四川省泸县第一中学2024届高三上学期期末考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省泸县第一中学2024届高三上学期期末考试数学（理）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则z的虚部为( )
A.B.C.iD.2
3．树人中学田径队有男运动员30人,女运动员20人,按性别进行分层,用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为10的样本,则应抽取男运动员的人数为( )
A.2B.4C.6D.8
4．根据如下样本数据,得到回归直线方程,则( )
A.B.变量x与y正相关
C.可以预测当时,D.变量x与y之间是函数关系
5．一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角,其中,则平面图形的面积为( )
A.B.C.D.
6．设,不等式的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
7．已知定义在R上的函数,满足,,若,则( )
A.2B.C.D.
8．已知函数的图象如图所示,图象与x轴的交点为,与y轴的交点为N,最高点,且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为,则( )
A.B.0C.D.
9．已知,则( )
A.B.C.D.
10．陀螺又称陀罗,是中国民间最早的娱乐健身玩具之一,在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体,其中圆柱的底面半径为2,圆锥与圆柱的高均为2,若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成,则该球形材料的体积的最小值为( )
A.B.C.D.
11．设抛物线的准线与x轴交于点K,过点K的直线l与抛物线交于A,B两点.设线段AB的中点为M,过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知的面积为2,则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
12．已知函数()有两个不同的零点,(),下列关于,的说法正确的有( )个
①
②
③
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
13．已知双曲线两焦点之间的距离为4,则双曲线的渐近线方程是________.
14．写出一个正整数,使得的展开式中存在常数项:________.
15．在棱长为1的正方体中,E为线段AD的中点,设平面与平面的交线为m,则点A到直线m的距离为________.
16．如图,在中,,,P为内一点,且,则________.
三、解答题
17．一台机器由于使用时间较长,生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为E,且规定尺寸为正品,其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析,作出的频率分布直方图如图.
（1）试估计该机器生产的零件的平均尺寸;
（2）如果将每5件零件打包成一箱,若每生产一件正品可获利30元,每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件,求这箱零件的期望利润.
18．已知数列的前n项和为,且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足,求数列的前n项和.
19．如图,在三棱锥中,平面平面ABC,,.
（1）证明:平面平面PBC
（2）若,D为PC的中点,求平面ABD与平面PBD所成角的余弦值.
20．已知函数.
（1）若,讨论函数的单调性;
（2）若,,,求的取值范围.
21．已知动圆M经过定点,且与圆内切.
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程;
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为A,B,点P为轨迹C上异于,的动点,设PB交直线于点T,连接AT交轨迹C于点Q,直线AP,AQ的斜率分别为,.
①求证:为定值;
②证明:直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标.
22．在直角坐标系xOy中,已知直线,(t为参数),为l的倾斜角,l与x轴交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且的面积为.
（1）求;
（2）若l与曲线交于A,B两点,求的值.
23．已知函数,集合,集合.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析:集合,
,
又全集,
故选:C.
2．答案：D
解析:,
则,
故,其虚部为2.
故选:D.
3．答案：C
解析:由题意,树人中学田径队男运动员和女运动员的人数比例为,
则用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为10的样本,应抽取男运动员的人数为
人,
故选:C.
4．答案：A
解析:对选项A,由题意可得:,
,
由回归直线过样本点的中心,得,解得,所以选项A正确;
对选项B,由,可知变量x与y负相关,所以选项B错误;
对选项C,当时,,所以选项C错误;
对选项D,变量x与y之间是相关关系,不是函数关系,所以选项D错误.
故选:A.
5．答案：B
解析:根据题意,在直观图等腰直角,其中,则,故其面积,故原图平面图形的面积,
故选:B.
6．答案：D
解析:因为,
所以,解得,由充分不必要条件的定义可知,只有D选项符合.
故选:D.
7．答案：D
解析:,
则,
故,,
,
当时,,解得,
当时,,,
则,
则,
故选:D.
8．答案：D
解析:
9．答案：A
解析:,
则
故选:A.
10．答案：D
解析:依题意,当该陀螺中圆雉的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时,球形材料体积的最小,设此时球形材料的半径为R,由题意得,解得,所以球形材料的体积最小值为.故选:D.
11．答案：A
解析:如图,由题意,抛物线的准线为,可得.
直线l与抛物线交于A,B两点,直线l的斜率存在且不为0,
设直线l方程为,
将其代入,化简并整理得:,
由,得.
设,,则,,
,
M是AB的中点,.过点M平行x轴的直线为与抛物线交点为知,所以,
又,则,
的面积.
由已知条件知,,解得(满足),解得:.
直线l的方程为,即,
直线l的斜率为.
故选:A.
12．答案：D
解析:
13．答案：.
解析:双曲线两焦点之间的距离为4,
,
解得;
,
双曲线的渐近线方程是,
即.
14．答案：5(答案不唯一)
解析:由题知的通项为
要使展开式中存在常数项,只需有解,
又正整数,,
则,
所以不妨令,则.
故答案为:5(答案不唯一).
15．答案：
解析:
16．答案：
解析:在中,,,则,
,则于是,
,
则,
在中,,
在中,由正弦定理得,即,
在中,,
由余弦定理得,
即,整理得,
显然为锐角,所以.
故答案为:.
17．答案：（1）98.8
（2）40元
解析:（1）生产线生产的产品平均尺寸为:.
（2）次品的尺寸范围,
故生产线生产的产品次品率为.
设生产一箱零件(5件)中的正品数为,正品率为,
故,则.
设生产一箱零件获利为元,
则,
则(元),
所以这箱零件的期望利润为40元.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）由题意,数列满足,
所以当时,,
两式相减可得,
因为,符合上式,
所以,故,
当时,,当时,,符合上式,
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得,
所以.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:因为平面平面ABC,且两平面相交于AC,,平面PAC,
所以平面ABC.因为平面ABC,所以.
因为,,AB,平面,
所以平面PAB.
因为平面PBC,所以平面平面PBC.
（2）以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,,
所以,,.
设平面ABD的法向量为,
则,所以,取,则.
设平面PBD的法向量为,
则,所以,取,则.
.所以平面ABD与平面PBD所成角的余弦值为.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）由题意可知:的定义域为R,,
①当时,恒成立,在R上单调递增;
②当时,
当或时,,在和上单调递增;
当时,,在上单调递减;
故当时,在R上单调递增;
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
（2）因为,,等于函数在区间上的最大值与最小值之差,
由（1）可知:当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
故,
又,.
故当时,,,;
当时,,,
即:.
当时,,在上单调递减,
此时,即;
当时,,在上单调递增,
此时,即.
综上所述:
所以,的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）设动圆的半径为r,由题意得圆的圆心为,半径,
所以,,则,
所以动圆圆心M的轨迹C是以,为焦点,长轴长为4的椭圆.
因此动圆圆心M的轨迹C的方程为.
（2）①设,,.由（1）可知,,如图所示,
所以,,又因为,即,于是,
所以,
又,则,因此为定值.
②设直线PQ的方程为,由①中知,,
由,得,,
由根与系数的关系得由①可知,,
即,代入化简得,解得或(舍去),
所以直线PQ的方程为,所以直线PQ经过x轴上的定点,定点坐标为.
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）由l的参数方程知,由题意知,
所以,即,则l的斜率为,由,所以.
（2）由（1）知,(t为参数),代入,得到.
设A,B对应的参数分别为,,则,,故.
23．答案：（1）
（2）
解析:（1）时,不等式可化为:,
或或,
或或,
或或,
不等式的解集为.
（2）,
时不等式成立,
即成立,所以,即,
.所以,即,
a的取值范围是.
x
3
5
7
9
y
6
a
3
2