四川省泸县第一中学2023届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省泸县第一中学2023届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数与（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称,则( )
A.B.C.D.
2．设全集为R,集合,集合,则集合( )
A.B.
C.D.
3．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像,则该函数是( )
A.B.C.D.
4．不等式组表示的平面区域为,则( )
A.,B.,
C.,D.,
5．已知,是空间中两个不同的平面,m,n是空间中两条不同的直线,则下列说法正确的是( )
A.若,,且,则B.若,,且,则
C.若,,且,则D.若,,且,则
6．在等差数列中,,,则( )
A.5B.7C.8D.10
7．若,则( )
A. B. C. D.
8．已知,,,则( )
A.B.C.D.
9．已知无穷等比数列的公比为2,且,则( )
A.B.C.1D.
10．已知抛物线的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点,若,则线段MN的中点到y轴的距离为( )
A.3B.C.5D.
11．斜率为1的直线l与椭圆相交于A,B两点,则的最大值为( )
A.2B. C.D.
12．已知函数,的定义域均为R,且．若的图像关于直线对称,,则( )
A.-21B.-22C.-23D.-24
二、填空题
13．二项式的展开式中的常数项为______________．
14．设向量,的夹角的余弦值为,且,,则_________．
15．已知函数,与的图象上存在关于x轴对称的点,则a的取值范围为____________．
16．在给出的①;②;③三个不等式中,正确的是____________．
三、解答题
17．已知的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,．
（1）求角C的大小;
（2）若,AB边上的中线CD长为,求的周长．
18．为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过
(1)求出列联表中数据x，y，M，N的值：
(2)求与的均值(期望)并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？
(参考公式，其中)
19．在四棱锥中,侧面底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,,,,,E,F为AD,PC的中点．
（1）求证：平面BEF;
（2）若PC与AB所成角为,求PE的长;
（3）在（2）的条件下,求二面角的余弦值．
20．直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A,B两点,点O为抛物线的顶点,过点A,B分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于C,D两点．
（1）当时,求的大小;
（2）试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点,若是,请求出该定点并证明;若不是,请说明理由;
（3）分别过点A,B作抛物线的切线,求两条切线的交点的轨迹方程．
21．已知函数．
（1）若曲线在处的切线的方程为,求实数a,b的值;
（2）若,对任意,不等式恒成立,求m的最小值．
22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,（为参数）．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;
（2）若直线过点且与直线l平行,直线交曲线C于A,B两点,求的值．
23．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：数与（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称,则
故选：B.
2．答案：A
解析：.
因为,所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：设,则,故排除B;
设,当时,,
所以,故排除C;
设,则,故排除D.
故选：A.
4．答案：D
解析：根据题意,不等式组其表示的平面区域如图所示,
其中,,
设,则,的几何意义为直线在y轴上的截距的2倍,
由图可得：当过点时,直线在y轴上的截距最大,即,
当过点原点时,直线在y轴上的截距最小,即,
故AB错误;
设,则的几何意义为点与点连线的斜率,
由图可得最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确;
故选：D.
5．答案：C
解析：由,,且,得或m与n异面,故A错误;
由,,且,得或m与n相交或m与n异面,故B错误;
由,,得,又,则,故C正确;
由,且,得或m与n相交或m与n异面,故D错误．
故选：C．
6．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,
则,解得,,
因此,.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以.
故选：B.
8．答案：D
解析：因为,,
所以,
因为,,
所以.
故选：D.
9．答案：A
解析：因为无穷等比数列的公比为2,则无穷等比数列的公比为．
由有,,解得,所以,
,
故选：A．
10．答案：B
解析：由抛物线方程,得其准线方程为.
设,,由抛物线的定义,得,即,
所以线段MN中点的横坐标为,线段MN的中点到y轴的距离为．
故选：B.
11．答案：C
解析：设A,B两点的坐标分别为,直线l的方程为,
由消去y,得,
则, ,
,
当时,．
故选：C.
12．答案：D
解析：因为的图像关于直线对称,
所以,
因为,所以,
即,
因为,所以,
代入得,即,
所以,
.
因为,所以,即,
所以.
因为,所以,又因为,
联立得,,
所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,
所以
因为,所以.
所以.
故选：D
13．答案：112
解析：
14．答案：11
解析：设与的夹角为,因为与的夹角的余弦值为,即,
又,,所以,
所以.
故答案为：11.
15．答案：
解析：根据题意,若函数与的图象上存在关于x轴对称的点,
则方程在区间上有解,
即方程在区间上有解,
设函数,其导数,
又由,可得：当时,,为减函数,
当时,,为增函数,
故函数有最小值,
又由,;比较可得：,
故函数有最大值,
故函数在区间上的值域为;
若方程在区间上有解,
必有,则有,
即a的取值范围是;
故答案为：;
16．答案：①②③
解析：构造函数,,则,
当时,,函数递增,当时,,函数递减,
故,即,即,故①正确;
因为,故,故,即,故②正确;
对于③,令,则,
当时,,函数递增,当时,,函数递减,
所以,所以,,
所以,即,
当且仅当时成立,,故,故③正确,
故答案为：①②③.
17．答案：（1）;
（2）6．
解析：（1）因为,所以,
根据正弦定理得,
所以,
所以,
所以,
因为A、B、C是的三个内角,
所以,,,
因为,所以．
（2）因为CD是AB边上的中线,所以,
所以,
所以,
所以,
所以①,
又因为,所以,即②,
由①②,解得,,,
则,所以,
,故的周长为6．
18．答案：(1)，，，
(2)，即说明药物有效
(3)不能够有99%的把握认为药物有效
解析：(1)，
，
，，，；
即，，，；
(2)取值为0，1，2，
，，
取值为0，1，2，
，，，
，即说明药物有效.
(3)，
，不能够有99%的把握认为药物有效.
19．答案：(1)见解析;
（2）见解析;
（3）二面角的余弦值为.
解析：（1）证明：连接AC交BE于O,并连接EC,FO,
,,E为AD中点
,且
四边形ABCE平行四边形
O为AC中点
又F为AD中点
,
平面BEF,平面BEF,
平面BEF
（2）由BCDE为正方形可得
由ABCE为平行四边形可得/
为PC与AB所成角即
,E为AD中点,,
侧面底面ABCD侧面底面,平面PAD
平面ABCD,
,
.
（3）取PD中点M,连ME,MA,
面面ABCD,且面面,
平面PAD,
为的平面角,
又,,
,
所以二面角的余弦值为．
20．答案：（1）;
（2）定点为,证明见解析;
（3）.
解析：（1）设直线l的方程为,
由,消去x并整理得,
设,,则,,
当时,,,
因,,即,
所以．
（2）显然,当轴时,直线,四边形是矩形,x,y轴分别为其对称轴,
则直线AD与BC交于原点,
当直线AB与x轴不垂直时,由（1）知,,
且此时,,,
则有,即有,因此点A,O,D共线,
同理点B,O,C共线,即直线AD与直线BC交于原点,
所以直线AD与直线BC的交点恒为原点．
（3）由（1）知,,
显然抛物线在点A处切线斜率存在且不为0,设其方程为：,
由消去x并整理得：,解得或,
因此有,解得,则抛物线在点A处切线方程为,
即,
同理抛物线在点B处切线方程为,
而,由解得,
于是得两条切线的交点在直线上,又,
所以两条切线的交点的轨迹方程为．
21．答案：（1）,
（2）12
解析：（1）, ,
曲线在处的切线的方程为,
,, ,, ,．
（2）因为, ,
所以,故函数在上单调递增,
不妨设,则,
可化为,
设,则．
所以为上的减函数,即在上恒成立,
等价于在上恒成立,即在上恒成立,
又,所以,所以,
而函数在上是增函数,
所以（当且仅当,时等号成立）．
所以．即m的最小值为12．
22．答案：（1）,
（2）2
解析：（1）因为曲线C的参数方程为,（为参数）,
所以曲线C的普通方程为．
由,得,即,
因为,,所以直线l的直角坐标方程为．
（2）因为直线l的斜率为-1,所以l的倾斜角为,
所以过点且与直线l平行的直线的方程可设为（t为参数）．
设点A,B对应的参数分别为,,将代入,
可得,整理得,
则,,,
所以．
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）等价于或解得.
故不等式的解集为.
（2）,即,即.
因为,
所以等价于,
解得.
故a的取值范围为.
患病
未患病
总计
没服用药
20
30
50
服用药
x
y
50
总计
M
N
100
0.10
0.05
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
P
0
1
2
P