2023-2024学年湖北省部分重点中学高三第二次联考高三数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省部分重点中学高三第二次联考高三数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={−1,1,2,4}，那么阴影部分表示的集合为( )
A. {−1,4}B. {1,2,4}C. {1,4}D. {−1,2,4}
2.已知复数z满足z2−3i=2+3iz，则|z|=( )
A. 3B. 13C. 7D. 13
3.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为4 2π，高为2 2，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是( )
A. 1283πB. 32πC. 96+16 23πD. (32+16 2)π
4.在平面直角坐标系中，A(1,1)，B(2,3)，则向量OA在向量OB上的投影向量为( )
A. (10 1313,15 1313)B. (1013,1513)C. (5 22,5 22)D. (52,52)
5.若sin(5π12+α)=513，则cs(2α−π6)=( )
A. −119169B. −50169C. 119169D. 50169
6.设A，B为任意两个事件，且A⊆B，P(B)>0，则下列选项必成立的是( )
A. P(A)>P(A|B)B. P(A)≥P(A|B)C. P(A)0,b>0)的左焦点F1，交双曲线两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|=|BF2|，则双曲线的离心率为( )
A. 5B. 52C. 102D. 153
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17
B. 若随机变量ξ,η满足η=3ξ-2,则D(η)=3D(ξ)-2
C. 若随机变量ξ~N(4,σ2),且P(ξ2
C. a2+b22
12.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AD=1，PC与底面ABCD所成角的正切值为 22，点M为平面ABCD内一点，且AM=λAD(01时，求证：ℎ(x)>−12x+32;
(2)函数f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1e3a．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
根据题意可得阴影部分所表示的集合( ∁UA) ∩B.
【解答】
解：阴影部分即为( ∁UA) ∩B，
∵A={x|0⩽x⩽2},B={−1,1,2,4}
∴ ∁UA={x|x>2或x0，且当x→+∞时，ℎ′(x)→−∞，
故，使ℎ′(x0)=0，
且当x∈0,x0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,x0)上单调递增，
故ℎ(x0)>ℎ(0)=0，
这与题设矛盾，(舍去)，
综上所述，实数b的取值范围为(−∞,2]．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，考查运算化简的能力，属于中档题．
设AB的中点为M，则直线AB：y=13(x+c)，直线MF2：y=−3(x−c)，渐近线OA：y=−bax，渐近线OB：y=bax，联立求解A、B、M的横坐标，根据M为AB中点可得关于a、c的关系式，进而可求解离心率．
【解答】
解：设AB的中点为M，连接MF2，
∵|AF2|=|BF2|，∴MF2⊥AB，
∵直线AB的斜率为13，∴直线MF2的斜率为−3，
直线AB：y=13(x+c)，直线MF2：y=−3(x−c)，
渐近线OA：y=−bax，渐近线OB：y=bax，
联立y=13(x+c)y=−3(x−c)，可得点M的横坐标为xM=45c，
联立y=13(x+c)y=−bax，可得点A的横坐标为xA=−aca+3b，
联立y=13(x+c)y=bax，可得点B的横坐标为xB=−aca−3b，
由M为AB中点，可得xA+xB=2xM，
即−aca+3b+−aca−3b=2×45c，
即−2a2=2×45(a2−9b2)，
即a2=45(9c2−9a2−a2)，即5a2=4c2，
故e=ca= 54= 52，
故选B．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了统计与离散型随机变量方差性质，以及正态分布、独立性检验的知识，属于简单题.
依据每个知识点的性质，对选项逐一项判定即可.
【解答】
解：对于A,共有10个数，第80百分位数为17+202=18.5,故A错误；
对于B，若随机变量ξ,η满足η=3ξ-2,则D(η)=9D(ξ)，故B错误；
对于C，若随机变量ξ~N(4,σ2),且P(ξSn−1，n≥2，所以数列{Sn}是递增数列，充分性成立;
当数列{Sn}是递增数列时， Sn> Sn−1，n ≥2，即Sn−1+an>Sn−1，所以n≥2时， an>0，如数列−1，2，2，2， ⋯.不满足题意，所以必要性不成立，
则“an>0(n∈N∗)是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件，故选项D正确．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式，属于中档题．
根据2a=3b=6，可得a=1+lg23，b=1+lg32，继而得出lg23 ·lg32=1，lg 23+lg32>2，结合基本不等式．进而逐个判断即可.
【解答】
解：∵2a=3b=6，∴a=1+lg23，b=1+lg32，
因为(lg23+lg32) 2>4lg23 ·lg32=4，
所以lg23+lg32>2，
对于A：因为a+b=2+lg23+lg32>4，故A正确；
对于B：因为ab=(1+lg23)(1+lg32)
=2+lg23+lg32>4>2，故B正确；
对于C：因为 a2+b2>2ab>8，故C错误;
对于D：因为 a−12+b−12=lg232+lg322>2lg23lg32=2，故D正确．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角，面面垂直的判定，球的切接问题，球的体积，球与平面的交线问题，考查了运算能力和空间想象能力，属于难题．
先根据已知求得PA=1，建立空间直角坐标系，可设M(λcsα,λsinα,0)，根据AM·PBAM·PB= 32列出等式，判断是否存在λ和α满足等式即可判断A；求得平面PBM的一个法向量n，由AD·n=0列出等式，判断是否存在λ满足等式即可判断B；分析出每个面交线弧长以及对应的圆心角间的关系，求得交线长，即可判断C；可推出BN=2，设N(1+2csθ,0,2sinθ)，O(12,12,ℎ)，由R2=OA2=ON2，用θ表示出ℎ，由R2=12+ℎ2结合基本不等式求得R的最小值，即可判断D．
【解答】
解：因为PA⊥平面ABCD，
所以PC与平面ABCD所成角为∠PCA，则tan∠PCA= 22，
即PAAC= 22，又AC= 2，则PA=1，
建立空间直角坐标系如图所示：
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
AM=λAD=λ(03a成立．
令t1=lnx1，t2=lnx2(t13a成立．
①式可化为(1−a)et1−et1=0(1−a)et2−et2=0，则et1et1=et2et2=1−a，
令ℎ(t)=etet，ℎ′(t)=1−tet−1，∴ℎ(t)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．
ℎ(1)=1，要使ℎ(t)=1−a有两个零点，则0−12x+32;
(2)问题可转化为lnx2−lnx1>3a，由题意构造函数ℎ(t)=etet，由函数单调性，可证结论．X2
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2
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P
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