第二十八章 锐角三角函数考点大梳理-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测（人教版）

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第二十八章 锐角三角函数考点大梳理考点1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义常见关系解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助。在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA．【答案】sinA=，cosA=，tanA=【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答．【详解】解∶ ∵Rt△ABC中，∠C=，若AB=13，BC=5，∴AC=12，∴sinA=；cosA=；tanA=【点睛】本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握锐角三角函数的意义和勾股定理的应用是解题关键．如图，在中，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键．【详解】解：，，故选A．在中，，，，则的值是(   )A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，利用正弦的定义求解即可．【详解】解：∵，，，∴．故选：B．在中， ， ，则的值是（  ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】本题考查了同角三角函数的关系，先根据题意画出直角三角形，设，求出及，然后可得出的值．【详解】解：如图：∵，∴可以假设，，∴∴，故选：B．如图，在下面正方形网格中，按如图所示的位置摆放，则的值是（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据网格所示信息，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，利用三角函数的定义解答．【详解】解：∵∴∴是等腰直角三角形，且，∴，故选：D．在中，，，则的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据已知先设，然后利用勾股定理求出，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】∵，∴，∴设，∴，∴，故选：B．在中，，，，则的长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，即可得出结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题关键．【详解】解：∵，∴，故选：C．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意构造直角三角形，然后利用勾股定理求得斜边与直角边之间的关系式，最后利用余弦的定义即可求解．解题的关键是理解正切、余弦在直角三角形中的表达式．【详解】如图所示，依据题意建立直角三角形，其中则，，∴∴故选：C．在中，，，点D是边上一点，，，则 ．【答案】6或【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作于E，根据，可得出，设，则，在中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出，然后证和相似，最后利用相似三角形的性质可求出的长．【详解】解：过点D作于E，如图所示：∵，在中，，∴，设，由勾股定理得：，，，在中，，由勾股定理得：，即，整理得：，解得：，或，当时，，，，，，即，，当时，，同理：，即，．综上所述：或，故答案为：或．在中，，，，则 .【答案】【分析】本题考查锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定，由，得出，从而得到，，再利用锐角三角函数求解．【详解】解：中，，，，，，，故答案为：．中，若，则的值为 ．【答案】/【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据正切的定义可得．【详解】解：∵中，，∴，∴，故答案为：．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ．  【答案】【分析】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．利用网格构造直角三角形，再找到对应的直角边长，最后根据三角函数的意义求解即可．【详解】解：如图，过点作的延长线于点，∴在中，，，∴．故答案为：．  在中，，，，求的值．【答案】【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握解直角三角形的基本知识是解答本题的关键．先根据正弦函数的定义求出，再利用勾股定理求出，最后根据正弦函数的定义求出，求出答案．【详解】解：在中，，，，，即．．．．考点2 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值1.图表记忆2.规律记忆30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。若是锐角，，则的值是（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值．【详解】解：是锐角，，，，故选：B．已知在中，，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查求特殊角的三角函数值，直接在直角三角形，利用两角互余可求的度数，直接求余弦值即可．【详解】解：在中；∵；∴；∴；即；故选：．下列各式中不正确的是（  ）．A． B． C． D．  【答案】B【分析】本题考查特殊角三角函数值及同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系．根据特殊角三角函数值及同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系解答即可．【详解】解：，，，，A、正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；B、错误，，符合题意；C、正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；D、正确，，，不符合题意．故选：B．能与相加得的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的加法运算，解题的关键是熟记特殊角三角函数值，得到的值，再和各选项所表示的数依次进行加法运算即可作出判断．【详解】解：∵，A．，故此选项不符合题意；B．，故此选项符合题意；C．，故此选项不符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：B．2cos60°的值等于（   ）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：．故选：D．在中，，，那么的值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，求特殊角三角函数值，根据正弦为的锐角是30度求出，再根据30度角的余弦值为即可得到答案．【详解】解：∵在中，，，∴，∴，故选B．在中，，，的值是（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的余弦值，由题意知，，根据，求解作答即可．【详解】解：由题意知，，∴，故选：B． 的值是（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．【详解】解：，故选：B．的值是（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角的三角函数值可得答案．【详解】解：，故选：A．的值等于（  ）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根据代入求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，故选：B．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴；故选C．已知是锐角，且，那么 ．【答案】【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由为锐角，且，那么，∴，∴，故答案为：．在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则 ．【答案】1【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理和特殊角三角函数值，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．根据题意，连接、，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断的形状，从而可以求得的度数，再求出正切值即可．【详解】解：连接、，则，∵，∴，设小正方形的边长为1，则，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴，故答案为：1．计算：【答案】【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式等等，熟知相关计算法则是解题的关键．计算：．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂公式，乘方计算即可，熟练掌握三角函数值，公式是解题的关键．【详解】．（1）计算：．（2）已知为锐角，，求的值．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零次幂，再合并即可；（2）先解方程，可得，再把化为，再代入求值即可．【详解】解：（1）；（2）∵，∴，∴或，解得：或，∵为锐角，∴，∴；【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，特殊角的三角函数值的混合运算，同角的三角函数之间的关系，掌握以上知识是解本题的关键．考点3 锐角三角函数的应用在中，若，则的形状是（    ）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：∵∴，，解得：，，∴，∴是钝角三角形，故选B．如图，点在以为直径的上，与过点的切线垂直，垂足为点，交于点.(1)求证：平分；(2)连接交于点，若，求的值.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质，证明，利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可．（2）连接，根据，设，，根据勾股定理求得，利用，计算即可．【详解】（1）如图，连接，∵点在以为直径的上，与过点的切线垂直，∴，∴，∴，∵,∴，∴，∴平分．（2）如图，连接，∵，，∴设，，则，∴，∴，解得，，故，∴．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的性质，切线的性质，三角函数是解题的关键．如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，，，则k的值等于（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查反比例函数值的意义，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质．根据，设，则：，勾股定理求出，过点作轴，过点作轴，证明，根据反比例函数值的几何意义，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．解题的关键是掌握值的几何意义，添加辅助线构造相似三角形．【详解】解：∵，，∴，∴设，则：，∴，∴，过点作轴，过点作轴，  则：，∵点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故选：B．如图内接于，弦，，则的半径为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，过作直径，连接，易得，根据圆周角定理得，则，结合三角函数的定义即可得到结论．正确的作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【详解】解：过作直径，连接，∵为直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴的半径为6，故选：D．如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为   【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可．【详解】解：过点作，垂足为，对角线平分．，，，，，，，，，，．  故答案为：．如图，已知，，，，则 ．【答案】【分析】连接，证明，得到，求出的长，得到的长．【详解】解：如图，连接，在中，，，，，，，，，，在中，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，解直角三角形，特殊角三角函数值，直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点．阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)计算：______；(2)对于，的正对值的取值范围是______；(3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键．（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）由，令，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解．【详解】（1）解：根据正对定义可得：当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形，底边腰长，故答案为：1；（2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0，当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近，的正对值的取值范围是，故答案为：；（3）解：如图：在中，， 令，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，∴，，， ．如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E、F，连接．(1)求证：；(2)若，求四边形的周长．【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据矩形的性质及全等三角形的判定证明即可；（2）根据全等三角形的性质得出，再由菱形的判定得出四边形是菱形．设，则，利用正切函数及勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴,∴,∵点O是的中点，∴，∵，∴．（2）由（1）知，∴，∵四边形是矩形，∴，即，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．设，则，在中，∴．∵，∴，解得：，∴四边形的周长为．【点睛】题目主要考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意是解题关键．如图，AB是☉O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交☉O于点H，DB交AC于点G．(1)求证；AF=DF；(2)若AF=，sin∠B=，求☉O的半径．【答案】(1)见解析(2)☉O的半径为5【详解】（1）证明 ∵D是弧AC的中点，∴．∵AB⊥DH，且AB是☉O的直径，∴，∴．∴∠ADH=∠CAD，∴AF=DF．（2）解 ∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠B=90°．∵∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠B，∴sin∠ADE=，tan∠ADE=．设AE=x，则DE=2x．∵DF=AF=，∴EF=2x-．∵AE2+EF2=AF2，∴x=2，∴AD==2，∴AB==10，∴☉O的半径为5．如图，的直径弦于点C，P是上的一点，延长交于点D，连接，且．(1)求证：；(2)若，的直径为10，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理和解直角三角形等知识．（1）利用平行线的性质和圆周角定理可得出，然后利用等腰三角形的判定即可得证；（2）连接，利用垂径定理和圆周角定理可得出．然后在中，根据正弦定义求解，即可解答．【详解】（1）证明 ∵，∴．∵，∴，∴．（2）解 连接，如图，∵为的直径，∴．∵，∴，∴．在中， ，∴．如图，为的直径，C为延长线上一点，是的切线，D为切点，于点E，交于点F．  (1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，得到，结合求得，然后利用得到，从而得到，再利用得到，从而，最后得证结果；（2）根据三角形的中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质得到的长度，表示的长度，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）证明：如图，连接，则，  ，是的切线，是的直径，，，，，，，，；（2），，∴，是的中位线，，，设，，则，∴，，，，，，，，∴，∵，∴，解得：（负根舍去），∴．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形，三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线．综合与探究如图，在正方形中，E是边上一点，连接，于点F，连接，交于点G．(1)求证：．(2)若E为的中点．①求证：．②连接，若，求正方形的边长．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②．【分析】（1）利用正方形的性质，垂直的性质，同角的余角相等，得到，利用四边形的内角和，邻补角的定义和同角的补角相等得到，利用相似三角形的判定定理即可得出结论；（2）①利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等量代换即可得出结论；②过点作于点，设正方形的边长为，则，，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，，，再利用相似三角形的判定与性质求得，，最后在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）证明：四边形为正方形，，．，，，，．四边形的内角和为，，．，，；（2）①证明：为中点，，，由（1）知：，，，，，为的中点，，，，；②解：过点作于点，如图，设正方形的边长为，则，，，设，则，，，，，，，．同理求得：，．．，，∴，，，，，．，，，，，正方形的边长为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．综合与实践如下图，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到中．数学思考（1）上图中______；（2）如下图，，，，四点均在边长为1的正方形网格的格点上，与相交于点，求的值．  深入探究（3）如下图，，，，，五点均在边长为1的正方形网格的格点上，交的延长线于点，求的值．  【答案】（1）（2）（3）【分析】本题考查了平行线的性质，勾股定理及逆定理，平行四边形的判定，求一般角的三角函数值；（1）可证，从而可得，可得，由勾股定理、的长，由即可求解；（2）取格点，连接，，可证，从而可得，由勾股定理、的长，由即可求解；（3）取格点，连接，，可证，从而可得，判定是直角三角形，由即可求解；根据题意构建出适合的直角三角形是解题的关键．【详解】解：（1）、是正方形小方格的对角线，，，，由图得：，，，，；故答案：；（2）如图，取格点，连接，，由图得：，，，，，；（3）如图，取格点，连接，，  ，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，是直角三角形，．考点4 解直角三角形1.常见关系解直角三角形时的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助。中，，，，解这个直角三角形．【答案】，，．【分析】利用勾股定理即可求得的长，然后利用三角函数求得的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可求得的度数．本题考查了解直角三角形，正确理解直角三角形中的边角关系是关键．【详解】解：如图，在中，，，，∴，∵，∴，∴．如图，在中，，，，求的长及的余弦值．【答案】，【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素．通过，即可求解．【详解】解：在中，，，，，，．如图，在中，，，．(1)求的长；(2)求的面积（结果保留根号）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长；（2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．【详解】（1）解：过点作于．在中，，，，∵在中，，；（2）∵在中，，，在中，根据勾股定理，，的面积．如图，在中，，点为的中点，于点，连接，已知．  (1)若，求的长度；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）先在中，利用正切的定义可得，利用勾股定理可得，从而可得，再在中，利用正切的定义求解即可得；（2）过点作于点，先求出，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后在中，利用正弦的定义求解即可得．【详解】（1）解：，，，，∵点为的中点，，在中，．（2）解：如图，过点作于点，  ，，，，∵点为的中点，，在中，，，，，则在中，．【点睛】本题考查了正切、正弦、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握正切与正弦的概念是解题关键．如图，中，，，D是边的中点，连结．  (1)已知，求的长；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键．（1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可；（2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴设，则，∵，即，解得，∴；（2）解：作于，  由（1）得，∵D是边的中点，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．如图，在中，，，，，，交．求：(1)的长；(2)的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出的长即可；（2）先利用勾股定理求得，从而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函数值得出答案．【详解】（1）解：，，，，，；（2）解：，，由（1）知，由勾股定理得：，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊角三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．如图，在中，，，点D在边上，且．(1)求的长．(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，（1）根据题意先求出的长，再根据勾股定理求得的长；（2）先求出的长，然后根据勾股定理可以得到的长，最后求出的值．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【详解】（1）在中，，∴，即，解得，∴；（2）∵，∴，∴在中， ．∴．如图，是的中线，  求：(1)的长；(2)的正弦值．【答案】(1)6(2)【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题；（2）在中，求出，即可解决问题．【详解】（1）解：如图，作于．      在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值为．如图，在△ABC中，，，，求的长．  【答案】【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论．【详解】解：如图，过作于，∴，∵在中，，，∴，，又∵在△ABC中，，，∴，在中，，∴，∴的长为．  【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.  (1)若，求的长度；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，得到中各边长的比值关系，计算出的长度，根据中点的性质得到的长度，最后再用计算出即可．（2）过点作于点，根据，，算出的长度，根据中点的性质得到的长度，就可以算出和的长度，得到的长度，勾股定理算出，即可得到结论．【详解】（1），，，，，∴，，点为的中点，．在中，，，．（2）过点作于点，    ，，，，点为的中点，，在，，，，．由勾股定理得：，，【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函数的含义，并能运用到题目中是解题关键．在中，，，为锐角且．(1)求的面积；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积；（2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出；（3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值．【详解】（1）解：过点作，垂足为，∴，∵为锐角且，∴，∴，∴，∴，在，∵，，∴，∵，∴．∴的面积为．（2）∵，，∴，在中，．∴的值为．（3）在中，，，∴．∴的值为．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．考点5 解直角三角形在实际问题中的应用2.测量物体高度的常见三角形模型（1）利用水平距离测量物体的高度（）（2）测量底部可以到达的物体的高度（）（3）测量底部不可达到的物体的高度（）如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，则树高等于 米．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；作于，根据题意得 ，则，进而根据即可求解．【详解】解：作于，则，，根据题意得， ，．故答案为：如图，一学生站在A处，利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点与地面上A点，点处俯角分别为和，且，，.（点A，，，在同一平面内）(1)求无人机到地面的距离；(2)若，求大楼的高度.（结果精确到）（参考数据：，）【答案】(1)80(2)68.5【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．（1）过点作，垂足为，设，即，列出方程，求出a的值，得出答案即可；（2）过点作，垂足为，先求出，从而求出，即可得答案．【详解】（1）过点作，垂足为，设，即，，，，，米离地面的高度为80米；（2）过点作，垂足为，由题意得：，，在中，，（米）．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角，点C处的俯角，线段的长为无人机距地面的高度，点D、B、C在同一条水平直线上，，米．(1)求无人机的飞行高度．(2)求河流的宽度．（参考数据：，，）【答案】(1)无人机的飞行高度为75米(2)河流的宽度为75米【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟记俯角的含义是解本题的关键；（1）在中，有，再代入数据进行计算即可得到答案；（2）在中，有，先求解，从而可得答案．【详解】（1）解：由题意得：，∴．．在中．，∵，米，∴（米），答：无人机的飞行高度为75米（2）在中，，∴（米），∴（米），答：河流的宽度为75米．如图，在斜坡上有一建成的基站塔，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角．（点A，B，C，D，E均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）  (1)求坡面的坡度；(2)求基站塔的高．【答案】(1)(2)基站塔的高为17.5米【分析】本题主要考查解直角三角形，通过作垂线构造垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算．（1）过点D作于点M，延长，交于点N，过点D作于点F．利用勾股定理即可求解．（2）设米，则米，米，表示出，再由锐角三角函数列出方程即可．【详解】（1）解：解：如图，过点D作于点M，延长，交于点N，过点D作于点F．  （米），（米），（米）坡面的坡度为：；（2）解：设米，则米，米，，，米，米．在中，米，米，，，解得；（米），（米），．答：基站塔的高为17.5米．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，即，点B、F在线段上，支杆．(1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系；(2)当时，求的长【答案】(1)，理由见解答(2)的长为【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答；（2）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．【详解】（1）解：，理由：连接，∵，∴，∵∴∴，∴是直角三角形，∴，∴；（2）过点作，垂足为，在中，，，∴的长为．如图为挖掘机某工作时刻的示意图，挖掘机的底座高米，大臂由和两部分构成，其中米，米，与的固定夹角，，此时测得大臂的前部与的夹角，小臂与地面的夹角．（参考数据：，，，）．(1)求点C到地面的距离．（结果精确到米）(2)已知挖掘机A正前方米外为禁止施工路段，请通过计算说明此时控掘机挖掘的地方是否为禁止施工路段？（结果精确到米）【答案】(1)米(2)不是【分析】（1）本题考查解直角三角形的应用，过点C，D分别作，，F，M分别为垂足，再过点B，C分别作，，N，H为垂足，根据平行线得到，结合三角函数求解即可得到答案（2）本题考查解直角三角形的应用与等腰三角形的判定与性质，根据正余弦得到、，再证出为等腰直角三角形即可得到答案；【详解】（1）解：过点C，D分别作，，F，M分别为垂足，再过点B，C分别作，，N，H为垂足，如图所示：∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴（米），（米），∴（米），∴点C到地面AM的距离米；（2）解：∵，，，∴，，，∵，，，∴，在中，米，，，∴（米），（米），∴（米），∵，，∴为等腰直角三角形，∴（米），∴（米），∵，∴控掘机挖掘的地方不是禁止施工路段．某风景区，水竹亭在紫微阁的正南方向，两个景点被一座小山阻隔，计划在，之间修建一条直通景观隧道（如图）．为测量，两点之间距离，在一条东西方向的公路上选择，两点分别观测，，已知点在点的北偏东42°方向上，点在点的北偏东30°方向上，米，米，试求，两点之间的距离．（参考数据：，，，其中）【答案】，之间的距离约为1962米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，求得和的长，再在在中，利用正切函数的定义求解即可．【详解】延长交于，则，在中，，，，，，，，在中，，，（米），答：，之间的距离约为1962米．某海域上，码头处的海警同时接到处和处的求救信号，海警一组前往处，海警二组前往处，在的北偏东方向，在的南偏东方向，在的正南方向，海里．(1)求的距离（结果精确到0.1）；(2)处的人员得到解救后，处还未完成解救任务，海警一组决定前往处协助二组完成任务，若海警一组的快艇速度为每小时65海里，问海警一组能否在15分钟内到达处？请说明理由．（参考数据：）【答案】(1)（海里）；(2)海警一组能在15分钟内到达处，理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形知识的应用．（1）作于E，根据角所对直角边等于斜边一半得出，再证明是等腰直角三角形即可得出结论；（3）根据勾股定理求出，从而可得的长，再由路程除以速度得出海警一组的时间，再与15分钟进行比较即可．【详解】（1）作于E，如图，根据题意得，，∴∴（海里）∴（海里）∴（海里）；（2）在中，∴（海里）；∴（海里）；∴海警一组到达处所需时间为：（分钟），所以，海警一组能在15分钟内到达处．某体育场有一个垂直于底面的旗杆，其旁边有一个坡面，经测量发现，坡比，长为2米，小明在点测得旗杆顶点的仰角为19.2°，在点处测得旗杆顶点的仰角为45°，且三点在同一条水平线上，求旗杆的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据：）【答案】米【分析】此题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数的定义，过点作于点，设，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：过点作于点，如图：，坡面的坡比，即，，设米，，，米，四边形是矩形，，，，在中，，，即：解得：（米），（米）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点，，，，，在同一平面内．(1)求的距离；(结果保留根号)(2)一辆货车沿斜坡从处行驶到处，货车的高为米，，若米，求此时货车顶端到水平线的距离．(精确到米，参考数据：，)【答案】(1)(2)米【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题；（1）过点作，交的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）延长交于点，根据题意可得：，，从而可得，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出的长，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，在中，米，，米，米，在中，，米，米，的距离为米；（2）延长交于点，由题意得：，，，，，，，，在中，米，米，米，米，米，在中，，米，米，此时货车顶端到水平线的距离约为米．如图，甲、乙两队同时从A点出发，相约去河对面的公园D游玩．甲队选择的线路为，其中在段划船过河；乙队选择的线路为，其中在段乘坐游船过河．已知四边形为矩形，A、B、C三点在同一直线上，长为米，，，．(1)求D到的距离；（结果精确到个位）(2)甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为．已知甲队划船的速度为，乙队游船的速度为，若长为米，请通过计算说明哪一队先到达公园D？（参考数据：，，，，）【答案】(1)；(2)甲队先到达公园D【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，实数的混合运算，灵活运用锐角三角函数是解题关键．（1）过点作于点，利用锐角三角函数，分别求得，，，即可得出D到的距离；（2）由（1）可知，，，，结合甲、乙两队步行和划船的速度，分别求出两队所用时间，即可得到答案．【详解】（1）解：如图，过点作于点，四边形为矩形，，，，，，，，，，，，，，，，即D到的距离；（2）解：，，由（1）可知，，，，，甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为．甲队划船的速度为，乙队游船的速度为，甲队所用时间，乙队所用时间，，甲队先到达公园D．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长. （结果精确到，参考数据：）【答案】21【分析】过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点O作，交的延长线于点D，过点O作，垂足为E，由题意得：（米），（米），，∴，∵，∴，在中， （米），在中，（米），∴（米），∴（米），∴小李到古塔的水平距离即的长约为21米．三边关系 （勾股定理）两锐角间关系 边角关系 面积关系 三角函数图形记忆30°45°60°1三边关系 （勾股定理）两锐角间关系 边角关系 面积关系 概念定义图形俯角、仰角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= .方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向).