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专题10+磁场+带电粒子在磁场中的运动（课件）-2024年高考物理二轮复习讲练测（新教材新高考）
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这是一份专题10+磁场+带电粒子在磁场中的运动（课件）-2024年高考物理二轮复习讲练测（新教材新高考），共40页。PPT课件主要包含了PARTONE，稿定PPT，考情分析，PARTTWO，网络构建，真题研析·规律探寻，核心提炼·考向探究，题型特训·命题预测，“平移圆”模型，“旋转圆”模型等内容，欢迎下载使用。
考点一 磁场对通电导线的作用力问题考向1 磁场的性质考向2 安培力考向3 洛伦兹力考点二 带电粒子在磁场中的运动考向1 磁场对通电导线的作用力问题
考点一 磁场对通电导线的作用力问题
1. 安培力作用下导体的平衡问题2. 安培力作用下导体运动情况判定的五种方法
考向1 磁场对通电导线的作用力问题
例1 (2022·江苏·高考真题) 如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向（ ） A．平行于纸面向上 B．平行于纸面向下 C．左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里 D．左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
【考向】磁场对通电导线的作用力问题
左半部分安培力 垂直纸面向外
右半部分安培力 垂直纸面向里
1）求解安培力作用下导体平衡问题的基本思路 ①选对象：通电导线或通电导体棒 ②平面化分析力：变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈⭕表示，电流方向用“×”或“●”表示，由左手定则判断安培力的方向，并画出平面受力分析图，安培力的方向F安⊥B、F安⊥I.如图所示： ④列方程：在其他力基础上多一个安培力，根据平衡条件列方程2）求解关键 ①电磁问题力学化. ②立体图形平面化.
安培力作用下导体的平衡问题
1）电流元法： 分割为电流元→ → → →安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向2）特殊位置法：在特殊位置→安培力方向→运动方向3）等效法 ①环形电流⇌小磁针 ②条形磁铁⇌通电螺线管⇌多个环形电流4）结论法：同向电流互相吸引，异向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势5）转换研究对象法：先分析电流所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力
安培力作用下导体运动情况判定的五种方法
1. (2023·广东深圳·校考模拟预测) (多选) 如图甲所示，为特高压输电线路上使用六分裂阻尼间隔棒的情景。其简化如图乙，间隔棒将6条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点 a、b、c、d、e、f上，O为正六边形的中心，A点、B点分别为Oa、Od的中点。已知通电导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与到导线的距离成反比。6条输电导线中通有垂直纸面向外，大小相等的电流，其中a导线中的电流对b导线中电流的安培力大小为F，则（ ） A．A点和B点的磁感应强度相同 B．其中 导线所受安培力大小为 C． a、b、c、d、e五根导线在O点的磁感应强度方向垂直于e d向下 D． a、b、c、d、e五根导线在O点的磁感应强度方向垂直于e d向上
2. (2024·陕西西安·校联考模拟预测) (多选) 如图所示，水平绝缘桌面上有两平行导轨与一电源及导体棒MN构成的闭合回路，已知两导轨间距为L，质量为m的导体棒MN与两导轨垂直，通过导体棒的电流为I，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与水平面成 角斜向上，导体棒MN静止，重力加速度大小为g，则导体棒MN受到的（ ） A．摩擦力大小为ILBsinθ B．摩擦力大小为 ILBcsθ C．支持力大小为 mg+ILBsinθ D．支持力大小为 mg-ILBcsθ
考点二 带电粒子在磁场中的运动
1. 带电粒子在磁场中的运动规律2. 带电粒子在有界匀强磁场中的运动3. 带电粒子在有界匀强磁场中的临界及极值问题4.带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题5. “平移圆”模型6. “旋转圆”模型7. “放缩圆”模型8. “磁聚焦”与“磁发散”模型
考向1 带电粒子在磁场中的圆周运动考向2 带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题考向3 带电粒子在磁场中运动的多解问题
例1 (2022·北京·高考真题) 正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是（ ）A．磁场方向垂直于纸面向里B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大D．轨迹3对应的粒子是正电子
【考向】带电粒子在磁场中的圆周运动
例2 (2023·全国·高考真题) (多选) 光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）A．粒子的运动轨迹可能通过圆心OB．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
【考向】带电粒子在磁场中的多解问题
【考向】带电粒子在有界磁场运动的临界或极值问题
在带电粒子只受洛伦兹力作用的条件下（电子、质子、α粒子等微观粒子的重力通常忽略不计）， 1）若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），带电粒子以入射速度v做匀速直线运动. 2）若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速率v做匀速圆周运动.①洛伦兹力提供向心力： .②轨迹半径： .③周期： 、 ，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间 .⑤动能： .
带电粒子在磁场中的运动规律
1)圆心的确定方法①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
2）半径的确定和计算①连接圆心和轨迹圆与边界的交点，确定半径，然后用几何知识求半径，常用解三角形法，如图 求得 ②在分析几何关系时，特别要掌握以下两点Ⅰ、粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，且等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即 .Ⅱ、相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝π.
3）运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间： 或 (l为弧长)．4）数学原理①几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交．②对称性：圆与直线相交，轨迹(圆弧)关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，轨迹(圆弧)关于两圆心的连线轴对称．(如图)③构造三角形④确定角度Ⅰ、有已知角度：利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；Ⅱ、没有已知角度：利用边长关系确定．
带电粒子在电场中的直线运动
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．1）临界条件带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．2）解题步骤：分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形
带电粒子在有界匀强磁场中的临界及极值问题
3）解题方法 ①物理方法 I、利用临界条件求极值；Ⅱ、利用问题的边界条件求极值；Ⅲ、利用矢量图求极值； ②数学方法Ⅰ、利用三角函数求极值；Ⅱ、利用二次方程的判别式求极值；Ⅲ、利用不等式的性质求极值；Ⅳ、利用图像法、等效法、数学归纳法求极值；
3）解题方法 ①物理方法：I、利用临界条件求极值；Ⅱ、利用问题的边界条件求极值；Ⅲ、利用矢量图求极值； ②数学方法：Ⅰ、利用三角函数求极值；Ⅱ、利用二次方程的判别式求极值；Ⅲ、利用不等式的性质求极值；Ⅳ、利用图像法、等效法、数学归纳法求极值；4）临界点常用的结论：①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．②时间最长或最短的临界条件：当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长；
5）典型模型①直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)图甲中粒子在磁场中运动的时间 ;图乙中粒子在磁场中运动的时间 ;图丙中粒子在磁场中运动的时间 .最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
③圆形边界(进出磁场具有对称性)Ⅰ、沿径向射入必沿径向射出，如图所示．Ⅱ、不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示．公共弦为小圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大．当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．①找出多解的原因：磁场方向不确定形成多解、临界状态不唯一形成多解、运动的周期性形成多解②画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1）适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上例：粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径 ，如图所示2）特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行3）界定方法：将半径为 的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
1）适用条件：速度大小一定，方向不同例：粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为 ，如图所示2）特点：轨迹圆圆心共圆，如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径 的圆上3）界定方法：将一半径为 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
1）适用条件：速度方向一定，大小不同例：粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化2）特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上3）界定方法：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
1）磁聚焦：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出,并且出射点的切线与入射速度方向平行证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
“磁聚焦”与“磁发散”模型：条件：当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时,存在两条特殊规律
2）磁发散：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(沿水平方向)．
1. (2024·广东东莞·校联考模拟预测) (多选) 如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体（等量的正离子和电子）约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托克马克。我国托克马克装置在世界上首次实现了稳定运行 100 秒的成绩。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠管的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时，下列说法正确的是（ ） A．离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，磁场对其做负功 B．离子在磁场中运动时，磁场对其一定不做功 C．离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，速度变大 D．离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小
【考向】带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题
3. (2023·广东湛江·统考模拟预测) “新一代人造太阳”的“中国环流三号”托卡马克装置，于8月25日首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，这一重大进展再次刷新我国磁约束聚变装置运行纪录。磁约束是用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动。如图所示，有一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。比荷为 的带电粒子在半径为R的中空区域内往各个方向运动，且速度大小不等。不考虑粒子间的相互作用及重力等因素的影响。若已知中空区域中的带电粒子的最大速度为vm。（1）若要求所有粒子均无法穿出环形磁场的外边缘，则环状区域内磁场的磁感应强度的最小值应为多少；（2）若环形区域内磁感应强度大小为第（1）问磁场的最小值，有一粒子从圆心O处射出，进入环形磁场区域后恰好与外边缘相切，然后再回到O点，则该粒子的速度是vm的多少倍，此过程中该粒子在环形磁场中运动的时间是多少。（sin37°=0.6，cs37°=0.8）
【考向】带电粒子在磁场中运动的多解问题
5. (2023·浙江·校联考一模) 如图甲所示，O点是一个粒子源，能在上半平面内沿着各个方向均匀、持续地发射电荷量为e，质量为m，速度大小恒定的电子。上半平面内的半圆形区域内，存在垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。半圆形区域半径为R，圆弧边缘是由金属材料制成的极板，当电子打到极板上会瞬间被极板吸收，并与外电路形成回路，因此可以测出回路中的电流大小。则（1）电子速度v0为多大时，有三分之二的电子能打到极板；（2）电子以第（1）问中的v0发射，测得外电路的电流强度大小为I，试求半圆弧极板在半径方向受到的作用力大小之和；（3）如图乙所示，若磁场形状改为半圆形环状磁场区域，圆环内半径为r，外半径为R。磁场方向和大小不变，粒子源仍在圆心O。若电子的发射速度为v，每秒钟发射N个，则电子速度v与外电路的电流强度I的关系式。
考点一 磁场对通电导线的作用力问题考向1 磁场的性质考向2 安培力考向3 洛伦兹力考点二 带电粒子在磁场中的运动考向1 磁场对通电导线的作用力问题
考点一 磁场对通电导线的作用力问题
1. 安培力作用下导体的平衡问题2. 安培力作用下导体运动情况判定的五种方法
考向1 磁场对通电导线的作用力问题
例1 (2022·江苏·高考真题) 如图所示，两根固定的通电长直导线a、b相互垂直，a平行于纸面，电流方向向右，b垂直于纸面，电流方向向里，则导线a所受安培力方向（ ） A．平行于纸面向上 B．平行于纸面向下 C．左半部分垂直纸面向外，右半部分垂直纸面向里 D．左半部分垂直纸面向里，右半部分垂直纸面向外
【考向】磁场对通电导线的作用力问题
左半部分安培力 垂直纸面向外
右半部分安培力 垂直纸面向里
1）求解安培力作用下导体平衡问题的基本思路 ①选对象：通电导线或通电导体棒 ②平面化分析力：变立体图为平面图，如侧视图、剖面图或俯视图等，导体棒或导线用圆圈⭕表示，电流方向用“×”或“●”表示，由左手定则判断安培力的方向，并画出平面受力分析图，安培力的方向F安⊥B、F安⊥I.如图所示： ④列方程：在其他力基础上多一个安培力，根据平衡条件列方程2）求解关键 ①电磁问题力学化. ②立体图形平面化.
安培力作用下导体的平衡问题
1）电流元法： 分割为电流元→ → → →安培力方向→整段导体所受合力方向→运动方向2）特殊位置法：在特殊位置→安培力方向→运动方向3）等效法 ①环形电流⇌小磁针 ②条形磁铁⇌通电螺线管⇌多个环形电流4）结论法：同向电流互相吸引，异向电流互相排斥；两不平行的直线电流相互作用时，有转到平行且电流方向相同的趋势5）转换研究对象法：先分析电流所受的安培力，然后由牛顿第三定律，确定磁体所受电流磁场的作用力
安培力作用下导体运动情况判定的五种方法
1. (2023·广东深圳·校考模拟预测) (多选) 如图甲所示，为特高压输电线路上使用六分裂阻尼间隔棒的情景。其简化如图乙，间隔棒将6条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点 a、b、c、d、e、f上，O为正六边形的中心，A点、B点分别为Oa、Od的中点。已知通电导线在周围形成磁场的磁感应强度与电流大小成正比，与到导线的距离成反比。6条输电导线中通有垂直纸面向外，大小相等的电流，其中a导线中的电流对b导线中电流的安培力大小为F，则（ ） A．A点和B点的磁感应强度相同 B．其中 导线所受安培力大小为 C． a、b、c、d、e五根导线在O点的磁感应强度方向垂直于e d向下 D． a、b、c、d、e五根导线在O点的磁感应强度方向垂直于e d向上
2. (2024·陕西西安·校联考模拟预测) (多选) 如图所示，水平绝缘桌面上有两平行导轨与一电源及导体棒MN构成的闭合回路，已知两导轨间距为L，质量为m的导体棒MN与两导轨垂直，通过导体棒的电流为I，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与水平面成 角斜向上，导体棒MN静止，重力加速度大小为g，则导体棒MN受到的（ ） A．摩擦力大小为ILBsinθ B．摩擦力大小为 ILBcsθ C．支持力大小为 mg+ILBsinθ D．支持力大小为 mg-ILBcsθ
考点二 带电粒子在磁场中的运动
1. 带电粒子在磁场中的运动规律2. 带电粒子在有界匀强磁场中的运动3. 带电粒子在有界匀强磁场中的临界及极值问题4.带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题5. “平移圆”模型6. “旋转圆”模型7. “放缩圆”模型8. “磁聚焦”与“磁发散”模型
考向1 带电粒子在磁场中的圆周运动考向2 带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题考向3 带电粒子在磁场中运动的多解问题
例1 (2022·北京·高考真题) 正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是（ ）A．磁场方向垂直于纸面向里B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大D．轨迹3对应的粒子是正电子
【考向】带电粒子在磁场中的圆周运动
例2 (2023·全国·高考真题) (多选) 光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）A．粒子的运动轨迹可能通过圆心OB．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
【考向】带电粒子在磁场中的多解问题
【考向】带电粒子在有界磁场运动的临界或极值问题
在带电粒子只受洛伦兹力作用的条件下（电子、质子、α粒子等微观粒子的重力通常忽略不计）， 1）若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），带电粒子以入射速度v做匀速直线运动. 2）若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速率v做匀速圆周运动.①洛伦兹力提供向心力： .②轨迹半径： .③周期： 、 ，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间 .⑤动能： .
带电粒子在磁场中的运动规律
1)圆心的确定方法①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲．②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙．
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
2）半径的确定和计算①连接圆心和轨迹圆与边界的交点，确定半径，然后用几何知识求半径，常用解三角形法，如图 求得 ②在分析几何关系时，特别要掌握以下两点Ⅰ、粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，且等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即 .Ⅱ、相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝π.
3）运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间： 或 (l为弧长)．4）数学原理①几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交．②对称性：圆与直线相交，轨迹(圆弧)关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，轨迹(圆弧)关于两圆心的连线轴对称．(如图)③构造三角形④确定角度Ⅰ、有已知角度：利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；Ⅱ、没有已知角度：利用边长关系确定．
带电粒子在电场中的直线运动
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．1）临界条件带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．2）解题步骤：分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形
带电粒子在有界匀强磁场中的临界及极值问题
3）解题方法 ①物理方法 I、利用临界条件求极值；Ⅱ、利用问题的边界条件求极值；Ⅲ、利用矢量图求极值； ②数学方法Ⅰ、利用三角函数求极值；Ⅱ、利用二次方程的判别式求极值；Ⅲ、利用不等式的性质求极值；Ⅳ、利用图像法、等效法、数学归纳法求极值；
3）解题方法 ①物理方法：I、利用临界条件求极值；Ⅱ、利用问题的边界条件求极值；Ⅲ、利用矢量图求极值； ②数学方法：Ⅰ、利用三角函数求极值；Ⅱ、利用二次方程的判别式求极值；Ⅲ、利用不等式的性质求极值；Ⅳ、利用图像法、等效法、数学归纳法求极值；4）临界点常用的结论：①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．②时间最长或最短的临界条件：当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长；
5）典型模型①直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)图甲中粒子在磁场中运动的时间 ;图乙中粒子在磁场中运动的时间 ;图丙中粒子在磁场中运动的时间 .最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
③圆形边界(进出磁场具有对称性)Ⅰ、沿径向射入必沿径向射出，如图所示．Ⅱ、不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示．公共弦为小圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大．当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．①找出多解的原因：磁场方向不确定形成多解、临界状态不唯一形成多解、运动的周期性形成多解②画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1）适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上例：粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径 ，如图所示2）特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行3）界定方法：将半径为 的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
1）适用条件：速度大小一定，方向不同例：粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为 ，如图所示2）特点：轨迹圆圆心共圆，如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径 的圆上3）界定方法：将一半径为 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
1）适用条件：速度方向一定，大小不同例：粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化2）特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上3）界定方法：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
1）磁聚焦：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出,并且出射点的切线与入射速度方向平行证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
“磁聚焦”与“磁发散”模型：条件：当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时,存在两条特殊规律
2）磁发散：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(沿水平方向)．
1. (2024·广东东莞·校联考模拟预测) (多选) 如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体（等量的正离子和电子）约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托克马克。我国托克马克装置在世界上首次实现了稳定运行 100 秒的成绩。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠管的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时，下列说法正确的是（ ） A．离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，磁场对其做负功 B．离子在磁场中运动时，磁场对其一定不做功 C．离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，速度变大 D．离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小
【考向】带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题
3. (2023·广东湛江·统考模拟预测) “新一代人造太阳”的“中国环流三号”托卡马克装置，于8月25日首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，这一重大进展再次刷新我国磁约束聚变装置运行纪录。磁约束是用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动。如图所示，有一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。比荷为 的带电粒子在半径为R的中空区域内往各个方向运动，且速度大小不等。不考虑粒子间的相互作用及重力等因素的影响。若已知中空区域中的带电粒子的最大速度为vm。（1）若要求所有粒子均无法穿出环形磁场的外边缘，则环状区域内磁场的磁感应强度的最小值应为多少；（2）若环形区域内磁感应强度大小为第（1）问磁场的最小值，有一粒子从圆心O处射出，进入环形磁场区域后恰好与外边缘相切，然后再回到O点，则该粒子的速度是vm的多少倍，此过程中该粒子在环形磁场中运动的时间是多少。（sin37°=0.6，cs37°=0.8）
【考向】带电粒子在磁场中运动的多解问题
5. (2023·浙江·校联考一模) 如图甲所示，O点是一个粒子源，能在上半平面内沿着各个方向均匀、持续地发射电荷量为e，质量为m，速度大小恒定的电子。上半平面内的半圆形区域内，存在垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。半圆形区域半径为R，圆弧边缘是由金属材料制成的极板，当电子打到极板上会瞬间被极板吸收，并与外电路形成回路，因此可以测出回路中的电流大小。则（1）电子速度v0为多大时，有三分之二的电子能打到极板；（2）电子以第（1）问中的v0发射，测得外电路的电流强度大小为I，试求半圆弧极板在半径方向受到的作用力大小之和；（3）如图乙所示，若磁场形状改为半圆形环状磁场区域，圆环内半径为r，外半径为R。磁场方向和大小不变，粒子源仍在圆心O。若电子的发射速度为v，每秒钟发射N个，则电子速度v与外电路的电流强度I的关系式。
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