2024年湖北省部分重点中学高考数学第二次联考试卷

这是一份2024年湖北省部分重点中学高考数学第二次联考试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．{﹣1，4}B．{1，2，4}C．{1，4}D．{﹣1，2，4}
2．（5分）已知复数z满足z2-3i=2+3iz，则|z|＝（ ）
A．3B．13C．7D．13
3．（5分）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为42π，高为22，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）
A．1283πB．32πC．96+1623πD．(32+162)π
4．（5分）在平面直角坐标系中O为原点，A（1，1），B（2，3），则向量OA→在向量OB→上的投影向量为（ ）
A．(101313，151313)B．(1013，1513)
C．(522，522)D．(52，52)
5．（5分）若sin(5π12+α)=513，则cs(2α-π6)=（ ）
A．-119169B．-50169C．119169D．50169
6．（5分）设A，B为任意两个事件，且A⊂B，P（B）＞0，则下列选项必成立的是（ ）
A．P（A）＜P（A|B）B．P（A）≤P（A|B）
C．P（A）＞P（A|B）D．P（A）≥P（A|B）
7．（5分）已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）
8．（5分）斜率为13的直线l经过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F1，交双曲线两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．5B．52C．102D．153
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2
C．若随机变量ξ～N（4，σ2），且P（ξ＜6）＝0.8，则P（2＜ξ＜6）＝0.6
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关
（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若{an}、{bn}均为等比数列且公比相等，则{an+bn}也是等比数列
B．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列
C．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
D．若数列{an}的前n项和为Sn，则“an＞0(n∈N*)”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件
（多选）11．（5分）已知2a＝3b＝6，则下列关系中正确的是（ ）
A．a+b＞4B．ab＞2
C．a2+b2＜8D．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2
（多选）12．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PC与底面ABCD所成角的正切值为22，点M为平面ABCD内一点，且AM＝λAD（0＜λ＜1），点N为平面PAB内一点，NC=5，下列说法正确的是（ ）
A．存在λ使得直线PB与AM所成角为π6
B．不存在λ使得平面PAB⊥平面PBM
C．若λ=22，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P﹣ABCD各面的交线长为2+64π
D．三棱锥N﹣ACD外接球体积最小值为556π
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）(x2-1x)6的展开式中x3的系数为 ．
14．（5分）与直线y=33x和直线y=3x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为2的圆的方程为 ．
15．（5分）已知函数f(x)=lg2(4x+2x+1+1)-x，若f（2a﹣1）＜f（a+3），则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：φ（3）＝2，φ（4）＝2，则φ（8）＝ ；若bn=n2φ(2n)，则bn的最大值为 ．
2024年湖北省部分重点中学高考数学第二次联考试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．{﹣1，4}B．{1，2，4}C．{1，4}D．{﹣1，2，4}
【解答】解：由题意知阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B，
由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，可得∁UA＝{x|x＜0或x＞2}，
则（∁UA）∩B＝{﹣1，4}．
故选：A．
2．（5分）已知复数z满足z2-3i=2+3iz，则|z|＝（ ）
A．3B．13C．7D．13
【解答】解：由题设z2＝（2﹣3i）（2+3i）＝13，
令z＝a+bi，且a，b∈R，则（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝13，
所以a2-b2=13ab=0，故a2=13b2=0，故|z|=a2+b2=13．
故选：B．
3．（5分）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为42π，高为22，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）
A．1283πB．32πC．96+1623πD．(32+162)π
【解答】解：圆锥的底面圆周长为42π，
则底面圆的半径为r=42π2π=22，
又圆柱的母线长为4，
则该几何体的体积是πr2×4+13πr2×22=π×(22)2×(4+223)=96+1623π．
故选：C．
4．（5分）在平面直角坐标系中O为原点，A（1，1），B（2，3），则向量OA→在向量OB→上的投影向量为（ ）
A．(101313，151313)B．(1013，1513)
C．(522，522)D．(52，52)
【解答】解：由题设OA→=(1，1)，OB→=(2，3)，
向量OA→在向量OB→上的投影向量为OA→⋅OB→|OB→|⋅OB→|OB→|=513×(2，3)=(1013，1513)．
故选：B．
5．（5分）若sin(5π12+α)=513，则cs(2α-π6)=（ ）
A．-119169B．-50169C．119169D．50169
【解答】解：cs(2α+5π6)=1-2sin2(α+5π12)=1-2×(513)2=119169，
cs(2α-π6)=cs(2α+5π6-π)=-cs(2α+5π6)=-119169．
故选：A．
6．（5分）设A，B为任意两个事件，且A⊂B，P（B）＞0，则下列选项必成立的是（ ）
A．P（A）＜P（A|B）B．P（A）≤P（A|B）
C．P（A）＞P（A|B）D．P（A）≥P（A|B）
【解答】解：根据题意，因为A⊂B，所以AB＝A，
又由P(A|B)=P(AB)P(B)，且P（B）≤1，
所以P（A）＝P（AB）＝P（B）•P（A|B）≤P（A|B），
故选：B．
7．（5分）已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）
【解答】解：令f（x）＝ex+sinx﹣ax﹣1，x≥0，则f′（x）＝ex+csx﹣a，
由题意可知：f（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，且f（0）＝0，
可得f′（0）＝2﹣a≥0，解得a≤2，
若a≤2，令g（x）＝f′（x），x≥0，
则g′（x）＝ex﹣sinx≥1﹣sinx≥0，
则g（x）在[0，+∞）上递增，可得g（x）≥g（0）＝2﹣a≥0，
即f′（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
则f（x）在[0，+∞）上递增，可得f（x）≥f（0）＝0，
综上所述：a≤2符合题意，即实数a的取值范围为（﹣∞，2]．
故选：A．
8．（5分）斜率为13的直线l经过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F1，交双曲线两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．5B．52C．102D．153
【解答】解：设AB的中点为M，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
双曲线的渐近线方程为x2a2-y2b2=0，由A、B在渐近线上，
得x12a2-y12b2=0，x22a2-y22b2=0，
两式作差可得：(x1+x2)(x1-x2)a2=(y1+y2)(y1-y2)b2，
即y1-y2x1-x2•y1+y2x1+x2=b2a2，∴kAB•kOM=b2a2，
又kAB=13，∴kOM=3b2a2，
设直线AB的倾斜角为θ，∵|AF2|＝|BF2|，∴AB⊥MF2，
则|OM|＝|OF1|＝|OF2|，则OM的斜率为tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2×131-(13)2=34，
得3b2a2=34，即b2a2=14，
∴双曲线的离心率e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=52．
故选：B．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2
C．若随机变量ξ～N（4，σ2），且P（ξ＜6）＝0.8，则P（2＜ξ＜6）＝0.6
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关
【解答】解对于A：由10×80%＝8，故第80百分位数为17+202=18.5，故A错；
对于B：由方差的性质知：D（η）＝9D（ξ），故B错；
对于C：由正态分布性质，随机变量ξ的正态曲线关于ξ＝4对称，所以P(2＜ξ＜6)=2×[P(ξ＜6)-12]=0.6，故C对；
对于D：由题设χ2＝4.712＞x0.05＝3.841，结合独立检验的基本思想，在α＝0.05小概率情况下X与Y有关，故D对．
故选：CD．
（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若{an}、{bn}均为等比数列且公比相等，则{an+bn}也是等比数列
B．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列
C．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
D．若数列{an}的前n项和为Sn，则“an＞0(n∈N*)”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件
【解答】解：对于A，若a1＝﹣b1且{an}、{bn}公比相等，则a1+b1＝0，显然不满足等比数列，故A错误；
对于B，若{an}的公比为q，
而S3=a1(1+q+q2)，S6-S3=a4+a5+a6=a1(q3+q4+q5)，S9-S6=a7+a8+a9=a1(q6+q7+q8)，
所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6是公比为q3的等比数列，故B正确；
对于C，同B分析，Sn=a1(1+q+⋯+qn-1)，S2n-Sn=a1(qn+qn+1+⋯+q2n-1)，S3n-S2n=a1(q2n+q2n+1+⋯+q3n-1)，
若n为偶数，q＝﹣1时，显然各项均为0，不为等比数列，故C错误；
对于D，当an＞0(n∈N*)时，则Sn＝Sn﹣1+an＞Sn﹣1且n≥2，由题知{Sn}为递增数列，充分性成立；
当{Sn}为递增数列，则Sn＞Sn﹣1⇒Sn﹣1+an＞Sn﹣1且n≥2，
显然{an}为﹣1，2，2，2，⋯满足，但an＞0不恒成立，必要性不成立，
所以“an＞0(n∈N*)”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知2a＝3b＝6，则下列关系中正确的是（ ）
A．a+b＞4B．ab＞2
C．a2+b2＜8D．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2
【解答】解：因为2a＝3b＝6，故a＝lg26＞0，b＝lg36＞0，
故1a+1b=lg62+lg63=1，
A选项，由于a＞0，b＞0，a≠b，
故a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab＞2+2ba⋅ab=4，A正确；
B选项，因为1a+1b=1，所以ab＝a+b＞4＞2，B正确；
C选项，由A选项知，a+b＞4，故由基本不等式得a2+b2＞(a+b)22＞8，C错误；
D选项，a﹣1＝lg23，b﹣1＝lg32，且lg32≠lg23，
故(a-1)2+(b-1)2=(lg23)2+(lg32)2＞2lg23⋅lg32=2，D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PC与底面ABCD所成角的正切值为22，点M为平面ABCD内一点，且AM＝λAD（0＜λ＜1），点N为平面PAB内一点，NC=5，下列说法正确的是（ ）
A．存在λ使得直线PB与AM所成角为π6
B．不存在λ使得平面PAB⊥平面PBM
C．若λ=22，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P﹣ABCD各面的交线长为2+64π
D．三棱锥N﹣ACD外接球体积最小值为556π
【解答】解：由PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AD＝1，可得AC=2，
且∠PCA是PC与底面ABCD所成角，即tan∠PCA=PAAC=22，则PA＝1，
同理∠PBA是PB与底面ABCD所成角，故∠PBA=π4，
由题意，AM在面ABCD内，故直线PB与AM所成角不小于π4，A错；
PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则PA⊥BC，又AB⊥BC，
PA∩AB＝A，PA，AB⊂面PAB，则BC⊥面PAB，
要平面PAB⊥平面PBM，M要在直线BC上，而AM＝λAD（0＜λ＜1），
显然不存在，B对；
由题设AM=22AD=22，将侧面展开如下图，
球与侧面的交线是以P为圆心，62为半径的圆与侧面展开图的交线，如下EMF，
由tan∠APF=22=tan∠BPC=12，则∠APF=∠BPC，∠APF+∠FPB=π4，
所以∠FPC=∠BPC+∠FPB=π4，根据对称性有∠FPC＝∠CPE，故∠FPE=π2，所以EMF长为6π4，
又球与底面ABCD交线是以A为圆心，22为半径的四分之一圆，故长度为2π4，
综上，球面与四棱锥P﹣ABCD各面的交线长为2+64π，C对；
由题设，三棱锥N﹣ACD外接球也是棱锥N﹣ABCD外接球，
又N为平面PAB内一点，NC=5，且PA⊂面PAB，
则面PAB⊥面ABCD，BC⊥AB，面PAB∩面ABCD＝AB，BC⊂面ABCD，
故BC⊥面PAB，易知N在面PAB的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆（去掉与直线AB的交点），
根据圆的对称性，不妨取下图示的四分之一圆弧，
则N在该圆弧上，当BN接近与面AB重合时∠BAN趋向π，
当BN⊥面ABCD时∠BAN最小且为锐角，sin∠BAN=BNAN=25，
而△ABN的外接圆半径r=BN2sin∠BAN=1sin∠BAN，
正方形ABCD的外心为AD，BC交点O，且到面PAB的距离为12，
所以棱锥N﹣ABCD外接球半径R=r2+14，要使该球体体积最小，只需r最小，
仅当∠BAN=π2时rmin＝1，此时Rmin=52，故外接球最小体积为43π×(52)3=556π，D对．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）(x2-1x)6的展开式中x3的系数为 ﹣20 ．
【解答】解：根据二项式的展开式Tr+1=C6r⋅(-1)r⋅x12-3r（0≤r≤6，r∈N）；
当r＝3时，x3的系数为-C63=-20．
故答案为：﹣20．
14．（5分）与直线y=33x和直线y=3x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为2的圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2-32 ．
【解答】解：设圆心坐标为（a，b），（a＞0，b＞0），
由于所求圆与直线y=33x和直线y=3x都相切，
故|3a-3b|3+9=|3a-b|3+1，化简为a2＝b2，而a＞0，b＞0，则a＝b，
又圆心到原点的距离为2，即a2+b2＝2，
解得a＝b＝1，即圆心坐标为（1，1），则半径为|3a-b|3+1=3-12，
故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2-32．
故答案为：(x-1)2+(y-1)2=2-32．
15．（5分）已知函数f(x)=lg2(4x+2x+1+1)-x，若f（2a﹣1）＜f（a+3），则实数a的取值范围为 （-23，4） ．
【解答】解：由题设f(x)=lg2(4x+2x+1+12x)=lg2(2x+2-x+2)，定义域为R，
f(-x)=lg2(2-x+2x+2)=f(x)，即f（x）为偶函数，
在（0，+∞）上，令t＝2x+2﹣x+2，且x1＞x2＞0，
则t1-t2=2x1+2-x1-2x2-2-x2=(2x1-2x2)(1-12x1+x2)，
由2x1＞2x2，1-12x1+x2＞0，故t1＞t2，即函数t＝2x+2﹣x+2在（0，+∞）上递增，
而y＝lg2t在定义域上递增，故f（x）在（0，+∞）上递增，
所以f（2a﹣1）＜f（a+3），可得|2a﹣1|＜|a+3|⇒（2a﹣1）2＜（a+3）2，
整理可得3a2﹣10a﹣8＜0，
即（3a+2）（a﹣4）＜0，可得-23＜a＜4．
故答案为：(-23，4)．
16．（5分）欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：φ（3）＝2，φ（4）＝2，则φ（8）＝ 4 ；若bn=n2φ(2n)，则bn的最大值为 94 ．
【解答】解：根据题意，φ（2）＝1，则1～8中与8互质的数有1，3，5，7，共4个数，故φ（8）＝4，
在1～2n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共2n﹣1个，即φ（2n）＝2n﹣1，
所以bn=n2φ(2n)=n22n-1，则bn+1-bn=(n+1)22n-n22n-1=2n+1-n22n，
当n≤2时bn+1﹣bn＞0，当n≥3时bn+1﹣bn＜0，即b1＜b2＜b3＞b4＞b5＞⋯⋯，
所以bn的最大值为b3=3223-1=94．
故答案为：4，94．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b（tanA+tanB）＝2ctanB，BC边的中线长为2．
（1）求角A；
（2）求边a的最小值．
【解答】解：（1）因为b（tanA+tanB）＝2ctanB，
所以由正弦定理得：sinB(sinAcsA+sinBcsB)=2sinCsinBcsB，
则sinB(sinAcsB+csAsinBcsAcsB)=sinBsin(A+B)csAcsB=2sinCsinBcsB，
所以sinBsinCcsAcsB=2sinCsinBcsB，
因为sinB＞0，sinC＞0，csB≠0，所以csA=12，
又因为0＜A＜π，所以A=π3；
（2）因为BC边的中线长为2，所以|AB→+AC→|=4，
两边同时平方可得：c2+b2+2bccsA＝16，
即b2+c2＝16﹣bc≥2bc，解得bc≤163，当且仅当b=c=43时取等号．
所以a2=c2+b2-2bccsA=16-2bc≥163，可得a≥433，
所以a的最小值为433．
18．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=3Sn+2(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意知当n＝1时，a1q＝3a1+2，①，
当n＝2时，a1q2=3(a1+a1q)+2 ②，
联立①②，解得a1＝2，q＝4，
所以数列{an}的通项公式an=2×4n-1；
（2）由（1）知an=2×4n-1，an+1=2×4n，
所以an+1＝an+（n+2﹣1）dn，可得dn=an+1-ann+1=6×4n-1n+1，
设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则dk2=dm⋅dp，
所以(6×4k-1k+1)2=6×4m-1m+1⋅6×4p-1p+1，
即36×42k-2(k+1)2=36×4m+p-2(m+1)(p+1)，
又因为m，k，p成等差数列，所以2k＝m+p，
所以（k+1）2＝（m+1）（p+1），化简得k2+2k＝mp+m+p，
即k2＝mp，
又2k＝m+p，所以k＝m＝p与已知矛盾，
所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp成等比数列．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为6的等边三角形，CC1＝6，∠ACC1＝60°，D，E分别是线段AC，CC1的中点，平面ABC⊥平面C1CAA1．
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）若点P为线段B1C1上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：如图，
连接AC1，四边形CC1A1A是菱形，
则A1C⊥AC1，又D，E分别为AC，CC1的中点，
所以DE∥AC1，
故A1C⊥DE，又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
则BD⊥AC，又平面ABC⊥平面CC1A1A，平面ABC∩平面CC1A1A＝AC，BD⊂平面ABC，
所以BD⊥平面CC1A1A，又A1C⊂平面CC1A1A，
故BD⊥A1C，又A1C⊥DE，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，
所以A1C⊥平面BDE；
（2）解：AC=CC1=6，∠ACC1=60°，△C1CA为等边三角形，
D是AC的中点，则C1D⊥AC，由（1）得BD⊥平面CC1A1A，
以D为原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(33，0，0)，C1(0，0，33)，C(0，-3，0)，A1(0，6，33)，
C1P→=12CB→=(332，32，0)，则P(332，32，33)，
所以DB→=(33，0，0)，DP→=(332，32，33)，
设平面PBD的一个法向量为n→=(x，y，z)，
则n→⋅DB→=33x=0，且n→⋅DP→=332x+32y+33z=0，
取z＝1，所以n→=(0，-23，1)，
由（1）得m→=CA1→=(0，9，33)是平面BDE的一个法向量，
|cs〈m→，n→〉|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=15363×13=51326，
即平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为51326．
20．（12分）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（﹣1，0），且过点A(1，83)．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）过F1作一条斜率不为O的直线PQ交椭圆Γ于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线l：x+4＝0分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则|MR|•|NR|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【解答】解：（1）易知椭圆Γ的右焦点F2（1，0），
因为椭圆Γ经过点A(1，83)，
所以2a=22+(83)2+83=6，
解得a＝3，
因为c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝8，
则椭圆Γ的标准方程x29+y28=1；
（2）不妨设直线PQ的方程为x＝ty﹣1，P（x1，y1） Q（x2，y2），
联立x=ty-1x29+y28=1，消去x并整理得（8t2+9）y2﹣16ty﹣64＝0，
此时Δ＞0恒成立，
由韦达定理得y1+y2=16t8t2+9，y1y2=-648t2+9，
易知直线DP的方程为y=y1x1+3(x+3)，
令x＝﹣4，
解得yM=-y1x1+3=-y1ty1+2，
同理可得yN=-y2ty2+2，
所以|MR|•|NR|＝|yMyN|＝|y1y2(ty1+2)(ty2+2)|＝|y1y2t2y1y2+2t(y1+y2)+4|
＝|-64-64t2+32t2+4(8t2+9)=169．
故|MR|•|NR|为定值，定值为169．
21．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn．
（1）求X2的概率分布列并求E（X2）；
（2）求证：{E(Xn)-32}（n≥2且n∈N*）为等比数列，并求出E（Xn）（n≥2且n∈N*）．
【解答】（1）解：X2可能取0，1，2，3，
则P(X2=0)=23×23×13×13=481，
P(X2=3)=23×13×13×13+13×23×13×13=481，
P(X2=1)=13×23×23×23+23×13×23×23+23×23×13×23+23×23×23×13=3281，
P(X2=2)=1-P(X2=0)-P(X2=1)-P(X2=3)=4181，
故X2的分布列为：
E(X2)=0×481+1×3281+2×4181+3×481=149；
（2）证明：由题可知P(Xn+1=1)=P(Xn=0)+(13×23+23×13)P(Xn=1)+23×23P(Xn=2)
=P(Xn=0)+49P(Xn=1)+49P(Xn=2)，
P(Xn+1=2)=23×23P(Xn=1)+(23×13+13×23)P(Xn=2)+P(Xn=3)
=49P(Xn=1)+49P(Xn=2)+P(Xn=3)，
P(Xn+1=3)=13×13P(Xn=2)=19P(Xn=2)，
又∵P（Xn＝0）+P（Xn＝1）+P（Xn＝2）＝1，
E（Xn+1）＝1×P（Xn+1＝1）+2×P（Xn+1＝2）+3×P（Xn+1＝3）
=P(Xn=0)+129P(Xn=1)+159P(Xn=2)+2P(Xn=3)，
E(Xn+1)=1+13P(Xn=1)+23P(Xn=2)+P(Xn=3)=1+13E(Xn)，
∴E(Xn+1)-32=13(E(Xn)-32)（n≥2且n∈N*），
∵E(X2)-32=118，故{E(Xn)-32}（n≥2且n∈N*）为等比数列，
∴E(Xn)-32=118×(13)n-2，
∴E(Xn)=12(13)n+32（n≥2且n∈N*）．
22．（12分）已知函数f(x)=e(lnx+1)x+(1-a)lnx，h(x)=exex．
（1）当x＞1时，求证：h(x)＞-12x+32；
（2）函数f（x）有两个极值点x1，x2，其中x1＜x2，求证：x2x1＞e3a．
【解答】证明：（1）F(x)=h(x)-(-12x+32)=exex-(-12x+32)，
则F'(x)=1-xex-1+12=2-2x+ex-12ex-1．
令m（x）＝2﹣2x+ex﹣1（x＞1），则m′（x）＝ex﹣1﹣2，
在（1，ln2+1）上m′（x）＜0，m（x）单调递减，
在（ln2+1，+∞）上m′（x）＞0，m（x）单调递增．
所以m（x）≥m（ln2+1）＝2（1﹣ln2）＞0，
综上，F′（x）＞0，即F（x）在（1，+∞）上单调递增，
故F（x）＞F（1）＝0，即x∈（1，+∞）时，h(x)＞-12x+32成立．
（2）设f'(x)=(1-a)x-elnxx2，f（x）有两个极值点x1，x2，则(1-a)x1-elnx1=0(1-a)x2-elnx2=0①，
要证x2x1＞e3a成立，即证lnx2﹣lnx1＞3a成立．
令t1＝lnx1，t2＝lnx2（t1＜t2），即证t2﹣t1＞3a成立．
①式可化为(1-a)et1-et1=0(1-a)et2-et2=0，则et1et1=et2et2=1-a，
令h(t)=etet，h'(t)=1-tet-1，
在（﹣∞，1）上h′（t）＞0，h（t）单调递增，在（1，+∞）上h′（t）＜0，h（t）单调递减．
h（1）＝1，要使h（t）＝1﹣a有两个零点，则0＜t1＜1＜t2，
当t∈（0，1）时，etet＞t，若y＝t与y＝1﹣a交于（t′1，1﹣a），则t1＜t′1＝1﹣a，
当t∈（1，+∞）时，由（1）知，h(t)＞-12t+32，
若y＝1﹣a与y=-12t+32交于（t′2，1﹣a），则1＜t′2＜t2，t′2＝2a+1，
所以t2﹣t1＞t′2﹣t′1＝（2a+1）﹣（1﹣a）＝3a成立，则x2x1＞e3a．
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