数在对称区间上单调性相反，
∴h(x)在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∵，
∴，
∴，
满足条件的只有AB选项，
故选：AB．
【点评】本题考查了构造函数、偶函数的性质，以及利用导数研究函数的单调性，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于　6　．
【分析】利用中点坐标公式和弦长公式即可得出．
【解答】解：由抛物线y2＝4x可得p＝2．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2＝2×2＝4．
∵直线AB过焦点F，
∴|AB|＝x1+x2+p＝4+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
14．（5分）写出一个满足前5项的和为10，且递减的等差数列的通项an＝　﹣1.5n+6.5　．
【分析】设满足前5项的和为10，且递减的等差数列的首项为5，公差为d,利用等差数列前n项和公式能求出公差，由此能求出结果．
【解答】解：设满足前5项的和为10，且递减的等差数列的首项为5，公差为d,
则,
解得d＝﹣1.5,
∴通项an＝5+(n﹣1)×(﹣1.5)＝﹣1.5n+6.5．
故答案为：﹣1.5n+6.5．
【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，PA＝，O1为△ABC的外接圆的圆心，cos∠PAO1＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 　14π　．
【分析】先确定O1为BC的中点，进而证明平面ABC⊥平面PAO1，作PH⊥平面ABC，垂足为H，取PA的中点O，连结OO1，得到点O即为三棱锥P﹣ABC也就是四棱锥P﹣ABHC的外接球的球心，由此求解外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．
【解答】解：因为∠BAC＝90°，O1为△ABC的外接圆的圆心，
所以O1为BC的中点，则AO1＝，
因为AB＝AC＝2，PB＝PC，
所以BC⊥AO1，BC⊥PO1，又AO1∩PO1＝O1，AO1，PO1⊂平面PAO1，
所以BC⊥平面PAO1，又BC⊂平面ABC，
故平面ABC⊥平面PAO1，
作PH⊥平面ABC，垂足为H，因为P∈平面PAO1，则PH⊂平面PAO1，
又平面ABC∩平面PAO1＝AO1，则H∈AO1，
所以AH＝PAcos∠PAO1＝，
因为∠BAC＝90°，所以ABHC是矩形，
取PA的中点O，连结OO1，则OO1∥PH，从而OO1⊥平面ABC，
则点O即为三棱锥P﹣ABC也就是四棱锥P﹣ABHC的外接球的球心，
球的半径R＝，
所以三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为＝14π．
故答案为：14π．

【点评】本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
四、双空题
16．（3分）已知函数，且f'（1）＝1，则a＝　0　，曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程为 　y＝　．
【分析】求得f(x)的导数，令x＝1，解方程可得a的值，可得曲线y＝f（x）在x＝e处的切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程．
【解答】解：函数的导数为f′(x)＝,
可得f′(1)＝＝1，解得a＝0；
由f′(x)＝,
可得曲线y＝f（x）在x＝e处的切线的斜率为0,
切点为(e,),
则切线的方程为y＝．
故答案为：0，y＝．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
五、解答题
17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，k∈N*，求的值．
【分析】（1）直接利用利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
【解答】解：（1）根据已知条件，当n＝2时，解得a2＝2．
由于，①，
当n≥2时，，②，
①﹣②得：，
所以an＝n（首项符合通项），
故an＝n．
（2）由于an＝n，所以，
故，
由于a1，ak，Sk+2成等比数列，
所以，
解得k＝6或﹣1（负值舍去），
，
所以＝．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18．（12分）如图，在四边形ABCD中，CD＝3，BC＝，cos∠CBD＝﹣．
（1）求∠BDC；
（2）若∠A＝，求△ABD周长的最大值．

【分析】（1）先利用同角三角函数关系求出sin∠CBD，再利用正弦定理求解即可；
（2）先利用余弦定理求出BD，再设AB＝x，AD＝y，然后由余弦定理和基本不等式求出x+y的最大值，即可得到答案．
【解答】解：（1）在△BCD中，cos∠CBD＝﹣，
所以sin∠CBD＝，
利用正弦定理得，
所以，
又因为∠CBD为钝角，所以∠BDC为锐角，
故∠BDC＝；
（2）在△BCD中，由余弦定理得，
解得BD＝4或BD＝﹣5（舍去），
在△ABD中，∠A＝，设AB＝x，AD＝y，
由余弦定理得，即x2+y2﹣16＝xy，
整理得（x+y）2﹣16＝3xy，
又x＞0，y＞0，
利用基本不等式得，即（x+y）2≤64，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
所以x+y的最大值为8，
所以AB+AD+BD的最大值为8+4＝12，
所以△ABD周长的最大值为12．
【点评】本题考查了解三角形问题，考查了正余弦定理的应用，基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
19．（12分）某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．

（1）月市场占有率y与月份代码x符合线性回归模型拟合的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2021年3月份（即x＝10时）的市场占有率；
（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：
报废年限
1年
2年
3年
4年
A型车（辆）
20
35
35
10
B型车（辆）
10
30
40
20
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考公式及数据：回归直线方程为，其中＝，，，．
【分析】（1）由折线图中的数据，先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程，再将x＝10代入方程中求解即可；
（2）由频率估计概率，分别求出每辆A、B款车可使用1年、2年、3年和4年的概率，然后分别求出它们的利润期望值，比较大小即可得到答案．
【解答】解：（1）由折线图中的数据可得，，
，
所以＝，
则＝16﹣2×3.5＝9，
所以y关于x的线性回归方程为，
当x＝10时，可得，
所以预测M公司2021年3月份（即x＝10时）的市场占有率为29%；
（2）由频率估计概率，可得每辆A款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
所以每辆A款车可产生的利润期望值为：
E（X）＝（500﹣1000）×0.2+（1000﹣1000）×0.35+（1500﹣1000）×0.35+（2000﹣1000）×0.1＝175元；
由频率估计概率，可得每辆B款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.210.3，0.4，0.2，
所以每辆B款车可产生的利润期望值为：
E（Y）＝（500﹣1000）×0.1+（1000﹣1000）×0.3+（1500﹣1000）×0.4+（2000﹣1000）×0.2＝150元．
因为E（X）＞E（Y），
所以应该采购A款单车．
【点评】本题考查了折线图的应用，线性回归方程的求解与应用，期望的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
20．（12分）如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，，∠BCD＝60°．E为线段CD上的点，且CE＝CB＝3．将△BCE沿BE折起，得到四棱锥C1﹣ABED（如图2），使得C1A＝C1B．

（1）求证：平面AC1D⊥平面ABC1；
（2）求二面角C1﹣DE﹣A的余弦值．
【分析】（1）先证明C1G⊥平面ABED，得到AD⊥C1G，结合AD⊥AB可得AD⊥平面ABC1，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到平面C1DE及平面ADE的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】解：（1）证明：在图1中过点D作DF⊥BC交BC于点F，在图2中取AB中点G，连接GE和GC1，
则，
∴CE＝CB＝3，且∠BCD＝60°，
∴△BCE为等边三角形，∴BE＝3，
在△CDF中，，
又∵CE＝3，∴DE＝1，
∵CF＝2，∴BF＝AD＝1，
在图2中，C1A＝C1B＝3，
∴△AC1B为等腰三角形，∴GC1⊥AB，
∵△ABE中，，
∴，∴AE⊥BE，
∴，
∴△C1GE≌△C1GB，
∴C1G⊥GE，
∵GE∩AB＝G，
∴C1G⊥平面ABED，
∵AD⊂平面ABED，
∴AD⊥C1G，
∵AD⊥AB，AB∩C1G＝G，
∴AD⊥平面ABC1，
∵AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面ABC1；

（2）如图所示，连接GD交AE于点P，过点G作GQ∥AE交BE于点Q，
由（1）知，C1G⊥平面ABED，
∵PG和QG在平面ABED内，
∴C1G⊥PG，且C1G⊥QG，
∵AE⊥BE，
∴PG⊥QG，
以点Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
∴，
设平面C1DE的法向量为，则，则可取，
易知平面ADE的一个法向量为，
∴，
由图可知，二面角C1﹣DE﹣A为锐二面角，
∴二面角C1﹣DE﹣A的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）设O为坐标原点，已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若F2（1，0），设不与x轴重合的直线l过椭圆E的右焦点F2，与椭圆E相交于A、B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C、D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．
【分析】（1）设直线与x轴交于点Q，利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，得到边角关系，在Rt△PQF2中，利用边角关系可得a与c的关系，即可得到椭圆的离心率；
（2）利用（1）中的结果，求出椭圆的标准方程，设直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后由弦长公式求出|AB|，|CD|，从而得到|AB|•|CD|2的表达式，然后求解取值范围即可．
【解答】解：（1）设直线与x轴交于点Q，因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
在Rt△PQF2中，∠PF2Q＝60°，|PF2|＝2c，|QF2|＝，
所以，
整理可得＝，
所以椭圆E的离心率为．
（2）由（1）可知，＝，则，所以b2＝a2﹣c2＝1，
故椭圆的标准方程为，
设不与x轴重合的直线l的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，可得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
其中Δ＝8m2+8＞0，，
由弦长公式可得，
设圆x2+y2＝2的圆心O到直线l的距离为d，则，
由圆的弦长公式可得，
所以＝＝，
因为，所以，
则，
故|AB|•|CD|2的取值范围为．
【点评】本题考查了椭圆离心率的求解、椭圆标准方程的求解与应用、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ax，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）在[0，1]上的单调性；
（2）若函数g（x）＝f（x）+ln（x+1）﹣cosx，则是否存在实数a，使得函数g（x）在x＝0处取得极小值？若存在，求出a值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）求出导数，然后分a≤1，1＜a＜e和a≥e三种情况判断f（x）的单调性即可．
（2）求出g′（x），根据极值的定义可得g′（0）＝2﹣a＝0，得出a＝2，再证明充分性，利用导数证明x∈（0，）时，g（x）单调递增，再构造函数m（x）＝（1+x+）e﹣x，证明x∈（﹣，0）时，函数g（x）单调递减．
【解答】解：（1）由f（x）＝ex﹣ax，得f′（x）＝ex﹣a，
因为x∈[0，1]，所以ex∈[1，e]，
当a≤1时，f′（x）＝ex﹣a≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，
当1＜a＜e时，令f′（x）＝ex﹣a≥0，解得x≥lna，
令f′（x）＝ex﹣a＜0，解得x＜lna，
即函数f（x）在[lna，1]上单调递增，在[0，lna）上单调递减，
当a≥e时，f′（x）＝ex﹣a≤0，函数f（x）在[0，1]上单调递减，
综上所述，当a≤1时，f（x）在[0，1]上单调递增，
当1＜a＜e时，函数f（x）在[lna，1]上单调递增，在[0，lna）上单调递减，
当a≥e时，函数f（x）在[0，1]上单调递减．
（2）g（x）＝f（x）+ln（x+1）﹣cosx＝ex﹣ax﹣cosx+ln（x+1），
则g′（x）＝ex﹣a+sinx+，
x＝0是函数g（x）的极小值点的必要条件为g′（0）＝2﹣a＝0，即a＝2，
此时g′（x）＝ex+sinx+﹣2，
当x∈（0，）时，g′（x）＝ex+sinx+﹣2＞1+x+sinx+﹣2＞sinx＞0，
当x∈（﹣，0）时，（1+x）（1﹣x+x2）＝1+（3x+1）＞1，
所以＜1﹣x+x2，
令m（x）＝（1+x+）e﹣x，则m′（x）＝﹣e﹣x≤0，
即m（x）在（﹣，0）上为减函数，
当x＜0时，m（x）＞m（0）＝1，即ex＜1+x+，
令h（x）＝sinx﹣x，则h′（x）＝cosx﹣，
当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞cos1﹣＞0，
所以h（x）在（﹣1，0）上单调递增，
所以当﹣1＜x＜0时，h（x）＜h（0）＝0，
所以sinx＜x，
所以当x∈（﹣，0）时，g′（x）＝ex+sinx+﹣2
≤（1+x+）+（1﹣x+）﹣2+＝2x2+＜0，
所以当a＝2时，x＝0是g（x）的极小值点，即充分性也成立，
综上所述，存在a＝2，使得g（x）在x＝0处取得极小值．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
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