考点15 等差数列8种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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1.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用．
(4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
2.等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；
（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；
（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列
（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
3.等差数列的判定与证明方法
4.等差数列前n项和的性质
（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；
（2）设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.
等差数列中，,则,.
注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)
（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
（5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)；
5.求等差数列前n项和最值的常用方法
（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
（2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
（3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
（4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
考点一 利用定义及前n项和求等差数列的通项公式
利用定义求通项
1．（2022·全国·高三专题练习）若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·安徽合肥·高三校考开学考试）数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高二呼和浩特市第六中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
6．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）记首项为1的数列的前n项和为，且时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·河南郑州·高二统考期末）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（ ）
A．B．C．D．
利用前n项和求通项
8．（2022秋·天津宝坻·高二校考期末）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·广东江门·高二统考期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
10．【多选】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当时，D．当或4时，取得最大值
考点二 等差数列的基本量的计算
等差数列通项公式及其应用
11．（2023秋·北京通州·高三统考期末）等差数列中，，，则的通项为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·吉林长春·高二校考期末）已知{an}是等差数列，且，则该数列的公差是（ ）
A．3B．C．－4D．－14
13．（2022秋·安徽·高三校联考期末）在数列中，，且数列是等差数列，则（ ）
A．16B．C．19D．
14．【多选】（2023·全国·高二专题练习）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ）
A．-2，4，10，16B．16，10，4，-2
C．2，5，8，11D．11，8，5，2
15．（2022秋·江苏连云港·高二期末）已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，则此等差数列的和是（ ）
A．14B．13C．或14D．或13
16．（2022·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，则n的值为（ ）
A．28B．26C．14D．13
17．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（ ）
A．28B．26C．24D．20
等差数列前n项和的有关计算
18．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）等差数列的前项和，，则（ ）
A．9B．12C．30D．45
19．（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
20．（2022秋·海南·高二校考期末）若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（ ）
A．7B．6C．5D．4
21．（2023秋·山东临沂·高二校考期末）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于（ ）
A．1B．－1C．2D．
与数学文化的结合
22．（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（ ）
A．107钱B．102钱C．101钱D．94钱
23．（2022秋·安徽合肥·高二统考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （ ）
A．28B．32C．35D．42
24．（2022秋·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考阶段练习）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ）
A．升B．升C．升D．升
25．（2022秋·吉林·高三校考期末）疫情防控期间，某单位把110个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和与较小的两份之和的比为9：2，则最小一份的口罩个数为（ ）
A．6B．10C．12D．14
26．（2022秋·广东广州·高二校考期末）《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布365尺，则该女子织布每日增加（ ）尺
A．B．1C．D．
考点三 等差数列的判定与证明
27．（2022秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（ ）
A．数列一定是等比数列B．数列一定是等差数列
C．数列一定是等差数列D．数列可能是常数数列
28．【多选】（2022秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列B．的通项公式为
C．为等比数列D．的前n项和
29．（2022秋·广东汕头·高三统考期末）已知数列的前n项积为，且，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
30．（2022秋·山东济宁·高二济宁一中校考期末）已知数列的前n项和为．
(1)记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．
31．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列前n项和．
考点四 等差数列性质的应用
等差中项的应用
32．（2023秋·福建三明·高二统考期末）若是与的等差中项，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．5
33．（2023秋·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考期末）设等差数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的公差（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
34．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ）
A．B．3C．5D．
利用等差数列性质计算及应用
35．（2023秋·重庆·高二校联考期末）在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
36．（2022秋·北京·高二汇文中学校考期末）在等差数列中，已知，则______．
37．（2023秋·重庆巫山·高二校考期末）已知为等差数列，，则（ ）
A．8B．12C．16D．20
38．（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）若数列是等差数列，且，则（ ）
A．51B．48C．45D．42
考点五 等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和与中项性质
39．（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
40．（2023秋·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）设是等差数列的前n项和，若，则的值是（ ）
A．10B．20C．30D．60
41．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．24B．36C．48D．64
等差数列片段和的性质
42．（2023秋·江苏·高二统考期末）若为等差数列，其前n项和为，则（ ）
A．10B．12C．14D．16
43．（2022秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
44．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
等差数列前n项和与n的比值问题
45．（2022春·辽宁·高二校联考期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
46．（2022·全国·高二假期作业）等差数列的前项和为，若且，则( )
A．B．
C．D．
47．【多选】（2022春·湖北武汉·高二校联考期末）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
两个等差数列前n项和的比值问题
48．（2022秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知数列，均为等差数列，且其前n项和分别为和．若，则______．
49．（2023秋·湖北黄冈·高二湖北省红安县第一中学校考期末）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
50．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第七中学校考期末）已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
51．（2022秋·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________.
52．（2022秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）有两个等差数列、，其前项和分别为、.
（1）若，则______；
（2）若，则______.
考点六 等差数列前n项和的最值问题
53．【多选】（2023秋·河北保定·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则B．若，则是中最大的项
C．若，则D．若，则
54．【多选】（2023秋·广东广州·高二广州市第五中学校考期末）已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列B．
C．D．最小时，
55．（2023秋·山西运城·高二康杰中学校考期末）已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．数列为递增数列B．
C．的最大值为D．
56．【多选】（2023秋·山西晋城·高二校考期末）已知等差数列的前n项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，取得最小值
57．【多选】（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）已知是公差为的等差数列，其前项和是，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
58．【多选】（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．
59．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4043B．4044C．4045D．4046
考点七 等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题
（一）等差数列偶数项或奇数项的和
60．（2022春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）在等差数列中，已知公差，且，则__________.
61．（2022秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
62．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
63．（2022·高二课时练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．
64．（2022·高二单元测试）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________.
（二）含绝对值的等差数列的前n项和
65．【多选】（2023秋·河北保定·高二统考期末）已知为等差数列，，则（ ）
A．的公差为2B．的公差为3
C．的前50项和为900D．的前50项和为1300
66．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）数列是递增的等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
67．（2023秋·湖北·高二校联考期末）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
考点八 等差数列的综合问题
68．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中.如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，则＝( )
A．20B．10C．D．
69．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知函数的所有正数零点构成递增数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
70．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）设椭圆的焦距为，则数列的前n项和为（ ）.
A．B．
C．D．
71．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列
解答题
中的证
明问题
等差中项法
对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
(为常数,)⇔{an}是等差数列
选择、
填空题
中的判
断问题
前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列
是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.