2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省铁岭市昌图县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  矩形一定具有而菱形不一定具有的性质是(    )

A. 内角和等于 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等

2.  下列各组线段的长度成比例的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

3.  已知两个相似三角形的相似比是：，那么它们的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

4.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5.  初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片设全班有名同学，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉色，有两条围巾，分别为白色和红色她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知某反比例函数的图象经过点，则下列各点中不在该函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，则函数与在同一坐标系中的大致图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，、相交于点，由下列条件不能判定与相似的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，某几何体由个完全相同的小正方体组成，该几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  已知是关于的一元二次方程，则的值为______ ．

12.  一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有个将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则袋中小球的个数为______ ．

13.  矩形的对角线、交于点，，，则的周长为______ ．

14.  如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转得到，若四边形的面积为，，则的长度为______ ．

15.  如图，在中，，，：：，，则的长度为______ ．

16.  如图，在中，点为中点，，，，则的长度为______ ．

17.  如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______ ．

18.  如图，矩形的对角线上有一点，过点作，分别交和于点和，连接和，若，，则图中阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
用适当的方法解下列一元二次方程：
；
．

20.  本小题分
已知小明、小强的身高都是如图，小明和小强在路灯正下方分别向西和东各走几步，此时两人之间的水平距离，小明的影长，小强的影长，求这盏路灯的高度．

21.  本小题分
某商场销售某种玩具，每个进货价为元调查发现，当销售价为元时，平均每月能售出个；而当销售价每降低元，平均每月就能多售出个商场要想使这种玩具的销售利润平均每月达到元，每个玩具的定价应为多少元？

22.  本小题分
第届北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数，最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．李老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为______；
李老师选出写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小丽同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．

23.  本小题分
如图，在中，，，，．
求的长；
若，求证：∽．

24.  本小题分
小明同学自制了一个直角三角形纸板，将三个顶点分别标记为、、，测得纸板两条直角边，如图，小明使用它测量树的高度时，先调整自己的位置，使斜边保持水平，并且直角边与点在同一条直线上，同时测得，，求树的高度．

25.  本小题分
如图，在中，点在斜边上，过点向边作垂线，垂足为点，延长至点，使得，连接、．
求证：；
当为中点时，
求证：四边形是菱形；
若，求证：四边形是正方形．

26.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数相交于、两点，过点向轴作垂线，垂足为点，．
求一次函数和反比例函数的解析式；
求的面积；
问：在直角坐标系中，是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：．
由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案．
此题考查了矩形与菱形的性质等知识，解题的关键是记住矩形和菱形的性质，属于中考基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：两个相似三角形的相似比是：，
它们的面积比：．
故选：．
直接根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故选：．
根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出的取值范围即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：全班有名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是．
故选：．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为种，
所以恰好为红色帽子和红色围巾的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出恰好为红色帽子和红色围巾的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数图象上，
．
A、，该点在反比例函数图象上，不符合题意；
B、，该点在反比例函数图象上，不符合题意；
C、，该点在反比例函数图象上，不符合题意；
D、，该点不在反比例函数图象上，符合题意；
故选：．
根据图像上的点，可知，对选项逐一判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的纵横坐标之积等于常数．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
正比例函数图象分布在二四象限；反比例函数图象分布在一三象限；
故选：．
根据正比例函数和反比例函数的性质进行图象位置的判定即可．
本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，根据解析式中的常量的正负判定图象的位置是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】
解：、由能判定∽，故本选项不符合题意．
B、由、能判定∽，故本选项不符合题意．
C、由、能判定∽，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定与相似，故本选项符合题意．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：从正面看所得到的图形有列，从左到右小正方形的个数分别为：、、如图所示：
．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义可得，求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，口袋中黄球有个，
袋中小球的个数为个．
故答案为：．
用黄球的个数除以摸到黄球频率即可得出球的总个数．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长；
故答案为：．
由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，即可求出的周长为．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形周长的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把顺时针旋转的位置，
四边形的面积等于正方形的面积等于，
，
，
中，，
故答案为：．
利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
：：，
：：，
，
∽，
：：，
即：：：，
解得：，
．
故答案为：．
设，先证四边形为平行四边形得，，再由：：得：：，然后证和相似得：：，据此求出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定和性质是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
点为的中点，
，
，
，，
，
在和中，，，
∽，
：：，
即：：，
，
舍去负值，
，
故答案为：．
设，则，由，得，然后证和相似，再利用相似三角形的性质求出即可得出的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，，
∽，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度．
本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，
，
故答案为：．
想办法证明解答即可．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
 

19.【答案】解：方程变形为，
，
，
，；
方程变形为，
，
或，
所以，． 

【解析】先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；
先移项得到，再把方程看作关于的一元二次方程，利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 

20.【答案】解：由题意得：，，，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得：，
，
，
这盏路灯的高度为． 

【解析】根据题意可得：，，，从而可得，然后证明字模型相似三角形∽，∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：设个玩具的定价应为元，依题意得
解方程，得．
经检验符合题意．
答：每个玩具的定价应为元． 

【解析】销售利润一个玩具的利润销售玩具数量，一个玩具的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每个的盈利销售的个数元，即可列方程求解．
考查一元二次方程的应用，得到利润的等量关系是解决本题的关键，难点是得到售出玩具的个数．
 

22.【答案】 

【解析】解：若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为，
故答案为：；
把写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有种，
两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：，
：：，
，，，
：：，
；
证明：，，，，
：：，
，
∽． 

【解析】由平行线分线段成比例定理得到：：，代入有关数据即可求出；
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，由此即可证明问题．
本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理，关键是由，得到：：；证明：：．
 

24.【答案】解：由题意得：，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
，
，
树的高度为． 

【解析】根据题意可得：，从而可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
，，
是等腰直角三角形，
为中点，
，
四边形是菱形，
四边形是正方形． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据平行四边形的性质定理即可得到结论；
根据线段中点的定义得到，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据等腰直角三角形和菱形的性质定理以及正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
将两个函数联立得，
整理得，
解得，，
，，
点，点，
令，则，
点，
，
即的面积为；
存在，
以为对角线时，
，，，
将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点的坐标，
即，
以为对角线时，
，，，
将点向左平移个单位，向上平移个单位得到点的坐标，
即，
以为对角线时，
，，，
将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点的坐标，
即，
综上所述，点的坐标为，，． 

【解析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求出，即可求出答案；
联立两函数的解析式得出，点的坐标，然后根据得出的面积即可；
分为对角线，为对角线，为对角线三种情况求出点的坐标即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数的知识，熟练掌握反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．