2023-2024学年湖北省部分重点中学高三第二次联考高三数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省部分重点中学高三第二次联考高三数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={−1,1,2,4}，那么阴影部分表示的集合为( )
A. {−1,4}B. {1,2,4}C. {1,4}D. {−1,2,4}
2.已知复数z满足z2−3i=2+3iz，则|z|=( )
A. 3B. 13C. 7D. 13
3.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为4 2π，高为2 2，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是( )
A. 1283πB. 32πC. 96+16 23πD. (32+16 2)π
4.在平面直角坐标系中，A(1,1)，B(2,3)，则向量OA在向量OB上的投影向量为( )
A. (10 1313,15 1313)B. (1013,1513)C. (5 22,5 22)D. (52,52)
5.若sin(5π12+α)=513，则cs(2α−π6)=( )
A. −119169B. −50169C. 119169D. 50169
6.设A，B为任意两个事件，且A⊆B，P(B)>0，则下列选项必成立的是( )
A. P(A)>P(A|B)B. P(A)≥P(A|B)C. P(A)7.已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)
8.斜率为13的直线l经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，交双曲线两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|=|BF2|，则双曲线的离心率为( )
A. 5B. 52C. 102D. 153
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17
B. 若随机变量ξ,η满足η=3ξ-2,则D(η)=3D(ξ)-2
C. 若随机变量ξ~N(4,σ2),且P(ξ<6)=0.8,则P(2<ξ<6)=0.6
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到χ2=4.712.依据α=0.05的独立性检验(x0.05=3.841),可判断X与Y有关
10.下列命题正确的是( )
A. 若{an}、{bn}均为等比数列且公比相等，则{an+bn}也是等比数列
B. 若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6−S3，S9−S6成等比数列
C. 若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n成等比数列
D. 若数列{an}的前n项和为Sn，则“an>0(n∈N∗)”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件
11.已知2a=3b=6，则下列关系中正确的是( )
A. a+b>4B. ab>2
C. a2+b2<8D. (a−1)2+(b−1)2>2
12.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AD=1，PC与底面ABCD所成角的正切值为 22，点M为平面ABCD内一点，且AM=λAD(0<λ<1)，点N为平面PAB内一点，NC= 5，下列说法正确的是( )
A. 存在λ使得直线PB与AM所成角为π6
B. 不存在λ使得平面PAB⊥平面PBM
C. 若λ= 22，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P−ABCD各面的交线长为 2+ 64π
D. 三棱锥N−ACD外接球体积最小值为5 56π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(x2−1x)6的展开式中x3的系数为 ．
14.与直线y= 33x和直线y= 3x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为 2的圆的方程为 ．
15.已知函数f(x)=lg2(4x+2x+1+1)−x，若f(2a−1)16.欧拉函数φ(n)(n∈N∗)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：φ(3)=2，φ(4)=2，则φ(8)= ;若bn=n2φ(2n)，则bn的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b(tanA+tanB)=2ctanB，BC边的中线长为2．
(1)求角A;
(2)求边a的最小值．
18.(本小题12分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+2(n∈N∗).
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为6的等边三角形，CC1=6，∠ACC1=60∘，D，E分别是线段AC，CC1的中点，平面ABC⊥平面C1CAA1．
(1)求证：A1C⊥平面BDE;
(2)若点P为线段B1C1上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−1,0)，且过点A(1,83).
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)过F1作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆Γ于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线l:x+4=0分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则|MR|⋅|NR|是否为定值?若为定值，请求出该定值;若不为定值，请说明理由．
21.(本小题12分)
甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn．
(1)求X2的概率分布列并求E(X2);
(2)求证：{E(Xn)−32}(n≥2且n∈N∗)为等比数列，并求出E(Xn)(n≥2且n∈N∗).
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=e(lnx+1)x+(1−a)lnx，ℎ(x)=exex．
(1)当x>1时，求证：ℎ(x)>−12x+32;
(2)函数f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1e3a．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
根据题意可得阴影部分所表示的集合( ∁UA) ∩B.
【解答】
解：阴影部分即为( ∁UA) ∩B，
∵A={x|0⩽x⩽2},B={−1,1,2,4}
∴ ∁UA={x|x>2或x<0}，
∴(∁UA) ∩B={−1,4}．
故选A．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求复数的模，属于基础题．
求出z2=13，令z=a+bi,a,b∈R，利用复数相等求出a2=13b=0，由复数的模长公式即可求解．
【解答】
解：因为复数z满足z2−3i=2+3iz，
则z2=2+3i2−3i=13，
令z=a+bi,a,b∈R，
则z2=a2−b2+2abi=13，
则a2−b2=132ab=0⇒a2=13b=0
则|z|= a2+b2= 13
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆柱、圆锥的体积公式，属于基础题．
求出圆锥底面圆的半径为r，利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求出结果．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，
因为圆锥的底面圆周长为4 2π，
所以，解得r=2 2，
因为圆锥的高为2 2，圆柱的母线长为4，
所以该几何体的体积是：
．
故选：C.
4.【答案】B
【解析】【分析】
根据题意，求出OA和OB的坐标，进而求出OA·OB和OB，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及投影向量的计算，属于基础题．
【解答】
解：由题意可知，OA=(1,1),OB=2,3，
则向量OA在向量OB上的投影向量为OA·OBOB·OBOB=5132,3=1013,1513，
故选B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角函数求值问题，属于中档题．
利用余弦的二倍角公式和诱导公式结合已知求解即可．
【解答】
解：因为sin(5π12+α)=513 ，
所以
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查条件概率的概念与计算，属于基础题．
根据题意得出P(AB)=P(A)，利用公式P(A|B)=P(AB)P(B)，结合0【解答】
解：A，B为任意两个事件，且A⊆B，P(B)>0，
∴P(AB)=P(A)，
∴由条件概率公式得
P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)，
∵0∴P(A)≤P(A|B)，
故选D．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查根据不等式恒成立求参数范围，属于中档题．
将不等式转化ax−ex−sinx+1≤0，再构造函数ℎ(x)=ax−ex−sinx+1 x⩾0，分情况讨论a的
范围即可求解．
【解答】
解：ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0,+∞)恒成立等价于ax−ex−sinx+1≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立
设ℎ(x)=ax−ex−sinx+1 x⩾0，则ℎ′(x)=−ex−csx+a，
令g(x)=ℎ′(x)=−ex−csx+a，可得g′(x)=−ex+sinx，
当x∈[0,+∞)时，g′(x)≤−1+sinx≤0，ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递减，ℎ′(x)⩽ℎ′(0)=a−2
当a⩽2时，ℎ′(x)⩽ℎ′(0)=a−2≤0，故ℎ(x)在[0,+∞)上单调递减，
故ℎ(x)≤ℎ(0)=0;
当a>2时，因为ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递减，ℎ′(0)=a−2>0，且当x→+∞时，ℎ′(x)→−∞，
故，使ℎ′(x0)=0，
且当x∈0,x0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,x0)上单调递增，
故ℎ(x0)>ℎ(0)=0，
这与题设矛盾，(舍去)，
综上所述，实数b的取值范围为(−∞,2]．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，考查运算化简的能力，属于中档题．
设AB的中点为M，则直线AB：y=13(x+c)，直线MF2：y=−3(x−c)，渐近线OA：y=−bax，渐近线OB：y=bax，联立求解A、B、M的横坐标，根据M为AB中点可得关于a、c的关系式，进而可求解离心率．
【解答】
解：设AB的中点为M，连接MF2，
∵|AF2|=|BF2|，∴MF2⊥AB，
∵直线AB的斜率为13，∴直线MF2的斜率为−3，
直线AB：y=13(x+c)，直线MF2：y=−3(x−c)，
渐近线OA：y=−bax，渐近线OB：y=bax，
联立y=13(x+c)y=−3(x−c)，可得点M的横坐标为xM=45c，
联立y=13(x+c)y=−bax，可得点A的横坐标为xA=−aca+3b，
联立y=13(x+c)y=bax，可得点B的横坐标为xB=−aca−3b，
由M为AB中点，可得xA+xB=2xM，
即−aca+3b+−aca−3b=2×45c，
即−2a2=2×45(a2−9b2)，
即a2=45(9c2−9a2−a2)，即5a2=4c2，
故e=ca= 54= 52，
故选B．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了统计与离散型随机变量方差性质，以及正态分布、独立性检验的知识，属于简单题.
依据每个知识点的性质，对选项逐一项判定即可.
【解答】
解：对于A,共有10个数，第80百分位数为17+202=18.5,故A错误；
对于B，若随机变量ξ,η满足η=3ξ-2,则D(η)=9D(ξ)，故B错误；
对于C，若随机变量ξ~N(4,σ2),且P(ξ<6)=0.8,由正态分布对称性可知，P(2<ξ<6)=1-2×（1-0.8）=0.6，故C正确；
对于D，依据独立性检验的性质，分类变量 X与 Y的成对样本数据，计算得到 χ2=4.712.依据 α=0.05的独立性检验（ x0.05=3.841）， χ2=4.712>3.841，依据 α＝0.05的独立性检验( x0.05＝3.841)，可判断 X与 Y有关，故D正确.
​​​​​​​故选CD.
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查等比数列的概念，考查数列的单调性，是中档题．
根据等比数列的概念及特例可判断AC，根据等比数列的定义可判断B，根据充分条件必要条件的概念及数列的增减性可判断D．
【解答】
解：对于A，{an}、{bn}均为等比数列且公比相等，当 a1+ b1=0时，数列{ an+ bn}不是等比数列，故选项A错误;
对于B，若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则S3=a1+a2+a3，S6−S3=a4+a5+a6，S9−S6=a7+a8+a9成等比数列，故B正确；
对于C，当等比数列{an}为3，−3，3，−3，3，−3，3，−3， ⋯时，当n为偶数时， Sn=0，则 Sn， S2n− Sn S3n− S2n不能构成等比数列，故选项C错误;
对于D，数列an中，对任意n∈N∗，an>0，则Sn=Sn−1+an>Sn−1，n≥2，所以数列{Sn}是递增数列，充分性成立;
当数列{Sn}是递增数列时， Sn> Sn−1，n ≥2，即Sn−1+an>Sn−1，所以n≥2时， an>0，如数列−1，2，2，2， ⋯.不满足题意，所以必要性不成立，
则“an>0(n∈N∗)是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件，故选项D正确．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式，属于中档题．
根据2a=3b=6，可得a=1+lg23，b=1+lg32，继而得出lg23 ·lg32=1，lg 23+lg32>2，结合基本不等式．进而逐个判断即可.
【解答】
解：∵2a=3b=6，∴a=1+lg23，b=1+lg32，
因为(lg23+lg32) 2>4lg23 ·lg32=4，
所以lg23+lg32>2，
对于A：因为a+b=2+lg23+lg32>4，故A正确；
对于B：因为ab=(1+lg23)(1+lg32)
=2+lg23+lg32>4>2，故B正确；
对于C：因为 a2+b2>2ab>8，故C错误;
对于D：因为 a−12+b−12=lg232+lg322>2lg23lg32=2，故D正确．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角，面面垂直的判定，球的切接问题，球的体积，球与平面的交线问题，考查了运算能力和空间想象能力，属于难题．
先根据已知求得PA=1，建立空间直角坐标系，可设M(λcsα,λsinα,0)，根据AM·PBAM·PB= 32列出等式，判断是否存在λ和α满足等式即可判断A；求得平面PBM的一个法向量n，由AD·n=0列出等式，判断是否存在λ满足等式即可判断B；分析出每个面交线弧长以及对应的圆心角间的关系，求得交线长，即可判断C；可推出BN=2，设N(1+2csθ,0,2sinθ)，O(12,12,ℎ)，由R2=OA2=ON2，用θ表示出ℎ，由R2=12+ℎ2结合基本不等式求得R的最小值，即可判断D．
【解答】
解：因为PA⊥平面ABCD，
所以PC与平面ABCD所成角为∠PCA，则tan∠PCA= 22，
即PAAC= 22，又AC= 2，则PA=1，
建立空间直角坐标系如图所示：
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
AM=λAD=λ(0<λ<1)，
可设M(λcsα,λsinα,0)，
则PB=1,0,−1，AM=λcsα,λsinα,0，
所以要使直线PB与AM所成角为π6，则AM·PBAM·PB= 32，即λcsαλ· 2= 32，
因此csα= 62>1，显然不存在α满足条件，
所以不存在λ，使得直线PB与AM所成角为π6，故A错误；
PM=λcsα,λsinα,−1，
设平面PBM的一个法向量为n=x,y,z，
则n·PM=xλcsα+yλsinα−z=0n·PB=x−z=0,
可取n=λsinα,1−λcsα,λsinα，
平面PAB的一个法向量为AD=0,1,0，
若平面PAB⊥平面PBM，则AD·n=1−λcsα=0，即λcsα=1，
而0<λ<1，csα⩽1，则λcsα<1，矛盾，
故不存在λ使得平面PAB⊥平面PBM，故B正确；
当λ= 22时，AM=λ= 22，则PM= 62，
因此以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P−ABCD各面的交线是弧A1A2，A2A3，A3A4，A4A5和A1A5，如下图：
因为PA=1，四边形ABCD是边长为1的正方形，
所以A1A2和A3A4，A4A5和A1A5的长度分别相等，
因为AM= 22，∠BAD=π2，所以A2A3的长为；
因为PA1=PA5=PA4=PA3=PA2=PM= 62，
tan∠A1PA5=BCPB=1 2= 22，tan∠APA3=AA3PA= 22，且∠A1PA5与∠APA3都是锐角，
所以∠A1PA5=∠APA3，而，
则，同理可得，
因此所求的交线长为，故C正确；
因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩PA=A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为点N在平面PAB内，则BN⊂平面PAB，
所以BC⊥BN，则BN= NC2−BC2=2，
在平面PAB内，点N在以点B为圆心，2为半径的圆上，
可设N(1+2csθ,0,2sinθ)，
设AC∩BD=O1，三棱锥N−ACD外接球的球心为O，半径为R，
则OO1⊥平面ABCD，设O(12,12,ℎ)，
由R2=OA2=ON2，可得R2=14+14+ℎ2=12+2csθ2+14+2sinθ−ℎ2，
化简可得2sinθℎ=2+csθ，
显然sinθ≠0且ℎ≠0，
则ℎ=2+csθ2sinθ=2cs2θ2+2sin2θ2+cs2θ2−sin2θ24sinθ2csθ2=3+tan2θ24tanθ2=143tanθ2+tanθ2，
而R2=12+ℎ2=12+1169tan2θ2+tan2θ2+6⩾12+116×2× 9+6=54，
当且仅当tan2θ2=3时取等号，
则R2⩾54，可得Rmin= 52，
可得三棱锥N−ACD外接球体积的最小值为，故D正确．
13.【答案】−20
【解析】本题考查二项式定理的运用，属于基础题．
求出展开式的通项公式，令x的指数为3，即可求解．
解：(x2−1x)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r·(−1)r·x12−3r，
令12−3r=3，解得r=3，所以(x2−1x)6的展开式中x3的系数为C63·(−1)3=−20．
故答案为：−20．
14.【答案】(x−1)2+(y−1)2=2− 32
【解析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
利用圆与直线y= 33x和直线y= 3x都相切且圆心在第一象限，设出圆心坐标，利用圆心到原点的距离为 2，求出圆心与半径，即可求出圆的方程．
解：由题意，设圆心坐标为(a,a)，a>0，
因为圆心到原点的距离为 2，所以 2a= 2，所以a=1，
又圆的半径为| 3−1| 3+1= 3−12，所以圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=2− 32．
故答案为：(x−1)2+(y−1)2=2− 32．
15.【答案】(−23,4)
【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，属于中档题．
由题意，f(x)为偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，将不等式化为|2a−1|<|a+3|，解不等式得出结论．
解：函数的定义域为R．
f(x)=lg2(4x+2x+1+1)−x=lg2(4x+2x+1+1)−lg22x=lg2(2x+2−x+2)，
所以f(−x)=lg2(2−x+2x+2)=f(x)，所以函数为偶函数．
利用对勾函数的单调性及对数函数的单调性，可知函数为增函数，
所以f(2a−1)故答案为：(−23,4)．
16.【答案】4；94
【解析】本题主要考查数列的的基本知识，考查欧拉函数概念的理解和应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于中档题．
所有不超过8，且与8互质的正整数有1，3，5，7，即可解决；依据定义φ(2n)=2n−2n−1=2n−1，所以bn=n2φ(22)=n22n−1，研究其单调性可得b1b4>b5⋯⋯，所以bn的最大值为b3，即可解决．解：所有不超过8，且与8互质的正整数有1，3，5，7，故φ(8)=4；
2n中不超过2n的数共有2n个，且不超过2n的所有正奇数有2n−1个，
所以φ(2n)=2n−1，所以bn=n2φ(22)=n22n−1，
研究其单调性，作差：bn+1−bn=(n+1)22n−n22n−1=−(n−1)2+22n，
当n=1，n=2时，bn+1−bn>0，
当n≥3时，bn+1−bn<0，可得b1b4>b5⋯⋯，
所以bn的最大值为b3=94．
故答案为：4；94．
17.【答案】解：(1)因为b(tanA+tanB)=2ctanB，
所以sinB(sinAcsA+sinBcsB)=2sinCsinBcsB，
sinB(sinAcsB+csAsinBcsAcsB)=2sinCsinBcsB，
sinBsin(A+B)csAcsB=2sinCsinBcsB，
sinBsinCcsAcsB=2sinCsinBcsB，
因为sinB>0，sinC>0，csB≠0，
所以csA=12，又0(2)因为BC边的中线长为2，所以|AB+AC|=4，
所以c2+b2+2bccsA=16，b2+c2+bc=16，
即b2+c2=16−bc≥2bc，解得bc≤163，(当且仅当b=c时取等号.)
又a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=16−2bc≥163，∴a⩾4 33．
所以a的最小值为4 33．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平面向量数量积的运算，基本不等式以及平面向量的运算，正弦定理应用，考查了转化思想和向量法，属于中档题．
(1)利用同角三角函数基本关系式化简已知等式，整理可得csA=12，结合范围A∈(0,π)，可得A的值；
(2)由题意可得|AB+AC|=4，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求bc的最大值，进而利用平面向量的运算，基本不等式即可求a的最小值．
18.【答案】解：(1)由 an+1=2Sn+2，得an=2Sn−1+2(n≥2)，两式相减，得an+1=3an(n≥2)．∵数
列{an}是等比数列，又∵n=1时，代入可得a2=2S1+2=2a1+2=3a1，∴a1=2，∴an=2⋅3n−1．
(2)由题意得an+1=an+(n+2−1)dn，
即2⋅3n=2⋅3n−1+(n+1)dn，故dn=4×3n−1n+1．
假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，
则(dk)2=dmdp，即(4×3k−1k+1)2=4×3m−1m+1⋅4×3p−1p+1，
∴32k(k+1)2=3m+p(m+1)(p+1)(∗)
∵m、k、p成等差数列，∴m+p=2k，
则(∗)式可化为k2=mp，故k=m=p．
这与题设矛盾，∴在数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．
【解析】本题考查了根据Sn求通项公式，等比数列、等差数列的性质，属于中档题．
(1)根据题意，n≥2时，得到an+1−an=(2Sn+2)−(2Sn−1+2)并化简，然后讨论 n=1时的情况，进而得到an+1，an间的关系，最后根据等比数列的定义得到答案；
(2)假设存在，则必然有(dk)2=dmdp，进而得到k，m，p间的关系，然后判断答案．
19.【答案】解：(1)连接 AC1 ，由题设知四边形 AA1C1C 为菱形， ∴A1C⊥AC1 ，
∵D,E 分别为 AC,CC1 中点， ∴DE//AC1,∴A1C⊥DE ；
又 D 为 AC 中点，三角形ABC为等边三角形， ∴BD⊥AC ，
因为平面 AA1C1C⊥ 平面 ABC ，平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,
∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C,∴BD⊥A1C；
又BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,∴A1C⊥平面BDE ．
(2)∵AC=CC1=6，∠ACC1=60∘，∴△C1CA为等边三角形，
∵D是AC的中点，∴C1D⊥AC，由(1)得BD⊥平面CC1A1A，
则DB、DA、DC1两两垂直，
∴以D为原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(3 3,0,0)，C1(0,0,3 3)，C(0,−3,0)，A1(0,6,3 3)，
C1P=12CB=(3 32,32,0)，∴P(3 32,32,3 3)，
又DB=(3 3,0,0)，DP=(3 32,32,3 3)，
设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DB=0n⋅DP=0，即3 3x=03 32x+32y+3 3z=0，
取z=1，则y=−2 3，所以n=(0,−2 3,1)是平面PBD的一个法向量，
由(1)得m=CA1=(0,9,3 3)是平面BDE的一个法向量，
∴|cs|=|m⋅n|m||n||=15 36 3× 13=5 1326，
即平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为5 1326．

【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，属于中档题．
(1)首先证明 A1C⊥DE ，然后证明 BD⊥ 平面 AA1C1C ，可得 BD⊥A1C ，即可证明；
(2)以D为原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBD与平面BDE的法向量，利用夹角公式可得答案．
20.【答案】解：(1)由题意知，c=1，
2a= 1+12+832+ 1−12+832=6，
所以a=3，又c=1，则b2=8，
故椭圆Γ的方程为x29+y28=1．
(2)设直线PQ的方程为x=ty−1，P(x1,y1)、Q(x2,y2)，D(−3,0)，
由x=ty−1x29+y28=1，消去x整理得8t2+9y2−16ty−64=0，
所以y1+y2=16t8t2+9，y1y2=−648t2+9．
直线PD的方程为y=y1x1+3(x+3)，
令x=−4，得yM=−y1x1+3=−y1ty1+2，
同理可得yN=−y2ty2+2，
|MR|⋅|NR|=|yMyN|=−y1ty1+2·−y2ty2+2
=y1y2t2y1y2+2t(y1+y2)+4，
=−648t2+9t2·−648t2+9+2t·16t8t2+9+4
=−64−64t2+32t2+48t2+9=169，
故|MR|⋅|NR|是定值169．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的关系，考查运算能力，属于中档题．
(1)由已知利用椭圆的定义求出a，即可求解；
(2)设直线方程，再联立椭圆方程由根与系数的关系求得yM，yN，利用|MR|⋅|NR|=|yMyN|即可求解．
21.【答案】解：(1)X2可能取0，1，2，3，
则P(X2=0)=23×23×13×13=481;
P(X2=3)=23×13×13×13+13×23×13×13=481;
P(X2=1)=13×23×23×23+23×13×23×23+23×23×13×23+23×23×23×13=3281;
P(X2=2)=1−P(X2=0)−P(X2=1)−P(X2=3)=4181，
分布列为：
E(X2)=0×481+1×3281+2×4181+3×481=149;
(2)由题可知P(Xn+1=1)=P(Xn=0)+(13×23+23×13)P(Xn=1)+23×23P(Xn=2)
=P(Xn=0)+49P(Xn=1)+49P(Xn=2)，
P(Xn+1=2)=23×23P(Xn=1)+(23×13+13×23)P(Xn=2)+P(Xn=3)
=49P(Xn=1)+49P(Xn=2)+P(Xn=3)，
P(Xn+1=3)=13×13P(Xn=2)=19P(Xn=2)，
又∵P(Xn=0)+P(Xn=1)+P(Xn=2)+P(Xn=3)=1，
E(Xn+1)=1×P(Xn+1=1)+2×P(Xn+1=2)+3×P(Xn+1=3)
=P(Xn=0)+129P(Xn=1)+159P(Xn=2)+2P(Xn=3)
=1+13P(Xn=1)+23P(Xn=2)+P(Xn=3)=1+13E(Xn)，
即E(Xn+1)=13E(Xn)+1，
∴E(Xn+1)−32=13[E(Xn)−32](n≥2且n∈N∗)，
∴{E(Xn)−32}(n≥2且n∈N∗)为等比数列；
∵E(X2)−32=118，
∴E(Xn)−32=118×(13)n−2，
∴E(Xn)=12(13)n+32(n≥2且n∈N∗).
【解析】本题考查相互独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列和数学期望，等比数列的定义，是难题．
(1)X2可能取0，1，2，3，求出对应事件的概率，即可得到分布列和数学期望；
(3)推出E(Xn+1)=1×P(Xn+1=1)+2×P(Xn+1=2)+3×P(Xn+1=3)=1+13E(Xn)，结合等比数列的定义以及通项公式即可求解．
22.【答案】解：(1)F(x)=ℎ(x)−(−12x+32)=exex−(−12x+32)，x>1，则F′(x)=1−xex−1+12=2−2x+ex−12ex−1，
令m(x)=2−2x+ex−1(x>1)，则m′(x)=ex−1−2，
∴m(x)在(1,ln2+1)上单调递减，在(ln2+1,+∞)上单调递增．
m(x)≥m(ln2+1)=2(1−ln2)>0，
∴F′(x)>0，F(x)在(1,+∞)上单调递增．
∴F(x)>F(1)=0，即x∈(1,+∞)时，ℎ(x)>−12x+32成立．
(2)f′(x)=(1−a)x−elnxx2，
∵f(x)有两个极值点x1，x2，
∴(1−a)x1−elnx1=0(1−a)x2−elnx2=0 ①
要证x2x1>e3a成立，即证lnx2−lnx1>3a成立．
令t1=lnx1，t2=lnx2(t13a成立．
①式可化为(1−a)et1−et1=0(1−a)et2−et2=0，则et1et1=et2et2=1−a，
令ℎ(t)=etet，ℎ′(t)=1−tet−1，∴ℎ(t)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．
ℎ(1)=1，要使ℎ(t)=1−a有两个零点，则0当t∈(0,1)时，etet>t，直线y=t与y=1−a交于(t′1,1−a)，
∴t1当t∈(1,+∞)时，由(1)知ℎ(t)>−12t+32，
而y=1−a与y=−12t+32交于(t′2,1−a)，则1∴t2−t1>t2′−t1′=(2a+1)−(1−a)=3a成立，
∴x2x1>e3a．
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数利用导数证明不等式，属于较难题．
(1)构造函数F(x)=ℎ(x)−(−12x+32)，求导，可得F(x)在(1,+∞)上单调递增，由F(x)>F(1)=0可证ℎ(x)>−12x+32;
(2)问题可转化为lnx2−lnx1>3a，由题意构造函数ℎ(t)=etet，由函数单调性，可证结论．X2
0
1
2
3
P
481
3281
4181
481