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第二十八章 锐角三角函数考点大梳理-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测(人教版)
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这是一份第二十八章 锐角三角函数考点大梳理-2023-2024学年九年级数学上+下册重难点培优及章末梳理与检测(人教版),文件包含第二十八章锐角三角函数考点大梳理原卷版docx、第二十八章锐角三角函数考点大梳理解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共97页, 欢迎下载使用。
第二十八章 锐角三角函数考点大梳理考点1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义常见关系解直角三角形时的原则:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切;宁乘勿除,取原避中;化斜为直,方程相助。在Rt△ABC中,∠C=,AB=13,BC=5,求sinA,cosA,tanA.【答案】sinA=,cosA=,tanA=【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度;然后利用锐角三角函数的定义解答.【详解】解∶ ∵Rt△ABC中,∠C=,若AB=13,BC=5,∴AC=12,∴sinA=;cosA=;tanA=【点睛】本题考查锐角三角函数的综合应用,熟练掌握锐角三角函数的意义和勾股定理的应用是解题关键.如图,在中,若,则( )A. B. C. D.【答案】A【分析】考查锐角三角函数的定义,熟练掌握正弦,余弦的定义是解题的关键.【详解】解:,,故选A.在中,,,,则的值是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用,利用正弦的定义求解即可.【详解】解:∵,,,∴.故选:B.在中, , ,则的值是( )A. B. C.2 D.【答案】B【分析】本题考查了同角三角函数的关系,先根据题意画出直角三角形,设,求出及,然后可得出的值.【详解】解:如图:∵,∴可以假设,,∴∴,故选:B.如图,在下面正方形网格中,按如图所示的位置摆放,则的值是( ) A. B. C. D.【答案】D【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义,根据网格所示信息,勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形,利用三角函数的定义解答.【详解】解:∵∴∴是等腰直角三角形,且,∴,故选:D.在中,,,则的值是()A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了同角三角函数的关系,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.根据已知先设,然后利用勾股定理求出,再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.【详解】∵,∴,∴设,∴,∴,故选:B.在中,,,,则的长为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】在直角三角形中,根据角的余弦值与三角形边的关系,即可得出结果.本题考查了解直角三角形,熟练掌握好边角之间的关系是解题关键.【详解】解:∵,∴,故选:C.已知,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意构造直角三角形,然后利用勾股定理求得斜边与直角边之间的关系式,最后利用余弦的定义即可求解.解题的关键是理解正切、余弦在直角三角形中的表达式.【详解】如图所示,依据题意建立直角三角形,其中则,,∴∴故选:C.在中,,,点D是边上一点,,,则 .【答案】6或【分析】此题主要考查了锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,勾股定理,过点D作于E,根据,可得出,设,则,在中,由勾股定理得构造关于k的方程并解出k,进而可求出,然后证和相似,最后利用相似三角形的性质可求出的长.【详解】解:过点D作于E,如图所示:∵,在中,,∴,设,由勾股定理得:,,,在中,,由勾股定理得:,即,整理得:,解得:,或,当时,,,,,,即,,当时,,同理:,即,.综上所述:或,故答案为:或.在中,,,,则 .【答案】【分析】本题考查锐角三角函数的定义,等腰直角三角形的判定,由,得出,从而得到,,再利用锐角三角函数求解.【详解】解:中,,,,,,,故答案为:.中,若,则的值为 .【答案】/【分析】本题主要考查了求角的正切值,勾股定理,先利用勾股定理求出,再根据正切的定义可得.【详解】解:∵中,,∴,∴,故答案为:.如图,的顶点都在正方形网格的格点上,则的值为 . 【答案】【分析】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值,掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键.利用网格构造直角三角形,再找到对应的直角边长,最后根据三角函数的意义求解即可.【详解】解:如图,过点作的延长线于点,∴在中,,,∴.故答案为:. 在中,,,,求的值.【答案】【分析】本题考查了锐角三角函数,勾股定理,掌握解直角三角形的基本知识是解答本题的关键.先根据正弦函数的定义求出,再利用勾股定理求出,最后根据正弦函数的定义求出,求出答案.【详解】解:在中,,,,,即....考点2 特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值1.图表记忆2.规律记忆30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1,,;30°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值。若是锐角,,则的值是( )A. B. C. D.1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值,根据是锐角,,得到,即可求的值.【详解】解:是锐角,,,,故选:B.已知在中,,,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】本题主要考查求特殊角的三角函数值,直接在直角三角形,利用两角互余可求的度数,直接求余弦值即可.【详解】解:在中;∵;∴;∴;即;故选:.下列各式中不正确的是( ).A. B. C. D. 【答案】B【分析】本题考查特殊角三角函数值及同角三角函数的关系,互余两角三角函数的关系.根据特殊角三角函数值及同角三角函数的关系,互余两角三角函数的关系解答即可.【详解】解:,,,,A、正确,符合同角三角函数的关系,不符合题意;B、错误,,符合题意;C、正确,符合同角三角函数的关系,不符合题意;D、正确,,,不符合题意.故选:B.能与相加得的是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查特殊角三角函数值,二次根式的加法运算,解题的关键是熟记特殊角三角函数值,得到的值,再和各选项所表示的数依次进行加法运算即可作出判断.【详解】解:∵,A.,故此选项不符合题意;B.,故此选项符合题意;C.,故此选项不符合题意;D.,故此选项不符合题意.故选:B.2cos60°的值等于( )A. B. C.2 D.1【答案】D【分析】本题考查了特殊角三角函数值,根据特殊角三角函数值,可得答案.【详解】解:.故选:D.在中,,,那么的值是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数,求特殊角三角函数值,根据正弦为的锐角是30度求出,再根据30度角的余弦值为即可得到答案.【详解】解:∵在中,,,∴,∴,故选B.在中,,,的值是( )A. B. C.1 D.【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和定理,特殊角的余弦值,由题意知,,根据,求解作答即可.【详解】解:由题意知,,∴,故选:B. 的值是( )A. B. C. D.1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.【详解】解:,故选:B.的值是( )A. B.1 C. D.【答案】A【分析】本题考查了特殊角三角函数值,根据特殊角的三角函数值可得答案.【详解】解:,故选:A.的值等于( )A.1 B. C. D.2【答案】B【分析】根据代入求解即可得到答案.【详解】解:由题意可得,,故选:B.若锐角满足,则锐角的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数值,以及余弦的性质,根据余弦值随着锐角度数的增大而减小,进行判断即可.【详解】解:∵,,∴;故选C.已知是锐角,且,那么 .【答案】【分析】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.根据特殊角三角函数值,可得答案.【详解】解:由为锐角,且,那么,∴,∴,故答案为:.在正方形网格中,A,B,C,D,E均为格点,则 .【答案】1【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理和特殊角三角函数值,解答本题的关键是利用数形结合的思想解答.根据题意,连接、,然后利用勾股定理的逆定理,可以判断的形状,从而可以求得的度数,再求出正切值即可.【详解】解:连接、,则,∵,∴,设小正方形的边长为1,则,,,∴,∴是等腰直角三角形,∴,即,∴,故答案为:1.计算:【答案】【分析】先计算特殊角三角函数值,再计算零指数幂,负整数指数幂和化简二次根式,再根据二次根式的加减计算法则求解即可.【详解】解:原式.【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值,零指数幂,负整数指数幂,化简二次根式等等,熟知相关计算法则是解题的关键.计算:.【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值,二次根式的性质,负整数指数幂公式,乘方计算即可,熟练掌握三角函数值,公式是解题的关键.【详解】.(1)计算:.(2)已知为锐角,,求的值.【答案】(1)6;(2)【分析】(1)先计算负整数指数幂,特殊角的三角函数值,绝对值,零次幂,再合并即可;(2)先解方程,可得,再把化为,再代入求值即可.【详解】解:(1);(2)∵,∴,∴或,解得:或,∵为锐角,∴,∴;【点睛】本题考查的是零次幂,负整数指数幂的含义,特殊角的三角函数值的混合运算,同角的三角函数之间的关系,掌握以上知识是解本题的关键.考点3 锐角三角函数的应用在中,若,则的形状是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度,绝对值的非负性,牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.【详解】解:∵∴,,解得:,,∴,∴是钝角三角形,故选B.如图,点在以为直径的上,与过点的切线垂直,垂足为点,交于点.(1)求证:平分;(2)连接交于点,若,求的值.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,根据切线的性质,证明,利用平行线的性质,等腰三角形的性质证明即可.(2)连接,根据,设,,根据勾股定理求得,利用,计算即可.【详解】(1)如图,连接,∵点在以为直径的上,与过点的切线垂直,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴平分.(2)如图,连接,∵,,∴设,,则,∴,∴,解得,,故,∴.【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数,熟练掌握圆的性质,切线的性质,三角函数是解题的关键.如图,点A在反比例函数的图像上,点B在反比例函数的图像上,,,则k的值等于( ) A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查反比例函数值的意义,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质.根据,设,则:,勾股定理求出,过点作轴,过点作轴,证明,根据反比例函数值的几何意义,以及相似三角形的面积比等于相似比的平方,进行求解即可.解题的关键是掌握值的几何意义,添加辅助线构造相似三角形.【详解】解:∵,,∴,∴设,则:,∴,∴,过点作轴,过点作轴, 则:,∵点A在反比例函数的图像上,点B在反比例函数的图像上,∴,,∵,∴,∴,∴,∴,∴;故选:B.如图内接于,弦,,则的半径为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【分析】本题考查了圆周角定理和解直角三角形,过作直径,连接,易得,根据圆周角定理得,则,结合三角函数的定义即可得到结论.正确的作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.【详解】解:过作直径,连接,∵为直径,∴,∵,∴,∵,∴,∴的半径为6,故选:D.如图,在四边形中,,,,对角线平分.,则的面积为 【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形,角平分线的性质,根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键.过点作,垂足为,利用角平分线的定义可得,求出的长度,利用勾股定理求出的长度,然后利用三角形的面积进行计算即可.【详解】解:过点作,垂足为,对角线平分.,,,,,,,,,,. 故答案为:.如图,已知,,,,则 .【答案】【分析】连接,证明,得到,求出的长,得到的长.【详解】解:如图,连接,在中,,,,,,,,,,在中,,,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,解直角三角形,特殊角三角函数值,直角三角形的性质,掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键,正确作出辅助线是重点.阅读理解:通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小,与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中,建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对.如图1,在中,,顶角的正对记作,这时底边腰.容易知道一个角的大小,与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解下列问题:(1)计算:______;(2)对于,的正对值的取值范围是______;(3)如(3)图,已知,,其中为锐角,试求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】本题是三角形综合题,主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点,理解新定义是解此题的关键.(1)先求出底角度数,判断出三角形为等边三角形,再根据正对定义解答即可;(2)求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可;(3)由,令,则,,在上取点,使,连接,作,为垂足,表示出的长,再计算出,最后由正对的定义即可求解.【详解】(1)解:根据正对定义可得:当顶角为时,等腰三角形底角为,则三角形为等边三角形,底边腰长,故答案为:1;(2)解:当接近时,底边长接近0,由定义知接近0,当接近时,等腰三角形的底接近腰的倍,由定义知接近,的正对值的取值范围是,故答案为:;(3)解:如图:在中,, 令,则,,在上取点,使,连接,作,为垂足,∴,,, .如图,在矩形中,过对角线的中点O作的垂线,分别交于点E、F,连接.(1)求证:;(2)若,求四边形的周长.【答案】(1)见解析(2)20【分析】(1)根据矩形的性质及全等三角形的判定证明即可;(2)根据全等三角形的性质得出,再由菱形的判定得出四边形是菱形.设,则,利用正切函数及勾股定理求解即可.【详解】(1)证明:∵四边形是矩形,∴,∴,∵点O是的中点,∴,∵,∴.(2)由(1)知,∴,∵四边形是矩形,∴,即,∴四边形是平行四边形,∵,∴四边形是菱形.设,则,在中,∴.∵,∴,解得:,∴四边形的周长为.【点睛】题目主要考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,勾股定理解三角形等,理解题意是解题关键.如图,AB是☉O的直径,AC是一条弦,D是弧AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,交☉O于点H,DB交AC于点G.(1)求证;AF=DF;(2)若AF=,sin∠B=,求☉O的半径.【答案】(1)见解析(2)☉O的半径为5【详解】(1)证明 ∵D是弧AC的中点,∴.∵AB⊥DH,且AB是☉O的直径,∴,∴.∴∠ADH=∠CAD,∴AF=DF.(2)解 ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠B=90°.∵∠DAE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠B,∴sin∠ADE=,tan∠ADE=.设AE=x,则DE=2x.∵DF=AF=,∴EF=2x-.∵AE2+EF2=AF2,∴x=2,∴AD==2,∴AB==10,∴☉O的半径为5.如图,的直径弦于点C,P是上的一点,延长交于点D,连接,且.(1)求证:;(2)若,的直径为10,求的值.【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理,垂径定理和解直角三角形等知识.(1)利用平行线的性质和圆周角定理可得出,然后利用等腰三角形的判定即可得证;(2)连接,利用垂径定理和圆周角定理可得出.然后在中,根据正弦定义求解,即可解答.【详解】(1)证明 ∵,∴.∵,∴,∴.(2)解 连接,如图,∵为的直径,∴.∵,∴,∴.在中, ,∴.如图,为的直径,C为延长线上一点,是的切线,D为切点,于点E,交于点F. (1)求证:;(2)若,,求的长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接,得到,结合求得,然后利用得到,从而得到,再利用得到,从而,最后得证结果;(2)根据三角形的中位线定理得到,设,,根据相似三角形的性质得到的长度,表示的长度,再利用勾股定理可得答案.【详解】(1)证明:如图,连接,则, ,是的切线,是的直径,,,,,,,,;(2),,∴,是的中位线,,,设,,则,∴,,,,,,,,∴,∵,∴,解得:(负根舍去),∴.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形,三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用,解题的关键是正确作出辅助线.综合与探究如图,在正方形中,E是边上一点,连接,于点F,连接,交于点G.(1)求证:.(2)若E为的中点.①求证:.②连接,若,求正方形的边长.【答案】(1)见解析(2)①见解析;②.【分析】(1)利用正方形的性质,垂直的性质,同角的余角相等,得到,利用四边形的内角和,邻补角的定义和同角的补角相等得到,利用相似三角形的判定定理即可得出结论;(2)①利用直角三角形的边角关系定理和(1)的结论得到,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等量代换即可得出结论;②过点作于点,设正方形的边长为,则,,利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得,,,再利用相似三角形的判定与性质求得,,最后在中,利用勾股定理列出方程,解方程即可得出结论.【详解】(1)证明:四边形为正方形,,.,,,,.四边形的内角和为,,.,,;(2)①证明:为中点,,,由(1)知:,,,,,为的中点,,,,;②解:过点作于点,如图,设正方形的边长为,则,,,设,则,,,,,,,.同理求得:,..,,∴,,,,,.,,,,,正方形的边长为.【点睛】本题主要考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质,垂直的性质,勾股定理,直角三角形的边角关系定理,熟练掌握正方形的性质是解题的关键.综合与实践如下图,在边长为1的正方形网格中,连接格点、和、,和相交于点,求的值.方法归纳:求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点,,可得,则,连接,那么就变换到中.数学思考(1)上图中______;(2)如下图,,,,四点均在边长为1的正方形网格的格点上,与相交于点,求的值. 深入探究(3)如下图,,,,,五点均在边长为1的正方形网格的格点上,交的延长线于点,求的值. 【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了平行线的性质,勾股定理及逆定理,平行四边形的判定,求一般角的三角函数值;(1)可证,从而可得,可得,由勾股定理、的长,由即可求解;(2)取格点,连接,,可证,从而可得,由勾股定理、的长,由即可求解;(3)取格点,连接,,可证,从而可得,判定是直角三角形,由即可求解;根据题意构建出适合的直角三角形是解题的关键.【详解】解:(1)、是正方形小方格的对角线,,,,由图得:,,,,;故答案:;(2)如图,取格点,连接,,由图得:,,,,,;(3)如图,取格点,连接,, ,,四边形是平行四边形,,,,,,,,,是直角三角形,.考点4 解直角三角形1.常见关系解直角三角形时的原则:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切;宁乘勿除,取原避中;化斜为直,方程相助。中,,,,解这个直角三角形.【答案】,,.【分析】利用勾股定理即可求得的长,然后利用三角函数求得的度数,然后根据直角三角形的两锐角互余即可求得的度数.本题考查了解直角三角形,正确理解直角三角形中的边角关系是关键.【详解】解:如图,在中,,,,∴,∵,∴,∴.如图,在中,,,,求的长及的余弦值.【答案】,【分析】本题考查了解直角三角形,在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素.通过,即可求解.【详解】解:在中,,,,,,.如图,在中,,,.(1)求的长;(2)求的面积(结果保留根号).【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.(1)过点A作,垂足为D,在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而求出的长;(2)利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长,从而求出的长,然后利用三角形的面积公式即可求出答案.【详解】(1)解:过点作于.在中,,,,∵在中,,;(2)∵在中,,,在中,根据勾股定理,,的面积.如图,在中,,点为的中点,于点,连接,已知. (1)若,求的长度;(2)若,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)先在中,利用正切的定义可得,利用勾股定理可得,从而可得,再在中,利用正切的定义求解即可得;(2)过点作于点,先求出,从而可得,再利用勾股定理可得,从而可得,然后利用勾股定理可得,最后在中,利用正弦的定义求解即可得.【详解】(1)解:,,,,∵点为的中点,,在中,.(2)解:如图,过点作于点, ,,,,∵点为的中点,,在中,,,,,则在中,.【点睛】本题考查了正切、正弦、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点,熟练掌握正切与正弦的概念是解题关键.如图,中,,,D是边的中点,连结. (1)已知,求的长;(2)求的值.【答案】(1);(2).【分析】本题考查了解直角三角形,掌握三角函数的定义是解题的关键.(1)根据题意设,则,利用勾股定理列式计算求得,据此求解即可;(2)作于,求得,利用余弦函数求得,再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可.【详解】(1)解:∵,,∴设,则,∵,即,解得,∴;(2)解:作于, 由(1)得,∵D是边的中点,∴,∵,∴,∴,∴,,∴.如图,在中,,,,,,交.求:(1)的长;(2)的值.【答案】(1)(2)1【分析】(1)由锐角三角函数定义求出,再由勾股定理求出的长即可;(2)先利用勾股定理求得,从而得到是等腰直角三角形,可求得,再求得,即可由特殊角三角函数值得出答案.【详解】(1)解:,,,,,;(2)解:,,由(1)知,由勾股定理得:,∴,∴是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∴,∴.【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊角三角函数值,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理.熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键.如图,在中,,,点D在边上,且.(1)求的长.(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【分析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理,(1)根据题意先求出的长,再根据勾股定理求得的长;(2)先求出的长,然后根据勾股定理可以得到的长,最后求出的值.解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.【详解】(1)在中,,∴,即,解得,∴;(2)∵,∴,∴在中, .∴.如图,是的中线, 求:(1)的长;(2)的正弦值.【答案】(1)6(2)【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是:(1)作于.在中,求出,在中,求出即可解决问题;(2)在中,求出,即可解决问题.【详解】(1)解:如图,作于. 在中,,,,,在中,,,.(2),,,,在中,.的正弦值为.如图,在△ABC中,,,,求的长. 【答案】【分析】过作于,则,在中,由,,求得,,根据三角形的内角和得到,在中,根据,再根据即可得到结论.【详解】解:如图,过作于,∴,∵在中,,,∴,,又∵在△ABC中,,,∴,在中,,∴,∴的长为. 【点睛】本题考查解直角三角形,特殊角三角函数,三角形内角和.熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键.如图,在中,,点为的中点,于点,连接.已知. (1)若,求的长度;(2)若,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据,得到中各边长的比值关系,计算出的长度,根据中点的性质得到的长度,最后再用计算出即可.(2)过点作于点,根据,,算出的长度,根据中点的性质得到的长度,就可以算出和的长度,得到的长度,勾股定理算出,即可得到结论.【详解】(1),,,,,∴,,点为的中点,.在中,,,.(2)过点作于点, ,,,,点为的中点,,在,,,,.由勾股定理得:,,【点睛】本题考查了解直角三角形,主要利用锐角三角函数值,勾股定理进行长度计算,理解锐角三角函数的含义,并能运用到题目中是解题关键.在中,,,为锐角且.(1)求的面积;(2)求的值;(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)过点作,根据的正切值确定的度数,再利用直角三角形的边角间关系求出、,最后利用三角形的面积公式算出的面积;(2)先利用线段的和差关系求出,然后在中利用勾股定理求出;(3)在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值.【详解】(1)解:过点作,垂足为,∴,∵为锐角且,∴,∴,∴,∴,在,∵,,∴,∵,∴.∴的面积为.(2)∵,,∴,在中,.∴的值为.(3)在中,,,∴.∴的值为.【点睛】本题主要考查解直角三角形,掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键.考点5 解直角三角形在实际问题中的应用2.测量物体高度的常见三角形模型(1)利用水平距离测量物体的高度()(2)测量底部可以到达的物体的高度()(3)测量底部不可达到的物体的高度()如图,当太阳光与地面上的树影成角时,树影投射在墙上的影高等于米,若树根到墙的距离等于米,则树高等于 米.【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用;作于,根据题意得 ,则,进而根据即可求解.【详解】解:作于,则,,根据题意得, ,.故答案为:如图,一学生站在A处,利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中点处,测得点与地面上A点,点处俯角分别为和,且,,.(点A,,,在同一平面内)(1)求无人机到地面的距离;(2)若,求大楼的高度.(结果精确到)(参考数据:,)【答案】(1)80(2)68.5【分析】本题考查的是矩形的判定与性质,解直角三角形的实际应用,理解仰角与俯角的含义是解本题的关键.(1)过点作,垂足为,设,即,列出方程,求出a的值,得出答案即可;(2)过点作,垂足为,先求出,从而求出,即可得答案.【详解】(1)过点作,垂足为,设,即,,,,,米离地面的高度为80米;(2)过点作,垂足为,由题意得:,,在中,,(米).某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角,点C处的俯角,线段的长为无人机距地面的高度,点D、B、C在同一条水平直线上,,米.(1)求无人机的飞行高度.(2)求河流的宽度.(参考数据:,,)【答案】(1)无人机的飞行高度为75米(2)河流的宽度为75米【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用,熟记俯角的含义是解本题的关键;(1)在中,有,再代入数据进行计算即可得到答案;(2)在中,有,先求解,从而可得答案.【详解】(1)解:由题意得:,∴..在中.,∵,米,∴(米),答:无人机的飞行高度为75米(2)在中,,∴(米),∴(米),答:河流的宽度为75米.如图,在斜坡上有一建成的基站塔,小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为,然后他沿坡面行走了50米到达D处,D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角.(点A,B,C,D,E均在同一平面内,为地平线)(参考数据:,,) (1)求坡面的坡度;(2)求基站塔的高.【答案】(1)(2)基站塔的高为17.5米【分析】本题主要考查解直角三角形,通过作垂线构造垂线构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算.(1)过点D作于点M,延长,交于点N,过点D作于点F.利用勾股定理即可求解.(2)设米,则米,米,表示出,再由锐角三角函数列出方程即可.【详解】(1)解:解:如图,过点D作于点M,延长,交于点N,过点D作于点F. (米),(米),(米)坡面的坡度为:;(2)解:设米,则米,米,,,米,米.在中,米,米,,,解得;(米),(米),.答:基站塔的高为17.5米.如图1,图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图,根据商品介绍,即,点B、F在线段上,支杆.(1)若时,B,D相距,试判定与的位置关系;(2)当时,求的长【答案】(1),理由见解答(2)的长为【分析】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.(1)连接,根据题意可得,然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形,即可解答;(2)过点作,垂足为,根据题意可得,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,再在中,利用勾股定理求出的长,进行计算即可解答.【详解】(1)解:,理由:连接,∵,∴,∵∴∴,∴是直角三角形,∴,∴;(2)过点作,垂足为,在中,,,∴的长为.如图为挖掘机某工作时刻的示意图,挖掘机的底座高米,大臂由和两部分构成,其中米,米,与的固定夹角,,此时测得大臂的前部与的夹角,小臂与地面的夹角.(参考数据:,,,).(1)求点C到地面的距离.(结果精确到米)(2)已知挖掘机A正前方米外为禁止施工路段,请通过计算说明此时控掘机挖掘的地方是否为禁止施工路段?(结果精确到米)【答案】(1)米(2)不是【分析】(1)本题考查解直角三角形的应用,过点C,D分别作,,F,M分别为垂足,再过点B,C分别作,,N,H为垂足,根据平行线得到,结合三角函数求解即可得到答案(2)本题考查解直角三角形的应用与等腰三角形的判定与性质,根据正余弦得到、,再证出为等腰直角三角形即可得到答案;【详解】(1)解:过点C,D分别作,,F,M分别为垂足,再过点B,C分别作,,N,H为垂足,如图所示:∵,,∴,∴,∵,∴,在中,,,∴(米),(米),∴(米),∴点C到地面AM的距离米;(2)解:∵,,,∴,,,∵,,,∴,在中,米,,,∴(米),(米),∴(米),∵,,∴为等腰直角三角形,∴(米),∴(米),∵,∴控掘机挖掘的地方不是禁止施工路段.某风景区,水竹亭在紫微阁的正南方向,两个景点被一座小山阻隔,计划在,之间修建一条直通景观隧道(如图).为测量,两点之间距离,在一条东西方向的公路上选择,两点分别观测,,已知点在点的北偏东42°方向上,点在点的北偏东30°方向上,米,米,试求,两点之间的距离.(参考数据:,,,其中)【答案】,之间的距离约为1962米.【分析】本题考查了解直角三角形的应用.在中,求得和的长,再在在中,利用正切函数的定义求解即可.【详解】延长交于,则,在中,,,,,,,,在中,,,(米),答:,之间的距离约为1962米.某海域上,码头处的海警同时接到处和处的求救信号,海警一组前往处,海警二组前往处,在的北偏东方向,在的南偏东方向,在的正南方向,海里.(1)求的距离(结果精确到0.1);(2)处的人员得到解救后,处还未完成解救任务,海警一组决定前往处协助二组完成任务,若海警一组的快艇速度为每小时65海里,问海警一组能否在15分钟内到达处?请说明理由.(参考数据:)【答案】(1)(海里);(2)海警一组能在15分钟内到达处,理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形知识的应用.(1)作于E,根据角所对直角边等于斜边一半得出,再证明是等腰直角三角形即可得出结论;(3)根据勾股定理求出,从而可得的长,再由路程除以速度得出海警一组的时间,再与15分钟进行比较即可.【详解】(1)作于E,如图,根据题意得,,∴∴(海里)∴(海里)∴(海里);(2)在中,∴(海里);∴(海里);∴海警一组到达处所需时间为:(分钟),所以,海警一组能在15分钟内到达处.某体育场有一个垂直于底面的旗杆,其旁边有一个坡面,经测量发现,坡比,长为2米,小明在点测得旗杆顶点的仰角为19.2°,在点处测得旗杆顶点的仰角为45°,且三点在同一条水平线上,求旗杆的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:)【答案】米【分析】此题考查解直角三角形的应用,矩形的性质,锐角三角函数的定义,过点作于点,设,根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案.【详解】解:过点作于点,如图:,坡面的坡比,即,,设米,,,米,四边形是矩形,,,,在中,,,即:解得:(米),(米)为了方便市民出行,建委决定对某街道一条斜坡进行改造,计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的,已知米,点,,,,,在同一平面内.(1)求的距离;(结果保留根号)(2)一辆货车沿斜坡从处行驶到处,货车的高为米,,若米,求此时货车顶端到水平线的距离.(精确到米,参考数据:,)【答案】(1)(2)米【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题;(1)过点作,交的延长线于点,在中,利用锐角三角函数的定义求出和的长,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答;(2)延长交于点,根据题意可得:,,从而可得,,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得,再根据垂直定义可得,从而在中,利用锐角三角函数的定义求出和的长,进而求出的长,最后在中,利用含度角的直角三角形的性质求出的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.【详解】(1)解:过点作,交的延长线于点,在中,米,,米,米,在中,,米,米,的距离为米;(2)延长交于点,由题意得:,,,,,,,,在中,米,米,米,米,米,在中,,米,米,此时货车顶端到水平线的距离约为米.如图,甲、乙两队同时从A点出发,相约去河对面的公园D游玩.甲队选择的线路为,其中在段划船过河;乙队选择的线路为,其中在段乘坐游船过河.已知四边形为矩形,A、B、C三点在同一直线上,长为米,,,.(1)求D到的距离;(结果精确到个位)(2)甲、乙两队在陆地上都是步行,且步行速度均为.已知甲队划船的速度为,乙队游船的速度为,若长为米,请通过计算说明哪一队先到达公园D?(参考数据:,,,,)【答案】(1);(2)甲队先到达公园D【分析】本题考查了矩形的性质,解直角三角形的应用,实数的混合运算,灵活运用锐角三角函数是解题关键.(1)过点作于点,利用锐角三角函数,分别求得,,,即可得出D到的距离;(2)由(1)可知,,,,结合甲、乙两队步行和划船的速度,分别求出两队所用时间,即可得到答案.【详解】(1)解:如图,过点作于点,四边形为矩形,,,,,,,,,,,,,,,,即D到的距离;(2)解:,,由(1)可知,,,,,甲、乙两队在陆地上都是步行,且步行速度均为.甲队划船的速度为,乙队游船的速度为,甲队所用时间,乙队所用时间,,甲队先到达公园D.如图,一座古塔座落在小山上(塔顶记作点,其正下方水平面上的点记作点),小李站在附近的水平地面上,他想知道自己到古塔的水平距离,便利用无人机进行测量,但由于某些原因,无人机无法直接飞到塔顶进行测量,因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°,点A,B,C,O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处,再调整飞行方向,继续匀速飞行8秒到达塔顶,已知无人机的速度为5米/秒,,求小李到古塔的水平距离即的长. (结果精确到,参考数据:)【答案】21【分析】过点O作,交的延长线于点D,过点O作,垂足为E,根据题意可得:米,米,,,从而可得,进而可得,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,再在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而求出的长,最后利用线段的和差关系进行计算,即可解答.本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.【详解】解:过点O作,交的延长线于点D,过点O作,垂足为E,由题意得:(米),(米),,∴,∵,∴,在中, (米),在中,(米),∴(米),∴(米),∴小李到古塔的水平距离即的长约为21米.三边关系 (勾股定理)两锐角间关系 边角关系 面积关系 三角函数图形记忆30°45°60°1三边关系 (勾股定理)两锐角间关系 边角关系 面积关系 概念定义图形俯角、仰角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= .方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向).
第二十八章 锐角三角函数考点大梳理考点1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义常见关系解直角三角形时的原则:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切;宁乘勿除,取原避中;化斜为直,方程相助。在Rt△ABC中,∠C=,AB=13,BC=5,求sinA,cosA,tanA.【答案】sinA=,cosA=,tanA=【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度;然后利用锐角三角函数的定义解答.【详解】解∶ ∵Rt△ABC中,∠C=,若AB=13,BC=5,∴AC=12,∴sinA=;cosA=;tanA=【点睛】本题考查锐角三角函数的综合应用,熟练掌握锐角三角函数的意义和勾股定理的应用是解题关键.如图,在中,若,则( )A. B. C. D.【答案】A【分析】考查锐角三角函数的定义,熟练掌握正弦,余弦的定义是解题的关键.【详解】解:,,故选A.在中,,,,则的值是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用,利用正弦的定义求解即可.【详解】解:∵,,,∴.故选:B.在中, , ,则的值是( )A. B. C.2 D.【答案】B【分析】本题考查了同角三角函数的关系,先根据题意画出直角三角形,设,求出及,然后可得出的值.【详解】解:如图:∵,∴可以假设,,∴∴,故选:B.如图,在下面正方形网格中,按如图所示的位置摆放,则的值是( ) A. B. C. D.【答案】D【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义,根据网格所示信息,勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形,利用三角函数的定义解答.【详解】解:∵∴∴是等腰直角三角形,且,∴,故选:D.在中,,,则的值是()A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了同角三角函数的关系,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.根据已知先设,然后利用勾股定理求出,再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.【详解】∵,∴,∴设,∴,∴,故选:B.在中,,,,则的长为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】在直角三角形中,根据角的余弦值与三角形边的关系,即可得出结果.本题考查了解直角三角形,熟练掌握好边角之间的关系是解题关键.【详解】解:∵,∴,故选:C.已知,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意构造直角三角形,然后利用勾股定理求得斜边与直角边之间的关系式,最后利用余弦的定义即可求解.解题的关键是理解正切、余弦在直角三角形中的表达式.【详解】如图所示,依据题意建立直角三角形,其中则,,∴∴故选:C.在中,,,点D是边上一点,,,则 .【答案】6或【分析】此题主要考查了锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,勾股定理,过点D作于E,根据,可得出,设,则,在中,由勾股定理得构造关于k的方程并解出k,进而可求出,然后证和相似,最后利用相似三角形的性质可求出的长.【详解】解:过点D作于E,如图所示:∵,在中,,∴,设,由勾股定理得:,,,在中,,由勾股定理得:,即,整理得:,解得:,或,当时,,,,,,即,,当时,,同理:,即,.综上所述:或,故答案为:或.在中,,,,则 .【答案】【分析】本题考查锐角三角函数的定义,等腰直角三角形的判定,由,得出,从而得到,,再利用锐角三角函数求解.【详解】解:中,,,,,,,故答案为:.中,若,则的值为 .【答案】/【分析】本题主要考查了求角的正切值,勾股定理,先利用勾股定理求出,再根据正切的定义可得.【详解】解:∵中,,∴,∴,故答案为:.如图,的顶点都在正方形网格的格点上,则的值为 . 【答案】【分析】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值,掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键.利用网格构造直角三角形,再找到对应的直角边长,最后根据三角函数的意义求解即可.【详解】解:如图,过点作的延长线于点,∴在中,,,∴.故答案为:. 在中,,,,求的值.【答案】【分析】本题考查了锐角三角函数,勾股定理,掌握解直角三角形的基本知识是解答本题的关键.先根据正弦函数的定义求出,再利用勾股定理求出,最后根据正弦函数的定义求出,求出答案.【详解】解:在中,,,,,即....考点2 特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值1.图表记忆2.规律记忆30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1,,;30°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值。若是锐角,,则的值是( )A. B. C. D.1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值,根据是锐角,,得到,即可求的值.【详解】解:是锐角,,,,故选:B.已知在中,,,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】本题主要考查求特殊角的三角函数值,直接在直角三角形,利用两角互余可求的度数,直接求余弦值即可.【详解】解:在中;∵;∴;∴;即;故选:.下列各式中不正确的是( ).A. B. C. D. 【答案】B【分析】本题考查特殊角三角函数值及同角三角函数的关系,互余两角三角函数的关系.根据特殊角三角函数值及同角三角函数的关系,互余两角三角函数的关系解答即可.【详解】解:,,,,A、正确,符合同角三角函数的关系,不符合题意;B、错误,,符合题意;C、正确,符合同角三角函数的关系,不符合题意;D、正确,,,不符合题意.故选:B.能与相加得的是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查特殊角三角函数值,二次根式的加法运算,解题的关键是熟记特殊角三角函数值,得到的值,再和各选项所表示的数依次进行加法运算即可作出判断.【详解】解:∵,A.,故此选项不符合题意;B.,故此选项符合题意;C.,故此选项不符合题意;D.,故此选项不符合题意.故选:B.2cos60°的值等于( )A. B. C.2 D.1【答案】D【分析】本题考查了特殊角三角函数值,根据特殊角三角函数值,可得答案.【详解】解:.故选:D.在中,,,那么的值是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数,求特殊角三角函数值,根据正弦为的锐角是30度求出,再根据30度角的余弦值为即可得到答案.【详解】解:∵在中,,,∴,∴,故选B.在中,,,的值是( )A. B. C.1 D.【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和定理,特殊角的余弦值,由题意知,,根据,求解作答即可.【详解】解:由题意知,,∴,故选:B. 的值是( )A. B. C. D.1【答案】B【分析】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.【详解】解:,故选:B.的值是( )A. B.1 C. D.【答案】A【分析】本题考查了特殊角三角函数值,根据特殊角的三角函数值可得答案.【详解】解:,故选:A.的值等于( )A.1 B. C. D.2【答案】B【分析】根据代入求解即可得到答案.【详解】解:由题意可得,,故选:B.若锐角满足,则锐角的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数值,以及余弦的性质,根据余弦值随着锐角度数的增大而减小,进行判断即可.【详解】解:∵,,∴;故选C.已知是锐角,且,那么 .【答案】【分析】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.根据特殊角三角函数值,可得答案.【详解】解:由为锐角,且,那么,∴,∴,故答案为:.在正方形网格中,A,B,C,D,E均为格点,则 .【答案】1【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理和特殊角三角函数值,解答本题的关键是利用数形结合的思想解答.根据题意,连接、,然后利用勾股定理的逆定理,可以判断的形状,从而可以求得的度数,再求出正切值即可.【详解】解:连接、,则,∵,∴,设小正方形的边长为1,则,,,∴,∴是等腰直角三角形,∴,即,∴,故答案为:1.计算:【答案】【分析】先计算特殊角三角函数值,再计算零指数幂,负整数指数幂和化简二次根式,再根据二次根式的加减计算法则求解即可.【详解】解:原式.【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值,零指数幂,负整数指数幂,化简二次根式等等,熟知相关计算法则是解题的关键.计算:.【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值,二次根式的性质,负整数指数幂公式,乘方计算即可,熟练掌握三角函数值,公式是解题的关键.【详解】.(1)计算:.(2)已知为锐角,,求的值.【答案】(1)6;(2)【分析】(1)先计算负整数指数幂,特殊角的三角函数值,绝对值,零次幂,再合并即可;(2)先解方程,可得,再把化为,再代入求值即可.【详解】解:(1);(2)∵,∴,∴或,解得:或,∵为锐角,∴,∴;【点睛】本题考查的是零次幂,负整数指数幂的含义,特殊角的三角函数值的混合运算,同角的三角函数之间的关系,掌握以上知识是解本题的关键.考点3 锐角三角函数的应用在中,若,则的形状是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度,绝对值的非负性,牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.【详解】解:∵∴,,解得:,,∴,∴是钝角三角形,故选B.如图,点在以为直径的上,与过点的切线垂直,垂足为点,交于点.(1)求证:平分;(2)连接交于点,若,求的值.【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)连接,根据切线的性质,证明,利用平行线的性质,等腰三角形的性质证明即可.(2)连接,根据,设,,根据勾股定理求得,利用,计算即可.【详解】(1)如图,连接,∵点在以为直径的上,与过点的切线垂直,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴平分.(2)如图,连接,∵,,∴设,,则,∴,∴,解得,,故,∴.【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数,熟练掌握圆的性质,切线的性质,三角函数是解题的关键.如图,点A在反比例函数的图像上,点B在反比例函数的图像上,,,则k的值等于( ) A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查反比例函数值的意义,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质.根据,设,则:,勾股定理求出,过点作轴,过点作轴,证明,根据反比例函数值的几何意义,以及相似三角形的面积比等于相似比的平方,进行求解即可.解题的关键是掌握值的几何意义,添加辅助线构造相似三角形.【详解】解:∵,,∴,∴设,则:,∴,∴,过点作轴,过点作轴, 则:,∵点A在反比例函数的图像上,点B在反比例函数的图像上,∴,,∵,∴,∴,∴,∴,∴;故选:B.如图内接于,弦,,则的半径为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【分析】本题考查了圆周角定理和解直角三角形,过作直径,连接,易得,根据圆周角定理得,则,结合三角函数的定义即可得到结论.正确的作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.【详解】解:过作直径,连接,∵为直径,∴,∵,∴,∵,∴,∴的半径为6,故选:D.如图,在四边形中,,,,对角线平分.,则的面积为 【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形,角平分线的性质,根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键.过点作,垂足为,利用角平分线的定义可得,求出的长度,利用勾股定理求出的长度,然后利用三角形的面积进行计算即可.【详解】解:过点作,垂足为,对角线平分.,,,,,,,,,,. 故答案为:.如图,已知,,,,则 .【答案】【分析】连接,证明,得到,求出的长,得到的长.【详解】解:如图,连接,在中,,,,,,,,,,在中,,,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,解直角三角形,特殊角三角函数值,直角三角形的性质,掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键,正确作出辅助线是重点.阅读理解:通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小,与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中,建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对.如图1,在中,,顶角的正对记作,这时底边腰.容易知道一个角的大小,与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解下列问题:(1)计算:______;(2)对于,的正对值的取值范围是______;(3)如(3)图,已知,,其中为锐角,试求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】本题是三角形综合题,主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点,理解新定义是解此题的关键.(1)先求出底角度数,判断出三角形为等边三角形,再根据正对定义解答即可;(2)求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可;(3)由,令,则,,在上取点,使,连接,作,为垂足,表示出的长,再计算出,最后由正对的定义即可求解.【详解】(1)解:根据正对定义可得:当顶角为时,等腰三角形底角为,则三角形为等边三角形,底边腰长,故答案为:1;(2)解:当接近时,底边长接近0,由定义知接近0,当接近时,等腰三角形的底接近腰的倍,由定义知接近,的正对值的取值范围是,故答案为:;(3)解:如图:在中,, 令,则,,在上取点,使,连接,作,为垂足,∴,,, .如图,在矩形中,过对角线的中点O作的垂线,分别交于点E、F,连接.(1)求证:;(2)若,求四边形的周长.【答案】(1)见解析(2)20【分析】(1)根据矩形的性质及全等三角形的判定证明即可;(2)根据全等三角形的性质得出,再由菱形的判定得出四边形是菱形.设,则,利用正切函数及勾股定理求解即可.【详解】(1)证明:∵四边形是矩形,∴,∴,∵点O是的中点,∴,∵,∴.(2)由(1)知,∴,∵四边形是矩形,∴,即,∴四边形是平行四边形,∵,∴四边形是菱形.设,则,在中,∴.∵,∴,解得:,∴四边形的周长为.【点睛】题目主要考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,勾股定理解三角形等,理解题意是解题关键.如图,AB是☉O的直径,AC是一条弦,D是弧AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,交☉O于点H,DB交AC于点G.(1)求证;AF=DF;(2)若AF=,sin∠B=,求☉O的半径.【答案】(1)见解析(2)☉O的半径为5【详解】(1)证明 ∵D是弧AC的中点,∴.∵AB⊥DH,且AB是☉O的直径,∴,∴.∴∠ADH=∠CAD,∴AF=DF.(2)解 ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠B=90°.∵∠DAE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠B,∴sin∠ADE=,tan∠ADE=.设AE=x,则DE=2x.∵DF=AF=,∴EF=2x-.∵AE2+EF2=AF2,∴x=2,∴AD==2,∴AB==10,∴☉O的半径为5.如图,的直径弦于点C,P是上的一点,延长交于点D,连接,且.(1)求证:;(2)若,的直径为10,求的值.【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理,垂径定理和解直角三角形等知识.(1)利用平行线的性质和圆周角定理可得出,然后利用等腰三角形的判定即可得证;(2)连接,利用垂径定理和圆周角定理可得出.然后在中,根据正弦定义求解,即可解答.【详解】(1)证明 ∵,∴.∵,∴,∴.(2)解 连接,如图,∵为的直径,∴.∵,∴,∴.在中, ,∴.如图,为的直径,C为延长线上一点,是的切线,D为切点,于点E,交于点F. (1)求证:;(2)若,,求的长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接,得到,结合求得,然后利用得到,从而得到,再利用得到,从而,最后得证结果;(2)根据三角形的中位线定理得到,设,,根据相似三角形的性质得到的长度,表示的长度,再利用勾股定理可得答案.【详解】(1)证明:如图,连接,则, ,是的切线,是的直径,,,,,,,,;(2),,∴,是的中位线,,,设,,则,∴,,,,,,,,∴,∵,∴,解得:(负根舍去),∴.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形,三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质,勾股定理的应用,解题的关键是正确作出辅助线.综合与探究如图,在正方形中,E是边上一点,连接,于点F,连接,交于点G.(1)求证:.(2)若E为的中点.①求证:.②连接,若,求正方形的边长.【答案】(1)见解析(2)①见解析;②.【分析】(1)利用正方形的性质,垂直的性质,同角的余角相等,得到,利用四边形的内角和,邻补角的定义和同角的补角相等得到,利用相似三角形的判定定理即可得出结论;(2)①利用直角三角形的边角关系定理和(1)的结论得到,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等量代换即可得出结论;②过点作于点,设正方形的边长为,则,,利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得,,,再利用相似三角形的判定与性质求得,,最后在中,利用勾股定理列出方程,解方程即可得出结论.【详解】(1)证明:四边形为正方形,,.,,,,.四边形的内角和为,,.,,;(2)①证明:为中点,,,由(1)知:,,,,,为的中点,,,,;②解:过点作于点,如图,设正方形的边长为,则,,,设,则,,,,,,,.同理求得:,..,,∴,,,,,.,,,,,正方形的边长为.【点睛】本题主要考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质,垂直的性质,勾股定理,直角三角形的边角关系定理,熟练掌握正方形的性质是解题的关键.综合与实践如下图,在边长为1的正方形网格中,连接格点、和、,和相交于点,求的值.方法归纳:求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点,,可得,则,连接,那么就变换到中.数学思考(1)上图中______;(2)如下图,,,,四点均在边长为1的正方形网格的格点上,与相交于点,求的值. 深入探究(3)如下图,,,,,五点均在边长为1的正方形网格的格点上,交的延长线于点,求的值. 【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了平行线的性质,勾股定理及逆定理,平行四边形的判定,求一般角的三角函数值;(1)可证,从而可得,可得,由勾股定理、的长,由即可求解;(2)取格点,连接,,可证,从而可得,由勾股定理、的长,由即可求解;(3)取格点,连接,,可证,从而可得,判定是直角三角形,由即可求解;根据题意构建出适合的直角三角形是解题的关键.【详解】解:(1)、是正方形小方格的对角线,,,,由图得:,,,,;故答案:;(2)如图,取格点,连接,,由图得:,,,,,;(3)如图,取格点,连接,, ,,四边形是平行四边形,,,,,,,,,是直角三角形,.考点4 解直角三角形1.常见关系解直角三角形时的原则:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切;宁乘勿除,取原避中;化斜为直,方程相助。中,,,,解这个直角三角形.【答案】,,.【分析】利用勾股定理即可求得的长,然后利用三角函数求得的度数,然后根据直角三角形的两锐角互余即可求得的度数.本题考查了解直角三角形,正确理解直角三角形中的边角关系是关键.【详解】解:如图,在中,,,,∴,∵,∴,∴.如图,在中,,,,求的长及的余弦值.【答案】,【分析】本题考查了解直角三角形,在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素.通过,即可求解.【详解】解:在中,,,,,,.如图,在中,,,.(1)求的长;(2)求的面积(结果保留根号).【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.(1)过点A作,垂足为D,在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而求出的长;(2)利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长,从而求出的长,然后利用三角形的面积公式即可求出答案.【详解】(1)解:过点作于.在中,,,,∵在中,,;(2)∵在中,,,在中,根据勾股定理,,的面积.如图,在中,,点为的中点,于点,连接,已知. (1)若,求的长度;(2)若,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)先在中,利用正切的定义可得,利用勾股定理可得,从而可得,再在中,利用正切的定义求解即可得;(2)过点作于点,先求出,从而可得,再利用勾股定理可得,从而可得,然后利用勾股定理可得,最后在中,利用正弦的定义求解即可得.【详解】(1)解:,,,,∵点为的中点,,在中,.(2)解:如图,过点作于点, ,,,,∵点为的中点,,在中,,,,,则在中,.【点睛】本题考查了正切、正弦、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点,熟练掌握正切与正弦的概念是解题关键.如图,中,,,D是边的中点,连结. (1)已知,求的长;(2)求的值.【答案】(1);(2).【分析】本题考查了解直角三角形,掌握三角函数的定义是解题的关键.(1)根据题意设,则,利用勾股定理列式计算求得,据此求解即可;(2)作于,求得,利用余弦函数求得,再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可.【详解】(1)解:∵,,∴设,则,∵,即,解得,∴;(2)解:作于, 由(1)得,∵D是边的中点,∴,∵,∴,∴,∴,,∴.如图,在中,,,,,,交.求:(1)的长;(2)的值.【答案】(1)(2)1【分析】(1)由锐角三角函数定义求出,再由勾股定理求出的长即可;(2)先利用勾股定理求得,从而得到是等腰直角三角形,可求得,再求得,即可由特殊角三角函数值得出答案.【详解】(1)解:,,,,,;(2)解:,,由(1)知,由勾股定理得:,∴,∴是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∴,∴.【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊角三角函数值,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理.熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键.如图,在中,,,点D在边上,且.(1)求的长.(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【分析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理,(1)根据题意先求出的长,再根据勾股定理求得的长;(2)先求出的长,然后根据勾股定理可以得到的长,最后求出的值.解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.【详解】(1)在中,,∴,即,解得,∴;(2)∵,∴,∴在中, .∴.如图,是的中线, 求:(1)的长;(2)的正弦值.【答案】(1)6(2)【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识,解题的关键是:(1)作于.在中,求出,在中,求出即可解决问题;(2)在中,求出,即可解决问题.【详解】(1)解:如图,作于. 在中,,,,,在中,,,.(2),,,,在中,.的正弦值为.如图,在△ABC中,,,,求的长. 【答案】【分析】过作于,则,在中,由,,求得,,根据三角形的内角和得到,在中,根据,再根据即可得到结论.【详解】解:如图,过作于,∴,∵在中,,,∴,,又∵在△ABC中,,,∴,在中,,∴,∴的长为. 【点睛】本题考查解直角三角形,特殊角三角函数,三角形内角和.熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键.如图,在中,,点为的中点,于点,连接.已知. (1)若,求的长度;(2)若,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据,得到中各边长的比值关系,计算出的长度,根据中点的性质得到的长度,最后再用计算出即可.(2)过点作于点,根据,,算出的长度,根据中点的性质得到的长度,就可以算出和的长度,得到的长度,勾股定理算出,即可得到结论.【详解】(1),,,,,∴,,点为的中点,.在中,,,.(2)过点作于点, ,,,,点为的中点,,在,,,,.由勾股定理得:,,【点睛】本题考查了解直角三角形,主要利用锐角三角函数值,勾股定理进行长度计算,理解锐角三角函数的含义,并能运用到题目中是解题关键.在中,,,为锐角且.(1)求的面积;(2)求的值;(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)过点作,根据的正切值确定的度数,再利用直角三角形的边角间关系求出、,最后利用三角形的面积公式算出的面积;(2)先利用线段的和差关系求出,然后在中利用勾股定理求出;(3)在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值.【详解】(1)解:过点作,垂足为,∴,∵为锐角且,∴,∴,∴,∴,在,∵,,∴,∵,∴.∴的面积为.(2)∵,,∴,在中,.∴的值为.(3)在中,,,∴.∴的值为.【点睛】本题主要考查解直角三角形,掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键.考点5 解直角三角形在实际问题中的应用2.测量物体高度的常见三角形模型(1)利用水平距离测量物体的高度()(2)测量底部可以到达的物体的高度()(3)测量底部不可达到的物体的高度()如图,当太阳光与地面上的树影成角时,树影投射在墙上的影高等于米,若树根到墙的距离等于米,则树高等于 米.【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用;作于,根据题意得 ,则,进而根据即可求解.【详解】解:作于,则,,根据题意得, ,.故答案为:如图,一学生站在A处,利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中点处,测得点与地面上A点,点处俯角分别为和,且,,.(点A,,,在同一平面内)(1)求无人机到地面的距离;(2)若,求大楼的高度.(结果精确到)(参考数据:,)【答案】(1)80(2)68.5【分析】本题考查的是矩形的判定与性质,解直角三角形的实际应用,理解仰角与俯角的含义是解本题的关键.(1)过点作,垂足为,设,即,列出方程,求出a的值,得出答案即可;(2)过点作,垂足为,先求出,从而求出,即可得答案.【详解】(1)过点作,垂足为,设,即,,,,,米离地面的高度为80米;(2)过点作,垂足为,由题意得:,,在中,,(米).某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角,点C处的俯角,线段的长为无人机距地面的高度,点D、B、C在同一条水平直线上,,米.(1)求无人机的飞行高度.(2)求河流的宽度.(参考数据:,,)【答案】(1)无人机的飞行高度为75米(2)河流的宽度为75米【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用,熟记俯角的含义是解本题的关键;(1)在中,有,再代入数据进行计算即可得到答案;(2)在中,有,先求解,从而可得答案.【详解】(1)解:由题意得:,∴..在中.,∵,米,∴(米),答:无人机的飞行高度为75米(2)在中,,∴(米),∴(米),答:河流的宽度为75米.如图,在斜坡上有一建成的基站塔,小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为,然后他沿坡面行走了50米到达D处,D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角.(点A,B,C,D,E均在同一平面内,为地平线)(参考数据:,,) (1)求坡面的坡度;(2)求基站塔的高.【答案】(1)(2)基站塔的高为17.5米【分析】本题主要考查解直角三角形,通过作垂线构造垂线构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算.(1)过点D作于点M,延长,交于点N,过点D作于点F.利用勾股定理即可求解.(2)设米,则米,米,表示出,再由锐角三角函数列出方程即可.【详解】(1)解:解:如图,过点D作于点M,延长,交于点N,过点D作于点F. (米),(米),(米)坡面的坡度为:;(2)解:设米,则米,米,,,米,米.在中,米,米,,,解得;(米),(米),.答:基站塔的高为17.5米.如图1,图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图,根据商品介绍,即,点B、F在线段上,支杆.(1)若时,B,D相距,试判定与的位置关系;(2)当时,求的长【答案】(1),理由见解答(2)的长为【分析】本题考查了解直角三角形的应用,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.(1)连接,根据题意可得,然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形,即可解答;(2)过点作,垂足为,根据题意可得,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,再在中,利用勾股定理求出的长,进行计算即可解答.【详解】(1)解:,理由:连接,∵,∴,∵∴∴,∴是直角三角形,∴,∴;(2)过点作,垂足为,在中,,,∴的长为.如图为挖掘机某工作时刻的示意图,挖掘机的底座高米,大臂由和两部分构成,其中米,米,与的固定夹角,,此时测得大臂的前部与的夹角,小臂与地面的夹角.(参考数据:,,,).(1)求点C到地面的距离.(结果精确到米)(2)已知挖掘机A正前方米外为禁止施工路段,请通过计算说明此时控掘机挖掘的地方是否为禁止施工路段?(结果精确到米)【答案】(1)米(2)不是【分析】(1)本题考查解直角三角形的应用,过点C,D分别作,,F,M分别为垂足,再过点B,C分别作,,N,H为垂足,根据平行线得到,结合三角函数求解即可得到答案(2)本题考查解直角三角形的应用与等腰三角形的判定与性质,根据正余弦得到、,再证出为等腰直角三角形即可得到答案;【详解】(1)解:过点C,D分别作,,F,M分别为垂足,再过点B,C分别作,,N,H为垂足,如图所示:∵,,∴,∴,∵,∴,在中,,,∴(米),(米),∴(米),∴点C到地面AM的距离米;(2)解:∵,,,∴,,,∵,,,∴,在中,米,,,∴(米),(米),∴(米),∵,,∴为等腰直角三角形,∴(米),∴(米),∵,∴控掘机挖掘的地方不是禁止施工路段.某风景区,水竹亭在紫微阁的正南方向,两个景点被一座小山阻隔,计划在,之间修建一条直通景观隧道(如图).为测量,两点之间距离,在一条东西方向的公路上选择,两点分别观测,,已知点在点的北偏东42°方向上,点在点的北偏东30°方向上,米,米,试求,两点之间的距离.(参考数据:,,,其中)【答案】,之间的距离约为1962米.【分析】本题考查了解直角三角形的应用.在中,求得和的长,再在在中,利用正切函数的定义求解即可.【详解】延长交于,则,在中,,,,,,,,在中,,,(米),答:,之间的距离约为1962米.某海域上,码头处的海警同时接到处和处的求救信号,海警一组前往处,海警二组前往处,在的北偏东方向,在的南偏东方向,在的正南方向,海里.(1)求的距离(结果精确到0.1);(2)处的人员得到解救后,处还未完成解救任务,海警一组决定前往处协助二组完成任务,若海警一组的快艇速度为每小时65海里,问海警一组能否在15分钟内到达处?请说明理由.(参考数据:)【答案】(1)(海里);(2)海警一组能在15分钟内到达处,理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形知识的应用.(1)作于E,根据角所对直角边等于斜边一半得出,再证明是等腰直角三角形即可得出结论;(3)根据勾股定理求出,从而可得的长,再由路程除以速度得出海警一组的时间,再与15分钟进行比较即可.【详解】(1)作于E,如图,根据题意得,,∴∴(海里)∴(海里)∴(海里);(2)在中,∴(海里);∴(海里);∴海警一组到达处所需时间为:(分钟),所以,海警一组能在15分钟内到达处.某体育场有一个垂直于底面的旗杆,其旁边有一个坡面,经测量发现,坡比,长为2米,小明在点测得旗杆顶点的仰角为19.2°,在点处测得旗杆顶点的仰角为45°,且三点在同一条水平线上,求旗杆的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:)【答案】米【分析】此题考查解直角三角形的应用,矩形的性质,锐角三角函数的定义,过点作于点,设,根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案.【详解】解:过点作于点,如图:,坡面的坡比,即,,设米,,,米,四边形是矩形,,,,在中,,,即:解得:(米),(米)为了方便市民出行,建委决定对某街道一条斜坡进行改造,计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的,已知米,点,,,,,在同一平面内.(1)求的距离;(结果保留根号)(2)一辆货车沿斜坡从处行驶到处,货车的高为米,,若米,求此时货车顶端到水平线的距离.(精确到米,参考数据:,)【答案】(1)(2)米【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题;(1)过点作,交的延长线于点,在中,利用锐角三角函数的定义求出和的长,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答;(2)延长交于点,根据题意可得:,,从而可得,,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得,再根据垂直定义可得,从而在中,利用锐角三角函数的定义求出和的长,进而求出的长,最后在中,利用含度角的直角三角形的性质求出的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.【详解】(1)解:过点作,交的延长线于点,在中,米,,米,米,在中,,米,米,的距离为米;(2)延长交于点,由题意得:,,,,,,,,在中,米,米,米,米,米,在中,,米,米,此时货车顶端到水平线的距离约为米.如图,甲、乙两队同时从A点出发,相约去河对面的公园D游玩.甲队选择的线路为,其中在段划船过河;乙队选择的线路为,其中在段乘坐游船过河.已知四边形为矩形,A、B、C三点在同一直线上,长为米,,,.(1)求D到的距离;(结果精确到个位)(2)甲、乙两队在陆地上都是步行,且步行速度均为.已知甲队划船的速度为,乙队游船的速度为,若长为米,请通过计算说明哪一队先到达公园D?(参考数据:,,,,)【答案】(1);(2)甲队先到达公园D【分析】本题考查了矩形的性质,解直角三角形的应用,实数的混合运算,灵活运用锐角三角函数是解题关键.(1)过点作于点,利用锐角三角函数,分别求得,,,即可得出D到的距离;(2)由(1)可知,,,,结合甲、乙两队步行和划船的速度,分别求出两队所用时间,即可得到答案.【详解】(1)解:如图,过点作于点,四边形为矩形,,,,,,,,,,,,,,,,即D到的距离;(2)解:,,由(1)可知,,,,,甲、乙两队在陆地上都是步行,且步行速度均为.甲队划船的速度为,乙队游船的速度为,甲队所用时间,乙队所用时间,,甲队先到达公园D.如图,一座古塔座落在小山上(塔顶记作点,其正下方水平面上的点记作点),小李站在附近的水平地面上,他想知道自己到古塔的水平距离,便利用无人机进行测量,但由于某些原因,无人机无法直接飞到塔顶进行测量,因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°,点A,B,C,O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处,再调整飞行方向,继续匀速飞行8秒到达塔顶,已知无人机的速度为5米/秒,,求小李到古塔的水平距离即的长. (结果精确到,参考数据:)【答案】21【分析】过点O作,交的延长线于点D,过点O作,垂足为E,根据题意可得:米,米,,,从而可得,进而可得,然后在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,再在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而求出的长,最后利用线段的和差关系进行计算,即可解答.本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.【详解】解:过点O作,交的延长线于点D,过点O作,垂足为E,由题意得:(米),(米),,∴,∵,∴,在中, (米),在中,(米),∴(米),∴(米),∴小李到古塔的水平距离即的长约为21米.三边关系 (勾股定理)两锐角间关系 边角关系 面积关系 三角函数图形记忆30°45°60°1三边关系 (勾股定理)两锐角间关系 边角关系 面积关系 概念定义图形俯角、仰角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= .方向角一般指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向).
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