考点01 空间向量的运算及应用-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

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1、用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
2、证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.
(1)；
(2)对空间任一点O，；
(3)对空间任一点O，．
3、证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
(1)；
(2)对空间任一点O，；
(3)对空间任一点O，；
(4)∥(或∥或∥)．
4、空间向量数量积计算的两种方法
(1)基向量法：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
5、空间向量数量积的三个应用
注：①当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；
② 当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以
③立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝eq \r(a2)转化为向量求解．
6、空间向量的坐标运算
（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．
（2）设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么
①a±b＝．
②a·b＝，③cs〈a，b〉＝，
④|a|＝eq \r(a·a)＝，⑤λa＝，
⑥a∥b⇔(λ∈R)，
⑦a⊥b⇔.
（3）设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，则
考点一 空间向量的概念及其线性运算
1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______.
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②是向量的必要非充分条件；
③向量、相等的充要条件是
④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.
【解析】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误；
根据相等向量的概念可知，若，则，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分条件，②正确；
当、为相反向量时，显然满足，故③错误；
因为A、B、C、D是不共线，所以由，可知且，所以四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则由平行四边形的性质可得，故④正确.
故答案为：②④
2．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【解析】对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确，
对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，
对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，
对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误，
故选：A
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）的相等向量是______；
（2）的相反向量是______；
（3）的共线向量（平行向量）为______；
（4）模为的向量是______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）.
【解析】 （1）与相等的向量有，，.
（2）的相反向量为，，，.
（3）的共线向量（平行向量）为，，，.
（4）由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
（5）因为，向量，，有一个公共点，而点，，都在平面内，点在平面外，所以向量，，不共面.
故答案为：（1），，；（2），，；（3），，，；（4），，，，，，，；（5）不共面.
4．（2022·重庆·高二期末）在长方体中，（ ）
A．B．C．D．
【解析】在长方体中，易知，
所以.
故选：D.
5．（2022·全国·高二课时练习）在三棱锥中，是的中点，则______.
【解析】依题意，作出三棱锥，取的中点，连接，，如图，
则，且，
.
故答案为：.
6．（2022·广东揭阳·高二期末）已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．平面ABC的一个法向量是B．的一个单位向量的坐标是
C．D．与是共线向量
【解析】因为，，，故可得，
因为，故，不平行，则D错误；
对A：不妨记向量为，则，
又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；
对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；
对C：因为，故可得，故C错误；
故选：A.
考点二 共线、共面向量定理的应用
空间向量共线问题
7．（2022·山西吕梁·高二期末）在平行六面体中，点P在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，
，
所以有，因此，
故选：C
8．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解析】因为，所以，所以，，所以，解得，.
故选：C.
9．（2022·重庆长寿·高二期末）已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y的值为（ ）
A．B．
C．D．4
【解析】因为，所以，所以，计算得.
故选：D.
10．（2022·全国·高二期末）已知，，若与为共线向量，则x＝_________．
【解析】因为，且与共线，
所以存在，使得，即，所以，解得；
故答案为：
11．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A．B．C．3D．
【解析】，，
因为，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故选：C
12．（2022·浙江·安吉县上墅私立高级中学高二期末）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因，则，即，
而，则共面，点M在平面内，
又，即，于是得点N在直线上，
棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，
，而，，
所以.
故选：A
（二）空间向量共面问题
13．【多选】（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二期末）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【解析】对于选项A，由，也可能是或，故错误；
对于选项B，因为对空间中任意一点，，
则，
整理得.
由空间向量基本定理可知点，，，四点共面，故正确；
对于选项C，由是空间中的一组基底，则，向量，，不共面，
可得向量，，也不共面，所以也是空间的一组基底，故正确；
对于选项D，若空间四个点，，，，，
可得，即，则，，三点共线，故正确.
故选：BCD.
14．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A､B､C､D､E是空间中的五个点，其中点A､B､C不共线，则“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若平面ABC，则共面，故存在实数x､y，使得.
若存在实数x､y，使得，则，，共面
则平面ABC或平面ABC.
所以“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的充分而不必要条件.
故选：A.
15．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高二期末）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.
【解析】
P，A，B，C四点共面,则存在实数，使得
所以
即
所以 ，解得
故答案为：
16．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）以下四组向量在同一平面的是（ ）
A．、、B．、、
C．、、D．、、
【解析】对于A选项，设，所以，，无解；
对于B选项，因为，故B选项中的三个向量共面；
对于C选项，设，所以，，无解；
对于D选项，设，所以，，矛盾.
故选：B.
17．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（ ）
A．－1B．0C．1D．－6
【解析】，所以不共线，
由于，，共面，
所以存在，使，
即，
，
，
，，
即.
故选：D
18．（2022·全国·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则λ=___________.
【解析】由P，A，B，C四点共面，可得共面，
，
，解得.
故答案为：
考点三 空间向量基本定理的应用
（一）用基底表示空间向量
19．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】-＝，
.
故选：A．
20．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】.
故选：A
21．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】即
故选：D．
22．（2022·河北沧州·高二期末）如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【解析】.
故选：B.
23．【多选】（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；
B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；
C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；
D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.
故选：AC.
（二）利用空间向量基本定理求参数
24．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（理））在长方体中，M、N分别是BC、的中点，若，则______．
【解析】，
∴，，，．
故答案为：－2.
25．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【解析】连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故选：C.
26．（2022·山东聊城·高二期末）如图，在空间平移到，连接对应顶点.是的中点，点在线段上，且，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【解析】由题意可知
.
所以，故.
故选：B
27．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.
【解析】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：
即，整理得：，
又，所以，，，从而.
故答案为：1
28．（2022·四川雅安·高二期末（理））设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，
所以，
因为，
所以
,
因为，
所以，
所以为，
故选：B
考点四 空间向量的坐标与空间直角坐标系
29．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】
故选：B.
30．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，，则的坐标为______．
【解析】由题设，，
所以.
故答案为：
31．（2022·福建莆田·高二期末）已知在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点的坐标分别为，则顶点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，
因为与的中点相同，所以，
解得，所以.
故选：D.
32．（2022·贵州遵义·高二期末（理））在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
33．（2022·江苏无锡·高二期末）已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（ ）
A．B．C．5D．5
【解析】∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），
则||＝＝5．
故选：C．
34．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））在空间直角坐标系中，已知点A，若点P满足，则_______．
【解析】设，所以，，因为，所以，所以，解得，即，所以，所以；
故答案为：
35．（2022·江西赣州·高二期末（文））在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
【解析】，，由中点坐标公式，得，
所以.
故选：A
36．（2022·江苏苏州·高二期末）若，则与向量同方向的单位向量的坐标为____________.
【解析】因为，所以，所以与向量同方向的单位向量的坐标为，
故答案为：.
考点五 空间向量数量积的应用
空间向量数量积的运算
37．（2022·江苏连云港·高二期末）已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．
【解析】因为，
故答案为：2
38．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知空间向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，空间向量，，，
可得，
则.
故选：A.
39．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）三棱锥中，，，，则______．
【解析】由题意得，故，

,
故答案为：-2
40．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面体ABCD中，，，则______．
【解析】由题设，可得如下四面体示意图，
则，
又，，
所以.
故答案为：24
41．（2022·广西钦州·高二期末（理））如图，正四棱柱是由四个棱长为1的小正方体组成的，是它的一条侧棱，是它的上底面上其余的八个点，则集合的元素个数（ ）
A．1B．2C．4D．8
【解析】建立空间直角坐标系，为原点，正四棱柱的三个边的方向分别为轴、轴和看轴，
如右图示
，，设，
则AB⃑⋅APi⃑=0,0,1·xpi,ypi,zpi=zpi=1
所以集合，元素个数为1.
故选：A.
42．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．5D．
【解析】如图所示
由题意可知，，
因为为的中点，所以,
所以，
当时，取最小值，此时取最大值，
所以的最大值为4.
故选:A.
利用空间向量的数量积求夹角
43．（2022·福建厦门·高二期末）在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解析】在四面体OABC中，不共面，则，令，
依题意，，
设与AC所成角的大小为，则，而，解得，
所以与AC所成角的大小为.
故选：B
44．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体中，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
故选：C
45．（2022·吉林辽源·高二期末）已知空间向量，是单位向量，，则向量与的夹角为______.
【解析】，，
因为，
所以，
所以，
由，得向量与的夹角为.
故答案为：
46．（2022·全国·高二期末）若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.
【解析】∵向量与的夹角为钝角，
∴·＝
解得.
当与共线时，设＝k (k<0)，
可得，
解得，
即当时，向量与共线且反向，
此时·<0，但与的夹角不是钝角.
综上：λ的取值范围是.
故答案为：
利用空间向量的数量积解决垂直问题
47．（2022·福建莆田·高二期末）已知向量，且与互相垂直，则k的值为（ ）
A．－2B．－C．D．2
【解析】由与互相垂直，则，解得
故选：A
48．（2022·河北保定·高二期末）已知，，若，则实数______．
【解析】∵，，∴=，
∵，
故答案为：
49．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知向量a→=(1，1，k)，b→=(−1，0，−1)，c→=(0，2，1)，且向量与互相垂直，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据题意，易得a→−2b→=(1， 1， k)−2(−1， 0， −1)=(3， 1， k+2)，
∵ 与两向量互相垂直，∴ 0+2+k+2=0，解得.
故选：D
50．（2022·广东茂名·高二期末）在空间直角坐标系中，若三点、、满足，则实数的值为__________.
【解析】由已知可得，，
因为，则，
即，解得.
故答案为：.
利用空间向量的数量积求模长(即线段长度)
51．（2022·河北邯郸·高二期末）已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.
【解析】设，，，则，
∴，
∴.
故答案为：6
52．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.
【解析】由题意，二面角等于，
可得向量，，
因为，可得,
所以
.
故答案为：
53．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，，，，，
所以
，
所以.
故选：C.
54．（2022·湖南益阳·高二期末）已知向量，，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
【解析】由，则，即，
有，
所以，
所以，则
故选：D
55．（2022·广东珠海·高二期末）已知空间向量，，则（ ）
A．B．19C．17D．
【解析】因为，，
所以，故，
故选：D.
56．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量，，，且，，则______.
【解析】因，，而，则有，解得，即
又，且，则有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案为：
利用空间向量的数量积求投影
57．（2022·上海金山·高二期末）在空间直角坐标系 中，已知向量，则 在轴上的投影向量为________.
【解析】因为向量，所以 在轴上的投影向量为.
故答案为:
58．（2022·天津天津·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．
【解析】因为空间向量，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故答案为：.
59．（2022·广东惠州·高二期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1B．C．D．
【解析】因为，，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：C
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题