2023-2024学年辽宁省铁岭市铁岭县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省铁岭市铁岭县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.观察下面图标，其中可以抽象成轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 2，3，5B. 4，5，6C. 5，8，2D. 3，3，6
3.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5B. a2⋅a3=a6C. a3÷a=a2D. (a3)2=a5
4.下面分解因式正确的是( )
A. 4a2−4a+1=4a(a−1)+1B. a2−4b2=(a+4b)(a−4b)
C. 4a2−12a+9=(2a−3)2D. 2ab−a2−b2=−(a+b)2
5.如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E.F，若BE=CF，则图中全等三角形有( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
6.若把分式x+yxy中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的2倍B. 不变C. 缩小为原来的12D. 缩小为原来的14
7.如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是( )
A. 80°B. 85°C. 90°D. 105°
8.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1−∠2的度数是( )
A. 40°
B. 80°
C. 90°
D. 140°
9.已知a+b=3，ab=−2，则a2+b2的值是( )
A. 13B. 9C. 5D. 4
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠EDF绕点D旋转DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论正确的是( )
①△DEF是等腰直角三角形；
②AE=CF；
③△BDE≌△ADF；
④BE+CF=EF．
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.若一粒米的质量约是0.000 012kg，将数据0.000 012用科学记数法表示为______ ．
12.点A(a,3)，点B(2,b)关于y轴对称，则a+b= ______ ．
13.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为______．
14.若一个正多边形的一个外角等于40°，则这个多边形是____边形．
15.计算(−2)2023×(12)2024= ______ ．
16.如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加______条件时，就可得到△ABC≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)
17.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是______．
18.如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
完成下列各题：
(1)计算：
①(−3a2b2)⋅(−2ab)2÷(2ab2)2；
②(2x+1)(2x−1)−(2x−3)2．
(2)因式分解：
①4x2−64；
②−3ma3+6ma2−3ma．
20.(本小题8分)
解方程：
(1)5x−4x−3+13=6x+53x−9
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,−2)，B(2,−4)，C(4,−1)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1(不写画法)；
(2)求△ABC的面积；
(3)在x轴上求作一点P，使得PA+PB的值最小.画出图形，不写画法．
22.(本小题8分)
先化简，再求值：(a−2−5a+2)÷a−32a+4，其中a=(3−π)0+(14)−1．
23.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，过点D作DE⊥FG交AB于点E，连接EG、EF．
(1)求证：BG=CF．
(2)请你判断：BE+CF与EF的大小关系，并加以证明．
24.(本小题10分)
为配合学校贯彻落实“双减”政策，搞好课后辅导服务活动．某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了25%，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．
(1)求两批圆规购进的进价分别是多少；
(2)若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？
25.(本小题10分)
如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M，连接CM．
(1)求证：BE=AD；
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数(直接写出结果)；
(3)当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项D的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、B、C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、2+3=5，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、4+5>6，能组成三角形，故B符合题意；
C、2+5<8，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+3=6，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项不合题意；
C、应为a3÷a=a3−1=a2，故本选项符合题意；
D、应为(a3)2=a3×2=a6，故本选项不合题意．
故选：C．
根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并．
4.【答案】C
【解析】此题考查了因式分解−公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
各式分解得到结果，即可作出判断．
解：A、4a2−4a+1=(2a−1)2，不符合题意；
B、a2−4b2=(a+2b)(a−2b)，不符合题意；
C、4a2−12a+9=(2a−3)2，符合题意；
D、2ab−a2−b2=−(a2−2ab+b2)=−(a−b)2，不符合题意．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：①△BCF≌△CBE
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠CFB=∠BEC=90°
∵BE=CF，BC=BC
∴△BCF≌△CBE(HL)；
②△ABE≌△ACF
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠AFC=∠AEB=90°
∵BE=CF，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACF(HL)；
③△BOF≌△COE
设BE与CF相交于点O，
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠OFB=∠OEC
∵BF=CE，∠BOF=∠COE
∴△BOF≌△COE(AAS)．
故选：C．
本题是开放题，应先根据三角形的判定确定图中全等三角形：△BCF≌△CBE，△ABE≌△ACF，△BOF≌△COE.再分别进行证明．
本题重点考查直角三角形全等判定HL定理，是一道较为简单的题目．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
6.【答案】C
【解析】解：把分式x+yxy中的x和y都扩大到原来的2倍，
2x+2y2x⋅2y=12×x+yxy，
分式的值缩小为原来的12，
故选：C．
根据分式的性质：分子分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，可得答案．
本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用线段的垂直平分线的性质，推出CE=CA，想办法证明△CAB是等边三角形即可解决问题．
【解答】
解：∵MN垂直平分线段AE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE=30°，
∴∠ACB=∠E+∠CAE=60°，
∵AB=CE=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠BAE=∠CAB+∠CAE=90°，
故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了翻折变换(折叠问题)，以及外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键，由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用三角形外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】
解：由折叠的性质得：∠D=∠C=40°，
根据三角形外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°，
则∠1−∠2=80°．
故选B．
9.【答案】A
【解析】解：∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab，
∴当a+b=3，ab=−2时，
原式=32−2×(−2)
=9+4
=13，
故选：A．
运用完全平方公式的变形进行代入、求解．
此题考查了完全平方公式的变形应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
∠CAD=∠BAD=BD∠ADF=∠BDE，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，故③正确；
∴DE=DF，BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵AE=AB−BE，CF=AC−AF，
∴AE=CF，故②正确；
∵BE+CF=AF+AE，
∴BE+CF>EF，
故④错误；
∴正确的有①②③，
故选：C．
根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF>EF，判断出④错误．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
11.【答案】1.2×10−5
【解析】解：将数据0.000 012用科学记数法表示为1.2×10−5．
故答案为：1.2×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】1
【解析】解：∵点A(a,3)，点B(2,b)关于y轴对称，
∴a=−2，b=3，
∴a+b=−2+3=1．
故答案为：1．
首先根据平面直角坐标系中两个关于y轴成轴对称的点的坐标特点，分别求出a、b的值，然后代入计算即可．
本题主要考查了平面直角坐标系中关于y轴成轴对称的两个点的坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数．
13.【答案】−1
【解析】解：由题意可得x2−1=0且x−1≠0，
解得x=−1．
故答案为−1．
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
14.【答案】九
【解析】【分析】
本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握，比较简单．
根据任何多边形的外角和都是360度，利用360度除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】
解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9，
故答案为九．
15.【答案】−12
【解析】解：(−2)2023×(12)2024
=(−2)2023×(12)2023×12
=(−2×12)2023×12
=−12．
根据幂的乘方和积的乘方
本题考查幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16.【答案】BC=DE
【解析】解：∵AD=CF，
∴AD+DC=FC+DC，
即AC=DF，
在△ABC和△FED中AB=FEAC=DFBC=DE，
∴△ABC≌△FED(SSS)，
故答案为：BC=DE．
由AD=CF利用等式的性质可得AC=DF，再添加BC=DE可利用SSS判定△ABC≌△FED．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
17.【答案】42
【解析】【分析】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE=OF=OD=4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积以及△ABO的面积之和，即可求出答案．
【解答】
解：如图，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OD，OD=OF，
即OE=OF=OD=4，
∴△ABC的面积是：S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△OBC=12×AB×OE+12×AC×OF+12×BC×OD
=12×4×(AB+AC+BC)
=12×4×21
=42．
故答案为：42．
18.【答案】2
【解析】解：过P作PF//BC交AC于F．
∵PF/​/BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDCPF=CQ，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=12AC，
∵AC=4，
∴DE=12×4=2．
故答案为：2．
过P作PF//BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=12AC即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
19.【答案】解：(1)①(−3a2b2)⋅(−2ab)2÷(2ab2)2
=(−3a2b2)⋅4a2b2÷4a2b4
=−12a4b4÷4a2b4
=−3a2；
②(2x+1)(2x−1)−(2x−3)2
=4x2−1−4x2+12x−9
=12x−10；
(2)①4x2−64
=4(x2−16)
=4(x+4)(x−4)；
②−3ma3+6ma2−3ma
=−3ma(a2−2a+1)
=−3ma(a−1)2．
【解析】(1)①先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
②利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；
(2)①先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；
②先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，提公因式法与公式法法综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)去分母得：15x−12+x−3=6x+5，
移项合并得：10x=20，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
去括号得：x2+2x+1−4=x2−1，
移项合并得：2x=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【解析】两方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，注意分式方程解完要检验．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)S△ABC=4×3−12×1×4−12×2×2−12×2×3=5；
(3)如图所示，点P即为所求．
【解析】(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据割补法求解即可；
(3)连接AB1交x轴于点P，则点P即为所求．
本题考查了作图−轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(a−2−5a+2)÷a−32a+4
=(a−2)(a+2)−5a+2⋅2(a+2)a−3
=(a+3)(a−3)a+2⋅2(a+2)a−3
=2a+6，
当a=(3−π)0+(14)−1=1+4=5时，
原式=2×5+6=16．
【解析】本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是正确化简分式．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入即可解答本题．
23.【答案】(1)证明：∵AC/​/BG，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDG和△CDF中，
∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF，
∴△BDG≌△CDF(ASA)，
∴BG=CF．
(2)解：BE+CF>EF，理由如下：
∵△BDG≌△CDF，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF，
在△EBG中，BE+BG>EG，
∴BE+CF>EF．
【解析】(1)根据平行线的性质，得∠DBG=∠DCF，再根据中点的定义，得BD=CD，然后证明三角形全等即可；
(2)先由(1)中△BDG≌△CDF，得GD=FD，BG=CF，根据线段垂直平分线的判定与性质得EG=EF，然后根据三角形的三边关系即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是善于运用全等三角形解决问题．
24.【答案】解：(1)设第一批购进圆规的单价为x元/件，则第二批购进圆规的单价为(1+25%)x元/件，
依题意得：1000x−10001.25x=40，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意．
则1.25x=1.25×5=6.25，
答：第一批购进圆规的单价为5元/件，第二批进价为6.25元/件；
(2)第一批购进圆规的数量为1000÷5=200(件)，
第二批购进圆规的数量为200−40=160(件)，
共盈利(200×7−1000)+(160×8−1000)=400+280=680(元)．
答：共盈利680元．
【解析】点拨：
(1)设第一批购进圆规的单价为x元/件，由题意：某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了25%，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．列出分式方程，解方程即可；
(2)求出购进两批圆规的数量，列式计算即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD；
(2)∠AMB=α；
(3)△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由(1)可得，BE=AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
CA=CB∠CAP=∠CBQAP=BQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE，可得BE=AD；
(2)根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根据三角形内角和即可得到∠AMB=α；
(3)先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根据∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．
解：(1)见答案；
(2)∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°−α，
∴∠BAM+∠ABM=180°−α，
∴△ABM中，
∠AMB=180°−(180°−α)=α；
(3)见答案．