2021届广东省广州市天河区高考数学二模试卷及答案

这是一份2021届广东省广州市天河区高考数学二模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省广州市高考数学二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
2. 为虚数单位，且 ，那么复数 的虚部为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
3.设 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分而不必要条件           B. 必要而不充分条件           C. 充要条件           D. 既不充分也不必要条件
4.生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约 的能量能够流到下一个营养级.在 这个生物链中，假设能使 获得 的能量，那么需 提供的能量为〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
5.在某次数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，假设 在 内的概率为0.6，那么任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为〔    〕
A. 0.16                                     B. 0.24                                     C. 0.32                                     
6. ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
7.天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，答复者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军〞；对乙说“你当然不是最差的〞，试从这个答复中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有〔    〕
A. 54种                                    B. 60种                                    C. 72种                                    D. 96种
8.双曲线 的左､右顶点分别是 ， ，右焦点为 ，点 在过 且垂直于 轴的直线 上，当 的外接圆面积到达最小时，点 恰好在双曲线上，那么该双曲线的渐近线方程为〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
二、多项选择题
9.设向量 ， ，那么〔    〕
A.                    B.                    C.                    D. 与 的夹角为
10.函数 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 函数 在 单调递增
C. 函数 在 上的值域为
D. 把函数 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 的图象
11.如图，长方体 中，四边形 为正方形， ， ， ， 分别为 ， 的中点.那么〔    〕

A. 
B. 点 ､ ､ ､ 四点共面
C. 直线 与平面 所成角的正切值为
D. 三棱锥 的体积为
12.定义在 上的函数 满足 ，且当 时， .假设 ，那么实数 的取值可能是〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
三、填空题
13.过抛物线 的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，假设线段AB的中点M的横坐标为2，那么 等于________.

14.写出一个满足前5项的和为10，且递减的等差数列的通项 ________.
15.三棱锥 中， ， ， ， ， 为 的外接圆的圆心， ，那么三棱锥 的外接球的外表积为________.
16.函数 ，且 ，那么 ________，曲线 在 处的切线方程为________.
四、解答题
17.数列 的前 项和为 ， ， ， .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕假设 ， ， 成等比数列， ，求 的值.
18.如图，在四边形 中， ， ， .

〔1〕求 ；
〔2〕假设 ，求 周长的最大值.
19.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图.

参考公式及数据：回归直线方程为 ，其中 ， ， ，
〔1〕月市场占有率 与月份代码 符合线性回归模型拟合的关系，求 关于 的线性回归方程，并预测 公司2021年3月份(即 时)的市场占有率；
两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
报废年限
1年
2年
3年
4年
型车(辆)
20
35
35
10
型车(辆)
10
30
40
20
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购本钱之外的其他本钱，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
20.如图1，四边形 为直角梯形， ， ， ， . 为线段 上的点，且 .将 沿 折起，得到四棱锥 (如图2)，使得 .

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值.
21.设 为坐标原点，椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形.
〔1〕求椭圆 的离心率；
〔2〕假设 ，设不与 轴重合的直线 过椭圆 的右焦点 ，与椭圆 相交于 ､ 两点，与圆 相交于 ､ 两点，求 的取值范围.
22.函数 ，其中 .
〔1〕讨论函数 在 上的单调性；
〔2〕假设函数 ，那么是否存在实数 ，使得函数 在 处取得极小值？假设存在，求出 值；假设不存在，说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，又 ，
所以 。
故答案为：D

【分析】利用二次函数的图像求最值的方法，进而求出二次函数的值域，进而求出集合Q，再利用并集与补集的运算法那么，进而求出集合。
2.【解析】【解答】由题 ，又因为 ， ，所以复数 的虚部为 。
故答案为：B

【分析】利用复数的乘除法运算法那么结合虚数单位i的性质，进而求出复数z，再利用复数虚部的定义，进而求出复数z的虚部。
3.【解析】【解答】当 时，
那么 ，
当 时， ，
即“ 〞是“ 〞的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而判断出“ 〞是“ 〞的必要而不充分条件。
4.【解析】【解答】设 需提供的能量为a,由题意知： 的能量为 ， 的能量为 ，
即 ，解得： ，
所以要能使 获得 的能量，那么需 提供的能量为 ，
故答案为：C.

【分析】利用实际问题的条件结合指数的运算法那么，进而求出需 提供的能量。
5.【解析】【解答】解： 服从正态分布
曲线的对称轴是直线 ，
在 内取值的概率为0.6，
在 内取值的概率为0.3，
在 内取值的概率为 ,
现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率 。
故答案为：C

【分析】利用学生成绩 服从正态分布 ，结合正态分布对应的函数图象的对称性，再结合 在 内的概率为0.6， 进而求出任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率。
6.【解析】【解答】 ，即 ，
，即 ，
所以 。
故答案为：D

【分析】利用对数的运算法那么结合对数函数的单调性，进而求出a,b与的大小关系，从而比较出a,b,c三者的大小。
7.【解析】【解答】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，
再排甲，也有3种情况，余下3人有 种情况，
利用分步相乘计数原理知有 种情况。
故答案为：A.

【分析】利用实际问题的条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出从这个答复中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类数。
8.【解析】【解答】根据双曲线的对称性，不妨设点 的坐标为 ，由于 为定值，由正弦定理可知当 取得最大值时， 的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，， ，
 
，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，此时 最大，此时 的外接圆面积取最小值，点 的坐标为 ，代入 ，可得 ，即 ，即 ，所以双曲线的渐近线方程为： 。
故答案为：C

【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点 的坐标为 ，由于 为定值，由正弦定理可知当 取得最大值时， 的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，再利用正切函数的定义结合两角差的正切公式，进而利用均值不等式求最值的方法，从而求出， 进而求出 的最大值，此时 的外接圆面积取最小值，点 的坐标为 ，代入 ，进而求出a,c的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的大小关系，进而求出a,b的关系式，从而结合双曲线的焦点的位置，进而求出双曲线的渐近线方程。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A， ， ， ， ，A不符合题意；
对于B， ， ， ，又 ，那么 ， 与 不平行，B不符合题意；
对于C，又 ， ，C符合题意；
对于D，又 ，又 与 的夹角范围是 ， 与 的夹角为 ，D符合题意.
故答案为：CD.

【分析】利用条件结合向量的模的坐标表示；两向量共线的坐标表示；两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标运算；两向量的数量积求向量夹角公式，进而找出正确的选项。
10.【解析】【解答】函数

对于A，当 时， ，故图像不关于点 对称，A不符合题意；
对于B，由 得 ，当 时，知函数 在 单调递增，B符合题意；
对于C，由 ，知 ，由正弦函数性质知 ， ，C符合题意；
对于D，函数 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 ，D不符合题意；
故答案为：BC

【分析】利用二倍角的余弦公式和正弦公式，再结合诱导公式和辅助角公式，进而化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数图象的对称点；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数图象的值域；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像判断出正弦型函数图象在 上的单调性；再利用正弦型函数的图象变换得出函数 的图象向左平移 个单位长度可得到函数f(x)的图象，进而选出结论正确的选项。
11.【解析】【解答】对于A，假设 ，由题意知 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，由长方体性质知 与平面 不垂直，故假设不成立，A不符合题意；
对于B，连接 ， ， ，由于 ， 分别为 ， 的中点， ，

又因为长方体 ，知 ， ，所以点 ､ ､ ､ 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可知 平面 ， 为直线 与平面 所成角，在直角 中， ， ，那么 ，C符合题意；
对于D，连接 ， ，
，那么 ，利用等体积法知： ，D符合题意。
故答案为：BCD

【分析】利用长方体的结构特征结合正方形的性质，再结合中点的性质，进而利用线线垂直的判定方法、两直线平行那么两直线共面推出四点共面的判断方法、线面角的定义结合正切函数的定义，进而求出线面角的正切值、三棱锥的体积公式结合等体积法，进而找出正确的选项。
12.【解析】【解答】设 ，
由 得 ，即 ， 是偶函数，
又 ，而 时， ，所以 ，
在 递增，那么其在 上递减，
化为 ，即 ，所以 ，解得 ，A、B均满足。
故答案为：AB．

【分析】设 ， 再利用偶函数的定义判断出函数g(x)为偶函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用偶函数的性质结合函数的单调性，进而解绝对值不等式求出实数t的取值范围，从而选出实数 的可能取值 。
三、填空题
13.【解析】【解答】设 ，因为抛物线的准线方程为x=-1，焦点为 ，那么根据抛物线的定义可知 ，所以 2+2=6.
【分析】根据题意利用抛物线上的点的几何意义可得出那么| A F | = x 1 + 1 , | B F | = x 2 + 1再借助中点的横坐标为2，整理可得出|AB|的值。
14.【解析】【解答】解：依题意数列是递减的等差数列，所以 ，又 ，所以 ，不妨取等差 ，所以 ，
所以an=-n+5。
故答案为：-n+5。

【分析】利用条件结合等差数列的前n项和公式结合数列的单调性，再结合等差数列的通项公式，进而找出满足要求的等差数列的通项公式。
15.【解析】【解答】由题意 是 中点，那么 ，
因为 ， ，所以 ， ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ，
作 平面 ，垂足为 ， 平面 ，那么 平面 ，

又因为平面 平面 ，那么 ，
，
因为 ，所以 是矩形，
取 中点 ，连接 ，那么 ，从而 平面 ，
就是三棱锥 也是四棱锥 的外接球的球心，
球的半径为 ，
三棱锥 的外接球的外表积为 。
故答案为：14π。

【分析】由题意 是 中点，那么 ，因为 ， ，所以 ， ，再利用线线垂直找出线面垂直，即平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，即平面 平面 ，作 平面 ，垂足为 ， 平面 ，那么 平面 ，又因为平面 平面 ，那么 ，再利用余弦函数的定义求出 ， 因为 ，所以 是矩形，取 中点 ，连接 ，那么 ，从而 平面 ，就是三棱锥 也是四棱锥 的外接球的球心，进而求出球的半径，再利用球的外表积公式，进而求出三棱锥 的外接球的外表积。
 
16.【解析】【解答】由 ，那么 ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为： 。
故答案为：0； 。

【分析】利用条件结合导数的几何意义，进而求出函数在切点处的切线的斜率，进而求出a的值；再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法，进而求出切点的纵坐标，从而求出切点的坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 因为 ， ，
进而得出 ，再利用得出数列 的通项公式 。
〔2〕利用〔1〕求出的等差数列的通项公式结合等差数列前n项和公式，进而求出 ， 再利用条件 ， ， 成等比数列结合等比中项公式，进而求出k的值，再利用 求出 ， 再利用裂项相消的方法，进而求出 的值。
18.【解析】【分析】〔1〕 在 中，因为 ， 再结合同角三角函数根本关系式，进而求出 的值，再利用正弦定理求出的值，再利用为钝角，所以 为锐角， 进而求出的值。
〔2〕 在 中，由余弦定理结合条件，进而得出BD的长，在 中， ，设 ， 由余弦定理得出 ， 整理得： ，又 ， 再利用均值不等式求最值的方法，进而求出 ， 再利用三角形的周长公式，进而求出三角形 周长的最大值 。

 
19.【解析】【分析】〔1〕 由折线图所给的数据结合最小二乘法，进而求出 关于 的线性回归方程，并结合代入法，预测出 公司2021年3月份(即 时)的市场占有率。
〔2〕 由频率估计概率，可得每辆 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1， 再利用数学期望公式，进而求出每辆 款车可产生的利润期望值，由频率估计概率，可得每辆 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2， 再利用数学期望公式，进而求出每辆 款车可产生的利润期望值， 因为 ，所以应该采购 款单车。
 
20.【解析】【分析】〔1〕 在图1中过点 作 交 于点 ，在图2中取 为 的中点，连接 和 ， 那么 ，因为 且 ，所以 为等边三角形， 再利用等边三角形的性质结合条件求出 ， ，在图2中 ，所以 为等腰三角形，所以 ，在 中， 结合条件证出线线垂直，再利用两三角形全等的判断方法，进而推出 ，所以 ， 再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即 ，又因为 ， 再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ， 再利用线面垂直证出面面垂直，即证出平面 平面 。
〔2〕 连接 交 于 ，过点 作 交 于点 ， 由〔1〕知 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 且 ，因为 ，所以 ，进而建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用空间向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角的公式，进而求出二面角 的余弦值。
21.【解析】【分析】〔1〕 设直线 与x轴交于点Q，由 是底角为 的等腰三角形， ， ，在直角 中，利用条件得出 ， ， 再利用余弦函数的定义，进而求出a,c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形，进而求出椭圆的离心率。
〔2) 由〔1〕知， ，且 ，那么 ， 再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出b的值，从而求出椭圆的标准方程，设不与 轴重合的直线 的方程为： ，设点 ， 再利用直线 过椭圆 的右焦点 ，且与椭圆 相交于 ､ 两点，与圆 相交于 ､ 两点，分别联立直线与椭圆的方程、直线与圆的方程，进而结合韦达定理、点到直线的距离公式和弦长公式，进而求出与m的关系式，进而求出 与m的关系式，再结合二次函数图象求最值的方法，进而求出 的取值范围 。
 
22.【解析】【分析】〔1〕利用分类讨论的方法结合求导的方法，进而讨论出函数 在 上的单调性。
〔2〕因为函数 ， 所以 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值点，从而得出是函数 的极小值点的必要条件为
，即 ，此时 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法，得出，令 ，再利用求导的方法判断函数m(x)的单调性，进而利用分类讨论的方法， 令 ， 再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，进而求出当 时，，因此，当 时， 是 的极小值点，即充分性也成立，从而得出存在 ，使得 在 处取得极小值。