2022-2023学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年福建省泉州市安溪县八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列实数，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题中的真命题是(    )

A. 内错角相等 B. 三角形内角和是
C. 是有理数 D. 若，则

5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，≌，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 若关于的二次三项式是完全平方式，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若中不含的一次项，则的值为            (    )

A.  B.  C.  D. 或

9. 你能根据如图图形的面积关系得到的数学公式是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 的立方根是______．
12. 若，为实数，且满足则的值为______．
13. 计算：______．
14. 若，，则的值为______．
15. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是______．
     
16. 如图，，，，于点，的延长线交于点，现给出下列结论：
    连接，，则；；
    ；
    ．
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号．

三、解答题（本题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 把下列各式因式分解：
    ；
    ．
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 若一个正数的平方根分别是和，求这个正数．
21. 如图，，，，求证：≌．

22. 如图，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形如图．
    图中的阴影部分的边长为______；
    观察图请写出，，之间的等量关系：______；
    若，，求的值．
     
23. 第十四届国际数学教育大会--在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．注：
    八进制数换算成十进制数是______；
    张同学设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值．

24. 对于形如可用“配方法”将它分解成的形式，如在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下：
    像这种“因式分解”的方法称为“配方法”请完成下列问题：
    利用“配方法”分解因式：；
    已知，，是的三边长，且满足，求的周长；
    在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由．
25. 问题情境
    利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，易证≌，则其分析过程如下：
    在和中，
    平分
    ≌______
    在括号内填写全等判定方法字母简称
    ______
    在括号内填写理由依据
    问题探究
    如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上．证明：；
    拓展延伸
    如图，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题．
【解答】
解：，
的平方根是．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：两直线平行，才有内错角相等，故A是假命题，不符合题意；
三角形内角和是，，故B是真命题，符合题意；
是无理数，故C是假命题，不符合题意；
若，则，故D是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平行线性质，三角形内角和定理，实数的分类，绝对值的概念逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
，
故选：．
直接利用全等三角形的性质求解．
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的二次三项式是完全平方式，
，
解得：，
故选：．
根据完全平方公式得出，再求出答案即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据不含某一项就是说这一项的系数等于得出是解题关键．
先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含的一次项就是含项的系数等于，求解即可．
【解答】
解：，
又结果中不含的一次项，
，
．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示图形的面积是解决问题的关键．
分别用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中各个部分面积之间的关系进行解答即可．
【解答】
解：大阴影正方形的边长为，所以大阴影正方形的面积为，
大阴影正方形面积也可以看作从边长为的正方形的面积减去边长为的小正方形的面积，再减去两个长为，宽为的长方形的面积，即，
所以有，
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
原式

，
故选：．
，将其变形为，可得，再将代入所求式子中即可求解．
本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的立方根为，
故答案为：．
利用立方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，为实数，且满足，，，
，，
解得，，
．
故答案为：．
根据绝对值和算术平方根的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根与绝对值具有非负性是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据单项式除多项式的法则进行计算便可．
本题主要考查整式的除法，关键是熟记单项式除多项式的法则．
 

14.【答案】 

【解析】解：
，
，，
原式
，
故答案为：．
先去括号，再合并同类项，最后整体代入计算即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．
故答案为：．
按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．
本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，
，
，
在和中，
，
≌，
，故符合题意；
过点作的延长线于点，过点作于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，故不符合题意；
，
，
，
，故符合题意；
≌，
，，
同理可证≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，故符合题意，
综上，正确的选项有，
故答案为：．
由全等三角形的判定与性质以及三角形面积分别对各个结论进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：

；




． 

【解析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
 

19.【答案】解：原式


当，时，
原式

． 

【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简能力和计算能力，题目比较好，难度适中．
 

20.【答案】解：一个正数的平方根分别是和，
，
解得：，
，
所以这个正数． 

【解析】根据平方根的定义得出，求出，再求出即可．
本题考查了平方根，能得出关于的方程是解此题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
即，
在和中，
，
≌． 

【解析】先证明，然后根据“”可判断≌．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

22.【答案】   

【解析】解：阴影部分为边长为，
故答案为：；
图中，用边长为的正方形的面积减去边长为的正方形等于个长宽分别、的矩形面积，
所以，
故答案为：；
由得，
把，代入得，
则．
阴影部分为边长为的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；
在图中，大正方形有由小正方形和个矩形组成，则；
由的结论得到，再把，代入得到，然后利用平方根的定义求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景：利用面积法证明完全平方公式．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题意可得八进制数换算成十进制数是：
；
由题意可得：
，即，
即，
或不合题意，舍去即．
按照题目所给方法计算即可；
由题意可以得到关于的方程，解方程即可．
本题考查新定义下的实数运算，根据题目所给定义和规律对题目提供的特殊问题进行讨论和解决是解决此类问题的主要思路．
 

24.【答案】解：原式


；
，
，
则，
，，是的三边长，
，，，
；





，
，
． 

【解析】在原式中先加一项，再减去，用完全平方公式对式子进行因式分解，最后利用平方差公式再进行一次因式分解即可；
根据题目中的式子，利用配方法进行因式分解，再利用非负数的性质求出，，的值，算出的周长即可；
将两式作差，和比较大小即可得到结论．
本题主要考查配方法，掌握因式分解，完全平方公式是解题关键．
 

25.【答案】  全等三角形对应边相等 

【解析】问题情境解：在和中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等．
故答案为：，全等三角形对应边相等；

问题探究证明：延长交延长线于，

平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．

拓展延伸解：结论：理由如下：
过点作，交的延长线于点，与相交于，

，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
．
问题情境利用全等三角形的性质证明即可；
问题探究延长交延长线于，证明≌，推出，再证明≌，可得结论；
拓展延伸结论：过点作，交的延长线于点，与相交于，过点作，交的延长线于点，与相交于，证明方法类似．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．